TOEPASSINGEN (CURSUS)
Rol vraagstukkenonderwijs:
Wiskundeonderwijs vertrekt uit betekenisvolle situaties lln. moeten situaties leren
mathematiseren (moeten hiervoor wiskundige modellen kennen oefenen via toepassingen)
Accent ligt tegenwoordig bij het kwalitatieve (denkoperaties, het proces, oplossingswijzen, …)
Toepassingen zijn hiervoor de perfecte oefening
1. KLEMTONEN BIJ TOEPASSINGEN IN DE KLAS
1. SOORTEN TOEPASSINGEN
3 categorieën:
1. Ingeklede bewerking
2. Typevraagstuk
3. Problemen
1) INGEKLEDE BEWERKING
Voorbeeld: Ik koop bij ‘Cassis’ een trui voor €37. Ik betaal met een briefje van €50. Hoeveel krijg ik
terug?
Leerlingen moeten zelf de opgave herkennen
Doel: inoefenen van de basisbewerkingen
o Lln. moeten inzicht verwerven in 4 basisbewerkingen moeten deze al vlot kunnen
uitvoeren!
o Lln. moeten bij een bewerking ook iets kunnen voorstellen (zelf een rekenverhaal
kunnen formuleren)
o Lln. moeten bewerking kunnen toepassen (aan een rekenverhaal de juiste bewerking
koppelen)
Bij begin instructieproces betekenisvolle situaties aangeboden (lln. leren zo bewerkingen
voorstellen en berekenen)
Na het inoefenen v/d bewerkingen lln. moeten ze efficiënt kunnen aanwenden in reële
probleemsituaties Daarom eindigt het instructieproces ook met toepassingen (leren effectief
gebruiken v/d bewerkingen)
2) TYPEVRAAGSTUKKEN
Voorbeeld: Op de plattegrond van Gent (schaal 1: 13 000) is de afstand in vogelvlucht tussen 2
campussen (Kattenberg en Kantienberg) 7 cm. Hoeveel is de afstand in werkelijkheid?
Vraagstukken rond snelheid, ongelijke verdeling, schaal, gemiddelde, interest, …
Vaste methodes (standaardmethodes) meegeven om de opgave aan te pakken
o O.a. schema’s die rechtstreeks tot de oplossing leiden
o Bv.: voor deze oefening een verhoudingstabel
Specifieke begrippen komen aan bod in de opgave (snelheid, korting, schaal, …)
o Als je niet weet wat ‘schaal’ betekent, kan je de opgave ook niet oplossen
o Begrippen moeten dus gekend zijn!
Doel: inoefenen van begrippen en schema’s
,3) PROBLEMEN
Voorbeeld 1: Voor 4 havermoutpannenkoeken heb je 100 ml sojamelk, 75 g havermout, 1 ei en 1
banaan nodig. Ik heb 250 ml sojamelk. Hoeveel pannenkoeken kan ik maken?
Voorbeeld 2: We gaan op schoolreis naar de zoo. We willen om 10:00 uur in de zoo zijn. We gaan te
voet van de school naar het station. Op de brief wil de meester ook zetten wanneer de kinderen op
school moeten zijn die ochtend. Welk uur zal hij vermelden?
1e voorbeeld: klassiek vraagstuk waarbij alle lln. via +- analoge oplossingsweg op dezelfde
oplossing terecht zullen komen.
o Oplossingsmethode ligt voor de hand toepassen van recht-evenredigheid.
