KU Leuven Technologiecampus Gent · Industriële wetenschappen · 1ste bachelor
Wiskundige modellen
Volledige samenvatting · 39 pagina's · 16+/20 op het examen
p. 14 p. 32 p. 37
INHOUD
1. Eerste orde differentiaalvergelijkingen p. 6
2. Lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde p. 10
3. Functies van meerdere veranderlijken p. 13
4. Extrema van functies van 2 of 3 veranderlijken p. 16
5. Dubbelintegralen p. 18
6. Drievoudige integralen p. 21
7. Lijnintegralen van scalaire functies p. 24
8. Vectorfuncties en Vectorvelden p. 27
9. Formularium p. 31
Volledige samenvatting · 39 pagina's · JPI0UR · gemaakt op basis van de lessen en het lesmateriaal
,Wiskundige Basismodellen
Samenvatting
Bachelor in de Industriële Ingenieurswetenschappen
KU Leuven Campus Gent
6 juni 2026
,Inhoudsopgave
1 Eerste orde differentiaalvergelijkingen 1
1.1 Basisbegrippen en Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Separabele Differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Toepassingen van separabele dv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Lineaire Differentiaalvergelijkingen van de 1ste orde . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Stap 1: Bepalen van yg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Stap 2: Bepalen van yp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Toepassingen van lineaire dv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Numerieke Oplossingsmethode: Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde 5
2.1 Definitie en Standaardgedaante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Structuur van de Algemene Oplossing (A.O.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 De Homogene Differentiaalvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Lineaire onafhankelijkheid en de Wronskiaan . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Homogene DV met constante coëfficiënten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 De Particuliere Oplossing (Methode van de onbepaalde coëfficiënten) . . . 6
2.5.1 Gereedschap bij het voorspellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Toepassing 1: Massa-veersysteem (Trillingen) . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6.1 Vrije trillingen (F (t) = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 Toepassing 2: Valbeweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7.1 Geval 1: Verwaarloosbare luchtweerstand . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7.2 Geval 2: Luchtweerstand evenredig met de snelheid . . . . . . . . . 7
3 Functies van meerdere veranderlijken 8
3.1 Grafische voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Partiële afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.1 Meetkundige betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.2 Hogere orde afgeleiden en Stelling van Schwarz . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Raakvlak aan een oppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.1 Expliciete vorm z = f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.2 Impliciete vorm F (x, y, z) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 Gradiënt en Richtingsafgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5.1 Gradiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5.2 Richtingsafgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Extrema van functies van 2 of 3 veranderlijken 11
i
, 4.1 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1 Stationaire punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 Test van de tweede afgeleide (Hessiaan) . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Gebonden Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.1 Multiplicatorenmethode van Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.2 Uitbreiding naar 3 variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Praktische Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Dubbelintegralen 13
5.1 Definitie en Meetkundige Betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.2 Meetkundige betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Berekening in Cartesiaanse Coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.1 Normale integratiegebieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.2 Speciale gevallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Dubbelintegraal in Poolcoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4 Mechanische Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.1 Massa van een vlak gebied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.2 Massamiddelpunt (Zwaartepunt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.3 Traagheidsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.4.4 Gyratiestraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.5 Stelling van Steiner (Evenwijdige assen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Drievoudige integralen 16
6.1 Definitie en Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.1.2 Cartesiaanse coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 Transformaties naar andere Coördinatenstelsels . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2.1 Cilindercoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2.2 Bolcoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3 Toepassingen van Drievoudige Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.1 Volume en Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.2 Massamiddelpunt (Zwaartepunt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.3 Traagheidsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4 Examenfocus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 Lijnintegralen van scalaire functies 19
7.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.2 Praktische berekening via parametervoorstelling . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.2.1 Bijzonder geval: Lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.3 Toepassingen van lijnintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4 Oppervlakintegralen van scalaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4.2 Berekening via parametervoorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4.3 Berekening via Cartesiaanse vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.4.4 Bijzondere oppervlakken en hun dS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.4.5 Toepassingen van oppervlakintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.4.6 Speciale gevallen: Omwentelingsoppervlak . . . . . . . . . . . . . . 21
