Module 1: Wiskunde
1.1 Functies
Inleiding tot reële functies
In de wiskunde is een relatie elk verband tussen twee verzamelingen. In deze
cursus beperken we ons tot relaties tussen twee deelverzamelingen van de reële
getallen ℝ.
Een functie is een speciaal type relatie:
Functie – definitie
Een functie f is een relatie waarbij elk element x uit het domein exact één beeld y
heeft.
We schrijven dit als:
y=f (x )
Voorbeelden
f ( x)=sin (x )
f ( x)=x2
Domein en beeld
Een functie koppelt elk getal x (in het domein) aan precies één waarde f(x) (in het
beeld).
Grafisch wordt dit voorgesteld als punten ( x , f ( x )).
Bijecties
Een functie is bijectief wanneer:
1. elk element van het domein exact één beeld heeft, én
2. elk beeld ook afkomstig is van exact één element uit het domein.
Dit is een één-op-één relatie.
Voorbeeld van een bijectie
y=x
Elke waarde komt exact één keer voor.
Bijecties laten toe functies om te keren (inverse functies).
Reële functies in de fysica
In de fysica beschrijven reële functies het verloop van fysische grootheden, bv.:
positie: x (t)
hoogte: h( t)
snelheid: v (t)
druk als functie van hoogte: P(h)
Sommige fysische fenomenen volgen bekende functietypes, zoals de normale
(Gaussische) verdeling.
Goniometrie en goniometrische functies
Hoeken en radiaalmaat
De hoek θ wordt gedefinieerd als:
s
θ=
r
waar:
1
, s: booglengte
r : straal
In de eenheidscirkel is r =1, dus:
θ=s
Eenheden
Een volledige cirkel = 2 π =360∘
Daaruit volgt:
π rad=180∘1 rad ≈ 57.3∘
Positieve en negatieve hoeken
Positief: tegenwijzerzin
Negatief: wijzerzin
Hoeken kunnen groter zijn dan 2 π ; ze worden modulo 2 π herleid.
De eenheidscirkel en goniometrische functies
Een punt P op de eenheidscirkel onder hoek α heeft coördinaten:
x=cos α , y=sin α
Dus:
sin α is de projectie op de y-as
cos α is de projectie op de x-as
sin α
tan α =
cos α
Basisrelatie (Pythagoras)
sin 2 α +cos 2 α =1
Periodiciteit
De sinusfunctie is periodisch:
sin (θ+2 π )=sin (θ)
Periode = 2 π
Cartesische en poolcoördinaten
Cartesisch: (x , y ) , Pools: (r , θ)
Van pools naar cartesisch Van cartesisch naar pools
x=r cos θ y=r sin θ y
r =√ x + y tan θ= x
2 2
Exponentiële functies
Exponentiële groei ontstaat wanneer een hoeveelheid telkens met dezelfde factor
vermenigvuldigt.
Voorbeeld: bacteriegroei
initieel 4000 → schrijven als 4 (in duizendtallen)
elke 25 min → verdubbelt
functie:
N (t )=4 ⋅2t
Dit is exponentiële groei.
Exponentiële functie
f ( x)=a x
a> 0, a ≠ 1
stijgend als a> 1
dalend als 0< a<1
2
, altijd: a 0=1
De natuurlijke exponentiële functie
x
f ( x)=e
Eigenschappen:
afgeleide = zichzelf
veel gebruikt in natuurkunde (groei, verval, condensatorontlading…)
Logaritmen
Logaritme – definitie
y=log a x ⇔ x =a y
Belangrijk:
log a a=1
log a 1=0
Speciale logaritmen
Natuurlijke logaritme: ln (x)=log e ( x)
Decimale logaritme: log (x)=log 10 (x)
Logaritmische rekenregels
a
log (ab)=log a+ log blog ( )=log a−log blog (an )=n log a
b
Logaritmische schalen
Veel data variëren over meerdere ordes van grootte → logschalen zijn
overzichtelijker.