e
2 voorbeeld: ‘probleemgehalte’ veel hoger aanpak of wiskundige inhoud niet meteen
duidelijk
o Verschillende zaken moeten combineren (uurtabellen raadplegen, kloklezen,
referentiematen i.v.m. wandelsnelheid, afstand school-station bepalen, …)
Doel: probleemoplossende vaardigheden oefenen
4) VERSCHIL ‘KLASSIEK’ VRAAGSTUK & PROBLEMEN
Ingeklede bewerking/typevraagstuk Probleem
Doel: Doel:
- Aangeleerde rekenoperaties toepassen - Probleemoplossende vaardigheden
- Aantal basisschema’s inoefenen (bv. inoefenen
verhoudingstabel, deel-geheelschema,
…)
- Bepaalde typevraagstukken kunnen
oplossen (bv. schaal, snelheid, …)
Het vraagstuk schrijft vaak de Kinderen kiezen eigen strategieën die
oplossingsmethode voor. aansluiten op hun alledaagse
Er is een voor de hand liggende oplossingsmanieren en handelingen.
oplossingsmethode. Verschillende oplossingswegen zijn mogelijk.
De situatie is van geen belang. De concrete situatie is van belang om het
Een vraagstuk beschrijft soms een verschraalde probleem aan te pakken.
werkelijkheid waaraan elke zin ontbreekt.
De objecten waarover sprake is in het vraagstuk
kunnen makkelijk worden vervangen.
Er wordt geen gebruik gemaakt van de Er wordt beroep gedaan op alledaagse kennis,
alledaagse kennis v/d kinderen. op de inbreng vanuit eigen ervaringen.
Het wordt geschreven in functie v/e
berekening.
Vast patroon, dezelfde woorden, vaste Wisselende aanbiedingsvormen en
uitdrukkingen. formuleringswijze: cartoon, strip, grafiek, …
Een vraagstuk dringt leerlingen zijn Kinderen kunnen hun eigen alledaagse taal
taalstructuur op. gebruiken.
Eén correct antwoord wordt verlangd. Soms zijn meerdere correcte antwoorden
mogelijk.
Kinderen vinden ze eerder saai. Kinderen vinden ze uitdagend.
Vooral op individuele aanpak gericht. Meer mogelijkheden om ze in groep op te
lossen; samenwerking, discussie,
communiceren over oplossingsstrategieën
Bevat doorgaans alle getallen die nodig zijn Dikwijls op zoek gaan naar ontbrekende
voor de berekening v/d oplossing informatie (bv. in tabellen, folders, …) +
eventuele ervaringskennis inschakelen in het
werkelijke leven ook zo!
,4) SITUERING BINNEN HET LEERPLAN
ZILL Bij 'Logisch en wiskundig Denken’ WDlw3 (hieronder vallen de 3 categorieën!)
OVSG
‘Klassieke’ vraagstukken (ingeklede bewerking en typevraagstuk) vallen onder de hoofdstukken
‘getallen’ en ‘MMR’
Bij ‘domeinoverschrijdende doelstellingen’ zitten wiskundige attitudes + probleemoplossende
vaardigheden!
5) VERSCHILLEN TUSSEN DE VRAAGSTUKKEN
Factoren waarin toepassingen kunnen verschillen + moeilijkheidsgraad voor lln. meebepalen
Belangrijk om moeilijkheidsgraad te herkennen en aan te passen + variatie aanbrengen in
aanbod!
WISKUNDIGE STRUCTUURKENMERKEN
a) Complexiteit v/d opgave
- Enkelvoudige vraagstukken kan opgelost worden via één rekenkundige bewerking
- Samengestelde vraagstukken vereisen 2 of meer bewerkingen
- Kettingvraagstukken meerdere problemen moeten opgelost worden (via gerichte vragen in
deelproblemen opgesplitst)
o Dit is dus een opeenvolging van enkelvoudige vraagstukken overgang naar
samengestelde vraagstukken
b) Aard v/d rekenoperatie
Enkelvoudige vraagstukken optel-, aftrek-, vermenigvuldigings- en delingsvraagstukken
(naargelang de bewerking met de 2 gegeven getallen)
o Optellen is makkelijker dan aftrekken
o Vermenigvuldigen is makkelijker dan delen
c) Aard en grootte v/d getallen
Vraagstukken met kommagetallen en breuken = moeilijker dan vraagstukken met nat. getallen.
