Samenvatting Kansrekenen en beschrijvende statistiek | KUL | 2024/25

Kansrekenen en beschrijvende statistiek
Hoofdstuk 1: kansrekenen
1. Definites van begrippen in een kansruimte
1.1. Het experiment
- Deterministisch = men meet een bepaalde grootheid (massa, snelheid,
concentratie, …) en het resultaat is een vast getal
- Stochastisch = de uitkomst van het experiment hangt af van het toeval
(toevalsexperimenten). Kanstheorie beschrijft op wiskundige wijze de
wetmatigheden die dit toeval beheersen.

1.2. De uitkomst van een experiment
- Uitkomst van het experiment = resultaat van een experiment
- Uitkomstenverzameling of universem = de verzameling van alle mogelijke
uitkomsten en wordt meestal voorgesteld door het symbool omega (Ω )

1.3. Gebeurtenissen
- Gebeurtenis = een deelverzameling A van Ω
o De verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen is de verzameling van
alle deelverzamelingen van Ω . We noteren A ⊂ Ω of A ∈ 2Ω
o A heeft zich voorgedaan  de werkelijke uitkomst behoort tot A
- Zekere gebeurtenis: Ω
- Onmogelijke gebeurtenis: ∅ ⊂ Ω
- Enkelvoudige gebeurtenis: indien #A = 1

1.4. Mogelijke benaderingen van het kansbegrip
Kanstheorie geeft aan elke gebeurtenis een maat voor de waarschijnlijkheid, ontstaan
in de 17e eeuw, formeel omstreeks 1930 door Kolmogov.

Kans als relatieve frequentie
Aantal gelaagde experimenten / totaal aantal experiemnten:
- n = aantal uitgevoerde experimenten
- S(n) = aantal geslaagde experimenten (d.w.z. waarbij gebeurtenis A zich heeft
voorgedaan)

S (n )
Dan is de kans P(A) op de kans A: P(A) = lim
n→∞ n
 Onhandig om mee te rekenen, niet alles kan oneindig herhaald worden,
wispelturig verloop

De definitie van Laplace
¿A
P(A) =  op voorwaarde dat alle enkelvoudige gebeurtenissen even
¿Ω
waarschijnlijk zijn

Deze definitie lijkt al handig om mee te rekenen, maar heeft een dubbel nadeel:
1. Ze is beperkt: wat indien niet alle enkelvoudige gebeurtenissen even
waarschijnlijk zijn?
2. En vooral: ze is niet sluitend. Immers, deze definitie van ‘kans’ gebruikt het
begrijp ‘waarschijnlijk’ zelf.

Een kansruimte is een drietal van uitkomstenverzameling Ω gebeurtenisverzameling
Ω
Β=2 en kansfunctie P dat voldoet aan:
1. Positiviteit: ∀ A ∈2Ω : P ( A ) ∈ R+¿¿

, 2. Kans op zekere gebeurtenissen: P(Ω ) = 1 = 100%
3.
3.1. Additiviteit: ∀ A , B ∈2 Ω : A ∩ B=∅ =¿ P ( A ∪ B )=P ( A ) + P( B)
3.2. Continuïteit: Als An een rij is van gebeurtenissen zodat An ⊂An+1 dan is P(nlim
→∞
An )

= lim P ( An )
n→∞


 4 axioma’s: heel belangrijk!
o 1 = voor alle A deelverzamelingen van omega: P(A) >= 0
o 2 = de uitkomst van kans P moet 100% zeker in Ω zitten
o 3 = doorsnede van A en B is leeg => P(A unie B) = P(A) + P(B)

2. Eigenschappen van een kansruimte
2.1. De kans op de onmogelijke gebeurtenis P( ∅ ) = 0
2.2. De complementregel
- Definitie: het complement van een gebeurtenis A wordt gedefinieerd als A’ = Ω ∖
A.
o Of nog: A ∪ A’ = Ω met: A ∩ A' =∅

- Eigenschap: ∀ A ∈2Ω : P ( A ' )=1−P ( A )

- Gevolg: ∀ A ∈2Ω :0 ≤ P ( A ) ≤ 1

2.3. De verschilregel
∀ A , B ∈2 Ω : P ( A ∖ B ) =P ( A )−P( A ∩ B)

2.4. De wet van Boole (veralgemeende somregel)
∀ A , B ∈2 Ω : P ( A ∪B )=P ( A ) + P ( B ) −P( A ∩ B)
 Als A,B ∈2 Ω, dan is ook A∩B∈2 Ω en dus geldt: P(A ∩B) ≥ 0
 Daaruit volgt: ∀ A , B ∈2 Ω : P ( A ∪B ) ≤ P ( A ) + P(B)
o Deze formule wordt ook wel de ongelijkheid van Boole genoemd

2.5. Eindige en aftelbare somregels
Als Ai ∈2 Ω met i = 1, …, n en Ai ∩ Aj = ∅ voor i≠ j , dan geldt :
n
 P(¿ i=1 ¿ n Ai ¿=∑ P( Ai) ¿
i=1


Limietovergang maken n -> ∞ . Als En = ¿ i=1 ¿ n Ai , dan geldt dat En ⊂ En+1, dus
kunnen we het continuïteitsaxioma toepassen. We krijgen dan:
∞
 P(¿ i=1 ¿ ∞ Ai ¿=∑ P( Ai) ¿
i=1
Op voorwaarde dat alle Ai’s niet onderling disjunct zijn. Dus: aftelbare somregel volgt
uit de axioma’s. Het kan ook omgekeerd: de aftelbare somregel is krachtig genoeg om
het additiviteitsaxioma en het continuïteitsaxioma te vervangen.