ii
Wiskundige modellen
Volledige samenvatting · 39 pagina's · 16+/20 op het examen
p. 14 p. 32 p. 37
INHOUD
1. Eerste orde differentiaalvergelijkingen p. 6
2. Lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde p. 10
3. Functies van meerdere veranderlijken p. 13
4. Extrema van functies van 2 of 3 veranderlijken p. 16
5. Dubbelintegralen p. 18
6. Drievoudige integralen p. 21
7. Lijnintegralen van scalaire functies p. 24
8. Vectorfuncties en Vectorvelden p. 27
9. Formularium p. 31
Volledige samenvatting · 39 pagina's · JPI0UR · gemaakt op basis van de lessen en het lesmateriaal
,Wiskundige Basismodellen
Samenvatting
Bachelor in de Industriële Ingenieurswetenschappen
KU Leuven Campus Gent
6 juni 2026
,Inhoudsopgave
1 Eerste orde differentiaalvergelijkingen 1
1.1 Basisbegrippen en Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Separabele Differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Toepassingen van separabele dv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Lineaire Differentiaalvergelijkingen van de 1ste orde . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Stap 1: Bepalen van yg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Stap 2: Bepalen van yp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Toepassingen van lineaire dv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Numerieke Oplossingsmethode: Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde 5
2.1 Definitie en Standaardgedaante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Structuur van de Algemene Oplossing (A.O.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 De Homogene Differentiaalvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Lineaire onafhankelijkheid en de Wronskiaan . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Homogene DV met constante coëfficiënten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 De Particuliere Oplossing (Methode van de onbepaalde coëfficiënten) . . . 6
2.5.1 Gereedschap bij het voorspellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Toepassing 1: Massa-veersysteem (Trillingen) . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6.1 Vrije trillingen (F (t) = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 Toepassing 2: Valbeweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7.1 Geval 1: Verwaarloosbare luchtweerstand . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7.2 Geval 2: Luchtweerstand evenredig met de snelheid . . . . . . . . . 7
3 Functies van meerdere veranderlijken 8
3.1 Grafische voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Partiële afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.1 Meetkundige betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.2 Hogere orde afgeleiden en Stelling van Schwarz . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Raakvlak aan een oppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.1 Expliciete vorm z = f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.2 Impliciete vorm F (x, y, z) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 Gradiënt en Richtingsafgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5.1 Gradiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5.2 Richtingsafgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Extrema van functies van 2 of 3 veranderlijken 11
i
, 4.1 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1 Stationaire punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 Test van de tweede afgeleide (Hessiaan) . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Gebonden Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.1 Multiplicatorenmethode van Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.2 Uitbreiding naar 3 variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Praktische Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Dubbelintegralen 13
5.1 Definitie en Meetkundige Betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.2 Meetkundige betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Berekening in Cartesiaanse Coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.1 Normale integratiegebieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.2 Speciale gevallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Dubbelintegraal in Poolcoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4 Mechanische Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.1 Massa van een vlak gebied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.2 Massamiddelpunt (Zwaartepunt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.3 Traagheidsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.4.4 Gyratiestraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.5 Stelling van Steiner (Evenwijdige assen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Drievoudige integralen 16
6.1 Definitie en Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.1.2 Cartesiaanse coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 Transformaties naar andere Coördinatenstelsels . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2.1 Cilindercoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2.2 Bolcoördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3 Toepassingen van Drievoudige Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.1 Volume en Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.2 Massamiddelpunt (Zwaartepunt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3.3 Traagheidsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4 Examenfocus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 Lijnintegralen van scalaire functies 19
7.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.2 Praktische berekening via parametervoorstelling . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.2.1 Bijzonder geval: Lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.3 Toepassingen van lijnintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4 Oppervlakintegralen van scalaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4.2 Berekening via parametervoorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4.3 Berekening via Cartesiaanse vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.4.4 Bijzondere oppervlakken en hun dS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.4.5 Toepassingen van oppervlakintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.4.6 Speciale gevallen: Omwentelingsoppervlak . . . . . . . . . . . . . . 21
ii