Bij vraagstukken staat denken centraal er wordt niet getoetst op cijferen!
Vraagstukken dus voorzien van weloverwogen getallen (niet te groot/ingewikkeld)
Kan wel niet altijd vermeden worden realiteit geeft meer aanleiding tot complex
cijferwerk (bv.: intrestberekening, kommagetallen bij €, …)
SEMANTISCHE STRUCTUURKENMERKEN VAN ENKELVOUDIGE VRAAGSTUKKEN
Bewerkingen kunnen in veel verschillende soorten vraagstukken optreden
Voorbeeld 1: Ik heb €24 bij me. Ik koop een taart van €6. Hoeveel heb ik nog over? (OV)
Voorbeeld 2: Ik heb €24 verdiend met babysitten, dat is €6 meer dan mijn zus. Hoeveel
verdiende zij? (GV)
De bewerking ’24-6’ komt bij beide vraagstukken voor.
Het 1e voorbeeld sluit onmiddellijk aan bij de intuïtieve betekenis v/d aftrekking (wegdoen).
Bij het 2e voorbeeld is de link minder duidelijk.
Bij dezelfde bewerking kunnen verschillende betekenissen (semantische structuren)
geassocieerd worden.
, KENMERKEN DIE TE MAKEN HEBBEN MET DE OPPERVLAKTESTRUCTUUR V/H VRAAGSTUK
Heeft te maken met linguïstische factoren zoals:
o De lengte v/h vraagstuk
Vraagstuk = doorzichtiger maken (betere inleving = eenvoudigere
probleemrepresentatie)
Vraagstuk moeilijker maken voor lln. die zwakker zijn in begrijpend lezen.
o Plaats v/d vraagzin (vaak op het einde en met een vraagteken)
o Grammaticale complexiteit verwijswoorden (ze, hem, …) maken een vraagstuk moeilijker
o Volgorde waarin de sets uit de semantische structuur in de opgavetekst worden opgenomen
(chronologisch of niet chronologisch)
o Aanwezigheid van sleutelwoorden in de tekst
Bv. Er staan 47 tenten op een veld. Er waaien eerst 3 weg, dan 2. Hoeveel tenten zijn
weggewaaid?
Wegwaaien = aftrekking maar ze moeten voor de oplossing een optelling uitvoeren!
o Aanwezigheid van overbodige/tegenstrijdige gegevens, onbelangrijke getallen, …
Bij voorbeeld v/d tenten: het totaal aantal tenten is overbodig
o Het gebrek aan essentiële gegevens (moeten soms via ervaringskennis v/d lln. aangevuld
worden)
o Vertrouwdheid met de context: belangrijke begrippen (bv. bruto, tarra, kapitaal, rentevoet,
…) moeten voldoende verkend zijn
FACTOREN DIE TE MAKEN HEBBEN MET WAT VAN LLN. WORDT VERWACHT
Vraagstukken moeten niet altijd opgelost worden er kan gevraagd worden om:
- Het vraagstuk dramatiseren
- Enkel de vraag onderstrepen en een vraagzin formuleren
- Zelf een vraag bij een vraagstuk noteren
- Ontbrekende gegevens invullen
- Vraagstukken groeperen o.b.v. overeenkomsten
- Uit een aantal rekenoperaties de juiste/passende bewerking kiezen
- Verklaren
- Schematiseren
- Oplossing schatten
- Uitleggen waarom een oplossing goed/slecht is
- Zelf een vraagstuk ontwerpen bij een schema/tabel
- Peilen naar redelijkheid v/d antwoorden
FACTOREN DIE TE MAKEN HEBBEN MET DE OMSTANDIGHEDEN WAARIN DE TAAK WORDT
UITGEVOERD
Variatie in:
- Mondelinge vs. schriftelijke (schema, tabel, cartoon, …) presentatie
- Gegevens opzoeken in een gegevensdatabank
- Beschikken over concreet materiaal
- Mogen werken met een ZRM
- Individueel of in groep werken
Rol vraagstukkenonderwijs:
Wiskundeonderwijs vertrekt uit betekenisvolle situaties lln. moeten situaties leren
mathematiseren (moeten hiervoor wiskundige modellen kennen oefenen via toepassingen)
Accent ligt tegenwoordig bij het kwalitatieve (denkoperaties, het proces, oplossingswijzen, …)
Toepassingen zijn hiervoor de perfecte oefening
1. KLEMTONEN BIJ TOEPASSINGEN IN DE KLAS
1. SOORTEN TOEPASSINGEN
3 categorieën:
1. Ingeklede bewerking
2. Typevraagstuk
3. Problemen
1) INGEKLEDE BEWERKING
Voorbeeld: Ik koop bij ‘Cassis’ een trui voor €37. Ik betaal met een briefje van €50. Hoeveel krijg ik
terug?