2.6. Uitbreiding van de wet van Boole
Als Ai ∈2 Ω met i = 1, …, n dan geldt:
n n i−1 n i−1 j−1
 P(¿ i=1 ¿ n Ai ¿=∑ P( Ai)¿ - ∑ ∑ P (Ai ∩ Aj ¿)+∑ ∑ ∑ P ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿) - … +…
i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k=1


Bijvoorbeeld voor n = 3:
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)

, 2.7. Partiële ordening
∀ A , B ∈2 Ω : A ⊂ B=¿ P( A) ≤ P (B)

2.8. Opbouw van eindige kansruimten
Eindige uitkomstenverzameling Ω , met #Ω = n. Kans is volledig bepaald door de waarde van P(
ωi ¿ in n-1 enkelvoudige gebeurtenissen. Dus kans op iedere gebeurtenis berekenen door
enkelvoudige kansen op te tellen. Axioma’s zijn niet nodig.


Opmerking: niet-eindige kansruimten
Axioma’s zijn nodig. Bijvoorbeeld dartsspel. Het is onmogelijk alle mogelijke
uitkomsten individueel te beschrijven en er een kans aan toe te kennen.

2.9. Herhaling: verzamelingenleer
Wetten van De Morgan:
- (A∩B)’ = A’ ∪ B’
- (A ∪ B ¿' = A’ ∩ B’

3. Uniforme kansruimten
3.1. Definitie
Een kansfunctie op een universum is uniform indien de kansen op alle enkelvoudige
gebeurtenissen gelijk zijn, m.a.w. geldt: ∀ A , B ∈2 Ω : #A =1 = #B => P(A) = P(B)

3.2. Eigenschappen
1. Als #A = 1, dan is P(A) = 1/#Ω
Ω ¿A
2. Kansregel van Laplace: voor uniforme verdelingen geldt ∀ A ∈2 : P ( A )=
¿Ω

3.3. Tellen van uitkomsten – combinatieleer
K-tal = geordende collectie van k elementen

Productregel voor geordende k-tallen
Als de eerste waarde van een geordend k-tal kan gekozen worden op n1 manieren, de
tweede waarde op n2 manieren, …, de k-de waarde op nk manieren, dan is het totaal
aantal mogelijke verschillende k-tallen gelijk aan n1.n2. … . nk.

Variaties en permutaties
In algemeen zijn er n verschillende objecten. De vraag is op hoeveel manieren we k
objecten kunnen selecteren als de volgorde belangrijk is en er geen herhaling is
toegestaan. Dit aantal is het aantal variaties van grootte k, genoteerd als Vk,n. In het
algemeen geldt dat:
 Vk,n = n(n-1)(n-2). … . (n-k+1)
n!
 Vk,n =
( n−k ) !

Men noemt n! ook het aantal permutaties van n objecten. Dit is het aantal manieren
dat we n objecten kunnen ordenen als herhaling niet toegestaan is.

Herhalingsvariatie
We hebben n objecten waarvan we er k willen kiezen, de volgorde is belangrijk en
herhalingen zijn mogelijk (met teruglegging). We noemen dit een herhalingsvariatie
van k uit n. Het aantal mogelijkheden bij een herhalingsvariatie is gelijk aan nk.

, Combinaties
N verschillende objecten. Op hoeveel manieren kunnen we k objecten selecteren als
de volgorde niet belangrijk is (k < n). Zo’n ongeordende deelverzameling van grootte
k is een combinatie.
Er zijn ()
n
k
=
n!
k ! ( n−k ) !
.


3.4. Enkele voorbeelden
Zie ppt



3.5. Uniforme kansruimten op oneindige verzamelingen
Uniforme kansruimten op oneindige verzamelingen bestaan wiskundig niet.

4. Voorwaardelijke kans
4.1. Definitie
A,B ∈2 Ω met P( A) ≠ 0 voorwaardelijke kans op B, gegeven dat A zich heeft voorgedaan.
P ( A ∩ B)
 P(B| A ) = Pa(B) =
P( A)
o Gegeven dat A zich heeft voorgedaan, wat is de kans op B?
o Dit leert hoeveel informatie de gebeurtenis A oplevert over de gebeurtenis
B

4.2. Voorbeelden
4.3. Wet van de totale kans
Splits A op in een aantal deelgevallen die gemakkelijker te berekenen zijn. Stel dus
n
Ω=¿ i=1¿ n Bi met Bi ∩Bj=∅ , als i≠ j , dan geldt :P(A) = ∑ P ( Bi ) . P ¿ ¿
i=1


4.4. De regel van Bayes
P(A|T ) = P ( A ) . P ¿ ¿
 Andere schrijfwijze: P(A|T ) = P ( A ) . P ¿ ¿

Een iets algemenere formulering
Als onderling disjuncte toestanden A, mogelijk zijn, dan wordt de regel van Bayes.
P(Ai|T ) = P ¿ ¿

n
Door sommatie in beide leden van deze vergelijking: ∑ P¿¿ = 1
i=1


4.5. Kettingregel
Regel kan gemakkelijk uitgebreid worden voor meer dan 2 gebeurtenissen. Voor drie
gebeurtenissen hebben we: P( A ∩ B∩ C ¿=P (( A ∩ B)∩C )=P( A ∩ B). P ¿

In het algemeen, voor n gebeurtenissen Ai ≠ ∅ wordt dit:
n
P(¿ i=1 ¿ n Ai ¿=∏ P¿ ¿
i =1


4.6. Voorbeelden
Zie ppt

4.7. Rekenen met a posteriori kansen