Wiskunde voor ontwerpers 1BA (theoretisch overzicht)
1) PLANNEN EN VEELVLAKKEN
vlakke graf: dat is een aantal hoekpunten, een aantal zijden die
deze hoekpunten verbinden, die het vlak opdelen in een
aantal gebieden
1. trivalent: Een vlakke graf noemen we trivalent indien in elk hoekpunt er juist drie zijde
samenkomen.
2. 3-samenhangend: Een trivalente vlakke graf noemen we 3-samenhangend indien de graf
samenhangend blijft (dat is, je kan van elk hoekpunt naar elk ander hoekpunt
gaan via zijden) na het verwijderen van twee zijden.
3. Een veelvlak: is de gesloten ruimtelijke figuur verkregen door het aan elkaar plakken van
veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden. Aan elk hoekpunt grenzen
minstens 3 zijvlakken die het hoekpunt helemaal omringen en elke ribbe grenst
aan juist twee zijvlakken.
convex: Een veelvlak noemen we convex indien in elk hoekpunt de som van de
binnenhoeken van de veelhoeken die er rond liggen minder dan 360° is.
( ∑△ < 360° ⇒ Λ ∑△ = 360° ⇒ ─ ∑△ > 360° ⇒ V )
trivalent: Een convex veelvlak noemen we trivalent indien. rond elk hoekpunt juist 3
zijvlakken liggen.
2) SYMMETRIE EN ORBIFOLDS
Translaties: verschuiven het gehele vlak in een bepaalde richting over een
bepaalde afstand.
Spiegelingen: spiegelen het vlak ten opzichte van een rechte, de spiegel-as.
Rotaties: draaien het vlak ten opzichte van een punt, het rotatie-centrum, over een
bepaalde hoek, de rotatie-hoek.
De orbifold: van het blokpatroon is een zo klein mogelijk deel van het patroon waaruit we
het hele patroon kunnen reconstrueren.
Orbifold notatie:
- ∗ als er een spiegel symmetrie is.
- ab . . . bij kruispunten van spiegels as (op volgorde van ordes)
- AB . . . bij kegelpunten(op volgorde van ordes)
⇒AB . . . ∗ ab . . . (bv. 4 ∗ 2)
1
, Wiskunde voor ontwerpers 1BA (theoretisch overzicht)
Orbifold Shop:
- ∗ kost €1
𝑎−1
- kruispunt van orde n kost € 2𝑎
𝑛−1
- kegelpunt van orde n kost € 𝑛
3 `1
⇒ 4
+1+ 4
=€2
Som hoeken > dan 180°
ruimtelijke symmetrie:
Kost orbifold < €2
Som hoeken < dan 180°
Hyperbolische symmetrie:
Kost orbifold > €2
Som hoeken = 180°
Vlakke symmetrie:
Kost orbifold = €2
3) ALLE OPPERVLAKKEN
triangulatie: overdek het oppervlak met flexibele driehoeken, dit noemen we een
triangulatie van het oppervlak. We noemen een zijde van een driehoek uit de
triangulatie: - een rand-zijde indien ze de zijde is van slechts één driehoek
- een gewone zijde indien ze de zijde is van juist twee driehoeken
4. veelhoek: Een veelhoek is een begrensde vlakke figuur omgeven door een aantal rechte
lijnstukken, de zijden, die enkel een gemeenschappelijk eindpunt gemeen kunnen
hebben, de hoekpunten. Indien het aantal hoekpunten (en zijden) gelijk is aan n, dan
spreken we van een n-hoek.
5. De Euler characteristiek: van een oppervlak is het getal
χ=V−E+F V het totaal aantal hoekpunten in een triangulatie is
E het totaal aantal zijden
F het totaal aantal driehoeken.
bv.