Leerlingen moeten zelf de opgave herkennen
Doel: inoefenen van de basisbewerkingen
o Lln. moeten inzicht verwerven in 4 basisbewerkingen moeten deze al vlot kunnen
uitvoeren!
o Lln. moeten bij een bewerking ook iets kunnen voorstellen (zelf een rekenverhaal
kunnen formuleren)
o Lln. moeten bewerking kunnen toepassen (aan een rekenverhaal de juiste bewerking
koppelen)
Bij begin instructieproces betekenisvolle situaties aangeboden (lln. leren zo bewerkingen
voorstellen en berekenen)
Na het inoefenen v/d bewerkingen lln. moeten ze efficiënt kunnen aanwenden in reële
probleemsituaties Daarom eindigt het instructieproces ook met toepassingen (leren effectief
gebruiken v/d bewerkingen)
2) TYPEVRAAGSTUKKEN
Voorbeeld: Op de plattegrond van Gent (schaal 1: 13 000) is de afstand in vogelvlucht tussen 2
campussen (Kattenberg en Kantienberg) 7 cm. Hoeveel is de afstand in werkelijkheid?
Vraagstukken rond snelheid, ongelijke verdeling, schaal, gemiddelde, interest, …
Vaste methodes (standaardmethodes) meegeven om de opgave aan te pakken
o O.a. schema’s die rechtstreeks tot de oplossing leiden
o Bv.: voor deze oefening een verhoudingstabel
Specifieke begrippen komen aan bod in de opgave (snelheid, korting, schaal, …)
o Als je niet weet wat ‘schaal’ betekent, kan je de opgave ook niet oplossen
o Begrippen moeten dus gekend zijn!
Doel: inoefenen van begrippen en schema’s
,3) PROBLEMEN
Voorbeeld 1: Voor 4 havermoutpannenkoeken heb je 100 ml sojamelk, 75 g havermout, 1 ei en 1
banaan nodig. Ik heb 250 ml sojamelk. Hoeveel pannenkoeken kan ik maken?
Voorbeeld 2: We gaan op schoolreis naar de zoo. We willen om 10:00 uur in de zoo zijn. We gaan te
voet van de school naar het station. Op de brief wil de meester ook zetten wanneer de kinderen op
school moeten zijn die ochtend. Welk uur zal hij vermelden?
1e voorbeeld: klassiek vraagstuk waarbij alle lln. via +- analoge oplossingsweg op dezelfde
oplossing terecht zullen komen.
o Oplossingsmethode ligt voor de hand toepassen van recht-evenredigheid.
