Samenvatting Wiskundige methoden en technieken: integralen

1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2


Wiskundige methoden en technieken
Enkelvoudige integralen

A. Definities

Hoofdstuk 1: Kernbegrippen

1. Primitieve functie
Als continu is op een interval, dan noemt men een
primitieve functie of stamfunctie van f op dit interval als
( ) ( )


2. De onbepaalde integraal
Als continu is op een interval, dan noemt men de verzameling van
alle primitieve functies van f op dit interval de onbepaalde integraal of
∫ ( ) ( )
Met F een primitieve functie van f op dit interval

3. De basiseigenschappen van onbepaalde integraal
Als en continu zijn, en , dan geldt
 ∫ ( ) ∫ ( )
 ∫ [ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )
Let wel op:
 ∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )

4. Eigenschap van de onbepaalde integraal en de afgeleide gecombineerd
Als continu is, dan geldt
[∫ ( ) ] ( )

Als afleidbaar is, dan geldt
∫ ( ) ( )


5. Eigenschap van de meetkundige betekenis van een onbepaalde integraal
Als continu is op een interval dat x0 bevat, als S(x) de oppervlakte is
tussen de curve van f en de X-as van het vaste punt x0 tot aan een punt x in
het interval, dan geldt
( ) ( )

6. Eigenschap van de oppervlakte tussen een curve en de X-as
Als continu is op een interval dat x0, a en b bevat, als een
primitieve functie is van f, dan geldt voor de oppervlakte Sab tussen de curve
van f en de X-as tussen de punten a en b dat
Sab = F(b) – F(a)

1

,1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2


7. De bepaalde integraal
Als continu is op een interval dat a en b bevat, dan wordt de
bepaalde integraal van f over het interval [a, b] gedefinieerd als:

∫ ( ) [ ( )] ( ) ( )

met F een primitieve functie van f op [a, b]

 We noemen f(x) het integrandum, x de integratieveranderlijke, a en b de
integratiegrenzen, a de benedengrens en b de bovengrens

8. Eigenschap van bepaalde integraal
Als continu is op een interval dat a en b bevat, en Sab is de
oppervlakte tussen de curve van f en de X-as tussen de punten a en b, dan
geldt:

∫ ( )


9. Basiseigenschappen van een bepaalde integraal
Als continu is op het interval dat a, b en c bevat en k , dan geldt:
 ∫ ( ) ∫ ( )
 ∫ ( ) ∫ ( )
 ∫ ( )
 ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )


10. Eigenschap van bepaalde integraal en afgeleide gecombineerd
Als continu is op een interval dat a en b bevat, dan geldt voor t
tussen a en b:
 ∫ ( ) ( )
 ∫ ( ) ( )




2

, 1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2


Hoofdstuk 2: Integratiemethoden

11. Standaardintegralen
Volgend lijstje moet gekend zijn:
 ∫ { }
 ∫ | | ∫ | |
 ∫
 ∫
 ∫
 ∫
 ∫ { }
 ∫
 ∫√ 7


12. Eigenschap van integratie door splitsing
Als en continu zijn, en dan geldt:
∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )


13. Integratie door splitsing
Gebruik een integratie door splitsing wanneer je het integrandum kan
schrijven als een som of verschil van eenvoudigere en integreerbare functies.

14. Eigenschap van integratie voor splitsing
Als en continu zijn op een interval dat a en b bevat, en
dan geldt

∫ [ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )


15. Eigenschap van integratie door substitutie
Als continu is, en is continu en afleidbaar, dan geldt:
∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) ( )


16. Eigenschap van integratie door substitutie
Als continu en afleidbaar is op een interval dat a en b bevat, en
is continu op een interval dat g(x) en g(b) bevat, dan geldt:
( )
∫ ( ( )) ( ) ∫ ( )
( )




3