Hoofdstuk 4: Toepassingen van differentiëren
- (4.3) de regel van de l’Hopital
- Functie-onderzoek
- Benaderingen van functies d.m.v. (taylor)polynomen (Taylorbenaderingen)
De regel van l’Hopital
( Fy¥y
im
+→ a
wuurbij fly gas ,
→ o or I - ab x →a ( altijdmoeihjt) )
Laat f en g functies zijn die differentieerbaar zijn op een interval (a, a + E )
ti#te
to
en
maths -_¥jzg↳=e fingers sus -
or
-
-
Dan geldt :
Lima =
ma units deluutstelimietbestaut
Een soortgelijke uitspraak geldt ook voor de linkerlimiet IN -
rtu
u -
E
en dus ook voor de gewone limiet
De uitspraak geldt ook als a=± (dan f,g diff.baar voor x voldoende groot/klein)
Bewijs (met MWS) (voor rechterlimiet, a ∈ ℝ)
:
omdat f(x),g(x) —> 0 als x a kunnen we stellen dat f(a)=g(a)=0 (f,g dan rechtscontinue in a)
GMWS
FH-t-yug.FI?g=FIDmeraacaxcute
:
y
↳ -
gild
cels X.la dan gaut cook nauru
t.int#i .
II
'
,
hetgevula-xt-txflxs-J.lt
Nu
) Ect)
-
(substitute)
g↳=gL¥)=5Lt)
-
E's.TT#t:imoEEfitinoTIT .
g
tint
+ → no
y
'
( x)
I ' Hopi tu
fig # 4=2
→ x5 I
b. it
HEE fins E
-
vb.I.%EF.fi:
- -
a
S
. , ,
X city'd voerwaarde
XJ " checkers
-
I x -
I → o
sin x. x → o
niet
,
( ulsxo D
teller
-
↳ city
,
'
'd control even ,
Woerner 80
,
Irs l Hopi tale passer
, Sams meet je regal uukertoepussen :
b. tin '
I' E'
' ' '
+90 ±= . Limo =3
T -
cosy I → o
,
ab too
sins ,
2x → o
De regel gaat ook op als f(x),g(x) —> ± x als Kla ( xta ,
+ → a)
I
thx
1in - slim -1=0
x
* →A X
*→x
Inks ,
* → reals x → no
standaard limier
Vb -
too
lime
sinks =¥%÷ =t= , or .
¥ .
'
fig
.
'
Ii : =
ex -
I
,
since> → oats x → o → Attig'D doen (E) i. o
.
I = Eo .
1=1 l - -
-
I
I
Luks (H
'
x
Vb limxlnlx> = lion -
= lim -
= lion -
x
-
o
Iz
-
.
Ito Ho I Ho
-
xto
In s - no # → to als xto
,
sin x x cost I sinx
six)
- -
Ub lim
lim (I lin
¥
-
.
-
=
-
= -
= lim - = = O
85in sinxtxcosx
+ → o
x >o + → o
* →o Zcosx -
xsinx
sine
zsin×→o}a↳8→0
" l SO hoerner teller
all
to
-
x → o
- ,
,
A
z D=
- -
,
-
.
,
us x so
4.4-6: Functie-onderzoek
Gegeven een functie f, bepaal ‘belangrijke’ kenmerken van f zoals
- domein (voor welke x is f(x) gedefinieerd?)
- nulpunten (snijpunten van de grafiek met de assen)
- extreme waarden (maxima en minima) (kritieke, singuliere, randpunten)
- asymptoten van de grafiek, algemener: gedrag van f aan de randen van het domein
- (buigpunten)
- wat verder nog nodig is (als je niet veel van de bovenstaande kan vinden)
Extreme waarden:
als f’(x)>0 op een interval I dan is f strict stijgend op I
als f’(x)<0 op een interval I dan is f strict dalend op I
Als f niet-dalend op I is dan is f’(x)>0 voor x ∈ I -
Als f niet-stijgend op I is dan is f’(x)<0 voor x ∈ I →
nietattijd Vb fix)=x strict stipend Muar - :
,
?