e
2 voorbeeld: ‘probleemgehalte’ veel hoger aanpak of wiskundige inhoud niet meteen
duidelijk
o Verschillende zaken moeten combineren (uurtabellen raadplegen, kloklezen,
referentiematen i.v.m. wandelsnelheid, afstand school-station bepalen, …)
Doel: probleemoplossende vaardigheden oefenen
4) VERSCHIL ‘KLASSIEK’ VRAAGSTUK & PROBLEMEN
Ingeklede bewerking/typevraagstuk Probleem
Doel: Doel:
- Aangeleerde rekenoperaties toepassen - Probleemoplossende vaardigheden
- Aantal basisschema’s inoefenen (bv. inoefenen
verhoudingstabel, deel-geheelschema,
…)
- Bepaalde typevraagstukken kunnen
oplossen (bv. schaal, snelheid, …)
Het vraagstuk schrijft vaak de Kinderen kiezen eigen strategieën die
oplossingsmethode voor. aansluiten op hun alledaagse
Er is een voor de hand liggende oplossingsmanieren en handelingen.
oplossingsmethode. Verschillende oplossingswegen zijn mogelijk.
De situatie is van geen belang. De concrete situatie is van belang om het
Een vraagstuk beschrijft soms een verschraalde probleem aan te pakken.
werkelijkheid waaraan elke zin ontbreekt.
De objecten waarover sprake is in het vraagstuk
kunnen makkelijk worden vervangen.
Er wordt geen gebruik gemaakt van de Er wordt beroep gedaan op alledaagse kennis,
alledaagse kennis v/d kinderen. op de inbreng vanuit eigen ervaringen.
Het wordt geschreven in functie v/e
berekening.
Vast patroon, dezelfde woorden, vaste Wisselende aanbiedingsvormen en
uitdrukkingen. formuleringswijze: cartoon, strip, grafiek, …
Een vraagstuk dringt leerlingen zijn Kinderen kunnen hun eigen alledaagse taal
taalstructuur op. gebruiken.
Eén correct antwoord wordt verlangd. Soms zijn meerdere correcte antwoorden
mogelijk.
Kinderen vinden ze eerder saai. Kinderen vinden ze uitdagend.
Vooral op individuele aanpak gericht. Meer mogelijkheden om ze in groep op te
lossen; samenwerking, discussie,
communiceren over oplossingsstrategieën
Bevat doorgaans alle getallen die nodig zijn Dikwijls op zoek gaan naar ontbrekende
voor de berekening v/d oplossing informatie (bv. in tabellen, folders, …) +
eventuele ervaringskennis inschakelen in het
werkelijke leven ook zo!
,4) SITUERING BINNEN HET LEERPLAN
ZILL Bij 'Logisch en wiskundig Denken’ WDlw3 (hieronder vallen de 3 categorieën!)
OVSG
‘Klassieke’ vraagstukken (ingeklede bewerking en typevraagstuk) vallen onder de hoofdstukken
‘getallen’ en ‘MMR’
Bij ‘domeinoverschrijdende doelstellingen’ zitten wiskundige attitudes + probleemoplossende
vaardigheden!
5) VERSCHILLEN TUSSEN DE VRAAGSTUKKEN
Factoren waarin toepassingen kunnen verschillen + moeilijkheidsgraad voor lln. meebepalen
Belangrijk om moeilijkheidsgraad te herkennen en aan te passen + variatie aanbrengen in
aanbod!
WISKUNDIGE STRUCTUURKENMERKEN
a) Complexiteit v/d opgave
- Enkelvoudige vraagstukken kan opgelost worden via één rekenkundige bewerking
- Samengestelde vraagstukken vereisen 2 of meer bewerkingen
- Kettingvraagstukken meerdere problemen moeten opgelost worden (via gerichte vragen in
deelproblemen opgesplitst)
o Dit is dus een opeenvolging van enkelvoudige vraagstukken overgang naar
samengestelde vraagstukken
b) Aard v/d rekenoperatie
Enkelvoudige vraagstukken optel-, aftrek-, vermenigvuldigings- en delingsvraagstukken
(naargelang de bewerking met de 2 gegeven getallen)
o Optellen is makkelijker dan aftrekken
o Vermenigvuldigen is makkelijker dan delen
c) Aard en grootte v/d getallen
Vraagstukken met kommagetallen en breuken = moeilijker dan vraagstukken met nat. getallen.
Bij vraagstukken staat denken centraal er wordt niet getoetst op cijferen!