χ = 6 − 12 + 8 = 2
De Euler characteristiek: χ = V − E + F blijft dezelfde als we een mesh van veelhoeken
nemen ipv. driehoeken.
n-hoek ⇒ n − 2 driehoeken
V = +0, E = +(n − 3), F = +(n − 3)
2
1) PLANNEN EN VEELVLAKKEN
vlakke graf: dat is een aantal hoekpunten, een aantal zijden die
deze hoekpunten verbinden, die het vlak opdelen in een
aantal gebieden
1. trivalent: Een vlakke graf noemen we trivalent indien in elk hoekpunt er juist drie zijde
samenkomen.
2. 3-samenhangend: Een trivalente vlakke graf noemen we 3-samenhangend indien de graf
samenhangend blijft (dat is, je kan van elk hoekpunt naar elk ander hoekpunt
gaan via zijden) na het verwijderen van twee zijden.
3. Een veelvlak: is de gesloten ruimtelijke figuur verkregen door het aan elkaar plakken van
veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden. Aan elk hoekpunt grenzen
minstens 3 zijvlakken die het hoekpunt helemaal omringen en elke ribbe grenst
aan juist twee zijvlakken.
convex: Een veelvlak noemen we convex indien in elk hoekpunt de som van de
binnenhoeken van de veelhoeken die er rond liggen minder dan 360° is.
( ∑△ < 360° ⇒ Λ ∑△ = 360° ⇒ ─ ∑△ > 360° ⇒ V )
trivalent: Een convex veelvlak noemen we trivalent indien. rond elk hoekpunt juist 3
zijvlakken liggen.
2) SYMMETRIE EN ORBIFOLDS
Translaties: verschuiven het gehele vlak in een bepaalde richting over een
bepaalde afstand.
Spiegelingen: spiegelen het vlak ten opzichte van een rechte, de spiegel-as.
Rotaties: draaien het vlak ten opzichte van een punt, het rotatie-centrum, over een
bepaalde hoek, de rotatie-hoek.
De orbifold: van het blokpatroon is een zo klein mogelijk deel van het patroon waaruit we
het hele patroon kunnen reconstrueren.
Orbifold notatie:
- ∗ als er een spiegel symmetrie is.
- ab . . . bij kruispunten van spiegels as (op volgorde van ordes)
- AB . . . bij kegelpunten(op volgorde van ordes)
⇒AB . . . ∗ ab . . . (bv. 4 ∗ 2)
1
, Wiskunde voor ontwerpers 1BA (theoretisch overzicht)
Orbifold Shop:
- ∗ kost €1
𝑎−1
- kruispunt van orde n kost € 2𝑎
𝑛−1
- kegelpunt van orde n kost € 𝑛
3 `1
⇒ 4
+1+ 4
=€2
Som hoeken > dan 180°
ruimtelijke symmetrie:
Kost orbifold < €2
Som hoeken < dan 180°
Hyperbolische symmetrie:
Kost orbifold > €2
Som hoeken = 180°
Vlakke symmetrie:
Kost orbifold = €2
3) ALLE OPPERVLAKKEN
triangulatie: overdek het oppervlak met flexibele driehoeken, dit noemen we een
triangulatie van het oppervlak. We noemen een zijde van een driehoek uit de
triangulatie: - een rand-zijde indien ze de zijde is van slechts één driehoek
- een gewone zijde indien ze de zijde is van juist twee driehoeken
4. veelhoek: Een veelhoek is een begrensde vlakke figuur omgeven door een aantal rechte
lijnstukken, de zijden, die enkel een gemeenschappelijk eindpunt gemeen kunnen
hebben, de hoekpunten. Indien het aantal hoekpunten (en zijden) gelijk is aan n, dan
spreken we van een n-hoek.
5. De Euler characteristiek: van een oppervlak is het getal
χ=V−E+F V het totaal aantal hoekpunten in een triangulatie is
E het totaal aantal zijden
F het totaal aantal driehoeken.
bv.
χ = 6 − 12 + 8 = 2
De Euler characteristiek: χ = V − E + F blijft dezelfde als we een mesh van veelhoeken
nemen ipv. driehoeken.
n-hoek ⇒ n − 2 driehoeken
V = +0, E = +(n − 3), F = +(n − 3)
2