F' Coto /
MW
Als f in a diff.baar is en f neemt in a een minimum of maximum aan, dan is f’(a)=0 ~_
min
a heet in dit geval een kritiek (of stationair) punt van f: —> beter: een kritiek punt of
stationair punt is een a ∈ ℝ zodat f’(a)=0 (dus een nulpunt van f’)
- (4.3) de regel van de l’Hopital
- Functie-onderzoek
- Benaderingen van functies d.m.v. (taylor)polynomen (Taylorbenaderingen)
De regel van l’Hopital
( Fy¥y
im
+→ a
wuurbij fly gas ,
→ o or I - ab x →a ( altijdmoeihjt) )
Laat f en g functies zijn die differentieerbaar zijn op een interval (a, a + E )
ti#te
to
en
maths -_¥jzg↳=e fingers sus -
or
-
-
Dan geldt :
Lima =
ma units deluutstelimietbestaut
Een soortgelijke uitspraak geldt ook voor de linkerlimiet IN -
rtu
u -
E
en dus ook voor de gewone limiet
De uitspraak geldt ook als a=± (dan f,g diff.baar voor x voldoende groot/klein)
Bewijs (met MWS) (voor rechterlimiet, a ∈ ℝ)
:
omdat f(x),g(x) —> 0 als x a kunnen we stellen dat f(a)=g(a)=0 (f,g dan rechtscontinue in a)
GMWS
FH-t-yug.FI?g=FIDmeraacaxcute
:
y
↳ -
gild
cels X.la dan gaut cook nauru
t.int#i .
II
'
,
hetgevula-xt-txflxs-J.lt
Nu
) Ect)
-
(substitute)
g↳=gL¥)=5Lt)
-
E's.TT#t:imoEEfitinoTIT .
g
tint
+ → no
y
'
( x)
I ' Hopi tu
fig # 4=2
→ x5 I
b. it
HEE fins E
-
vb.I.%EF.fi:
- -
a
S
. , ,
X city'd voerwaarde
XJ " checkers
-
I x -
I → o
sin x. x → o
niet
,
( ulsxo D
teller
-
↳ city
,
'
'd control even ,
Woerner 80
,
Irs l Hopi tale passer
, Sams meet je regal uukertoepussen :
b. tin '
I' E'
' ' '
+90 ±= . Limo =3
T -
cosy I → o
,
ab too
sins ,
2x → o
De regel gaat ook op als f(x),g(x) —> ± x als Kla ( xta ,
+ → a)
I
thx
1in - slim -1=0
x
* →A X
*→x
Inks ,
* → reals x → no
standaard limier
Vb -
too
lime
sinks =¥%÷ =t= , or .
¥ .
'
fig
.
'
Ii : =
ex -
I
,
since> → oats x → o → Attig'D doen (E) i. o
.
I = Eo .
1=1 l - -
-
I
I
Luks (H
'
x
Vb limxlnlx> = lion -
= lim -
= lion -
x
-
o
Iz
-
.
Ito Ho I Ho
-
xto
In s - no # → to als xto
,
sin x x cost I sinx
six)
- -
Ub lim
lim (I lin
¥
-
.
-
=
-
= -
= lim - = = O
85in sinxtxcosx
+ → o
x >o + → o
* →o Zcosx -
xsinx
sine
zsin×→o}a↳8→0
" l SO hoerner teller
all
to
-
x → o
- ,
,
A
z D=
- -
,
-
.
,
us x so
4.4-6: Functie-onderzoek
Gegeven een functie f, bepaal ‘belangrijke’ kenmerken van f zoals
- domein (voor welke x is f(x) gedefinieerd?)
- nulpunten (snijpunten van de grafiek met de assen)
- extreme waarden (maxima en minima) (kritieke, singuliere, randpunten)
- asymptoten van de grafiek, algemener: gedrag van f aan de randen van het domein
- (buigpunten)
- wat verder nog nodig is (als je niet veel van de bovenstaande kan vinden)
Extreme waarden:
als f’(x)>0 op een interval I dan is f strict stijgend op I
als f’(x)<0 op een interval I dan is f strict dalend op I
Als f niet-dalend op I is dan is f’(x)>0 voor x ∈ I -
Als f niet-stijgend op I is dan is f’(x)<0 voor x ∈ I →
nietattijd Vb fix)=x strict stipend Muar - :
,
?
F' Coto /
MW
Als f in a diff.baar is en f neemt in a een minimum of maximum aan, dan is f’(a)=0 ~_
min
a heet in dit geval een kritiek (of stationair) punt van f: —> beter: een kritiek punt of
stationair punt is een a ∈ ℝ zodat f’(a)=0 (dus een nulpunt van f’)