Vraagstukken dus voorzien van weloverwogen getallen (niet te groot/ingewikkeld)
Kan wel niet altijd vermeden worden realiteit geeft meer aanleiding tot complex
cijferwerk (bv.: intrestberekening, kommagetallen bij €, …)
SEMANTISCHE STRUCTUURKENMERKEN VAN ENKELVOUDIGE VRAAGSTUKKEN
Bewerkingen kunnen in veel verschillende soorten vraagstukken optreden
Voorbeeld 1: Ik heb €24 bij me. Ik koop een taart van €6. Hoeveel heb ik nog over? (OV)
Voorbeeld 2: Ik heb €24 verdiend met babysitten, dat is €6 meer dan mijn zus. Hoeveel
verdiende zij? (GV)
De bewerking ’24-6’ komt bij beide vraagstukken voor.
Het 1e voorbeeld sluit onmiddellijk aan bij de intuïtieve betekenis v/d aftrekking (wegdoen).
Bij het 2e voorbeeld is de link minder duidelijk.
Bij dezelfde bewerking kunnen verschillende betekenissen (semantische structuren)
geassocieerd worden.
, KENMERKEN DIE TE MAKEN HEBBEN MET DE OPPERVLAKTESTRUCTUUR V/H VRAAGSTUK
Heeft te maken met linguïstische factoren zoals:
o De lengte v/h vraagstuk
Vraagstuk = doorzichtiger maken (betere inleving = eenvoudigere
probleemrepresentatie)
Vraagstuk moeilijker maken voor lln. die zwakker zijn in begrijpend lezen.
o Plaats v/d vraagzin (vaak op het einde en met een vraagteken)
o Grammaticale complexiteit verwijswoorden (ze, hem, …) maken een vraagstuk moeilijker
o Volgorde waarin de sets uit de semantische structuur in de opgavetekst worden opgenomen
(chronologisch of niet chronologisch)
o Aanwezigheid van sleutelwoorden in de tekst
Bv. Er staan 47 tenten op een veld. Er waaien eerst 3 weg, dan 2. Hoeveel tenten zijn
weggewaaid?
Wegwaaien = aftrekking maar ze moeten voor de oplossing een optelling uitvoeren!
o Aanwezigheid van overbodige/tegenstrijdige gegevens, onbelangrijke getallen, …
Bij voorbeeld v/d tenten: het totaal aantal tenten is overbodig
o Het gebrek aan essentiële gegevens (moeten soms via ervaringskennis v/d lln. aangevuld
worden)
o Vertrouwdheid met de context: belangrijke begrippen (bv. bruto, tarra, kapitaal, rentevoet,
…) moeten voldoende verkend zijn
FACTOREN DIE TE MAKEN HEBBEN MET WAT VAN LLN. WORDT VERWACHT
Vraagstukken moeten niet altijd opgelost worden er kan gevraagd worden om:
- Het vraagstuk dramatiseren
- Enkel de vraag onderstrepen en een vraagzin formuleren
- Zelf een vraag bij een vraagstuk noteren
- Ontbrekende gegevens invullen
- Vraagstukken groeperen o.b.v. overeenkomsten
- Uit een aantal rekenoperaties de juiste/passende bewerking kiezen
- Verklaren
- Schematiseren
- Oplossing schatten
- Uitleggen waarom een oplossing goed/slecht is
- Zelf een vraagstuk ontwerpen bij een schema/tabel
- Peilen naar redelijkheid v/d antwoorden
FACTOREN DIE TE MAKEN HEBBEN MET DE OMSTANDIGHEDEN WAARIN DE TAAK WORDT
UITGEVOERD
Variatie in:
- Mondelinge vs. schriftelijke (schema, tabel, cartoon, …) presentatie
- Gegevens opzoeken in een gegevensdatabank
- Beschikken over concreet materiaal
- Mogen werken met een ZRM
- Individueel of in groep werken