Voorbeeld: geluidsintensiteit
Geluidsintensiteit varieert van:
10−12 W/m2 (hoordrempel)
1 W/m2 (pijngrens)
We definiëren:
I
dB=10 log ( )
I min
+10 dB = 10× sterker geluid
+20 dB = 100× sterker geluid
1.2 Afgeleiden
Waarom afgeleiden
In heel de natuurkunde spelen afgeleiden een cruciale rol. Ze beschrijven:
hoe snel iets verandert, de helling van een grafiek en de lokale
gedragsverandering van een functie.
Voorbeelden:
positie → snelheid → versnelling
concentratie → reactiesnelheid
3
, uitzetting → temperatuurverandering
Limieten – de basis van afgeleiden
Intuïtie van een limiet
Kijk naar de functie:
2
x +2 x−3
f (x)=
x−1
We evalueren eens rond x=1:
Waarden kleiner dan 1:
x=0,9 ⇒ f (x)=3,9
x=0,99 ⇒ f (x)=3,99
x=0,999 ⇒ f ( x)=3,999
Waarden groter dan 1:
x=1,1 ⇒f (x)=4,1
x=1,01 ⇒ f (x)=4,01
x=1,001 ⇒f ( x)=4,001
Conclusie:
lim f (x )=4
x →1
Ook al is de functie niet gedefinieerd in x=1, toch nadert ze naar 4.
Ophopingspunt
Een punt a is een ophopingspunt van het domein van f wanneer:
f (a)niet bestaat,
maar f ( x) wel bestaat voor punten in de (kleine) buurt rond a .
In ons voorbeeld is 1 zo’n punt.
Wiskundige definitie van limiet
We zeggen dat:
lim f (x)=L
x →a
als:
Voor elke gewenste nauwkeurigheid ε kunnen we een afstand δ rond a vinden
zodat:
wanneer ∣ x−a ∣< δ ,
dan geldt ∣ f (x )−L∣<ε .
Dit is de formele basis voor de definitie van afgeleiden.
Limieten - rekenregels
Voor twee functies f ( x) en g( x ):
Som:
lim [f ( x)+ g(x )]=lim f (x)+ lim g( x )
x →a
Product:
lim [f ( x) g( x )]=(lim f (x ))( lim g( x ))
x →a
Quotiënt:
4
1.1 Functies
Inleiding tot reële functies
In de wiskunde is een relatie elk verband tussen twee verzamelingen. In deze
cursus beperken we ons tot relaties tussen twee deelverzamelingen van de reële
getallen ℝ.
Een functie is een speciaal type relatie:
Functie – definitie
Een functie f is een relatie waarbij elk element x uit het domein exact één beeld y
heeft.
We schrijven dit als:
y=f (x )
Voorbeelden
f ( x)=sin (x )
f ( x)=x2
Domein en beeld
Een functie koppelt elk getal x (in het domein) aan precies één waarde f(x) (in het
beeld).
Grafisch wordt dit voorgesteld als punten ( x , f ( x )).
Bijecties
Een functie is bijectief wanneer:
1. elk element van het domein exact één beeld heeft, én
2. elk beeld ook afkomstig is van exact één element uit het domein.
Dit is een één-op-één relatie.
Voorbeeld van een bijectie
y=x
Elke waarde komt exact één keer voor.
Bijecties laten toe functies om te keren (inverse functies).
Reële functies in de fysica
In de fysica beschrijven reële functies het verloop van fysische grootheden, bv.:
positie: x (t)
hoogte: h( t)
snelheid: v (t)
druk als functie van hoogte: P(h)
Sommige fysische fenomenen volgen bekende functietypes, zoals de normale
(Gaussische) verdeling.
Goniometrie en goniometrische functies
Hoeken en radiaalmaat
De hoek θ wordt gedefinieerd als:
s
θ=
r
waar:
1
, s: booglengte
r : straal
In de eenheidscirkel is r =1, dus:
θ=s
Eenheden
Een volledige cirkel = 2 π =360∘
Daaruit volgt:
π rad=180∘1 rad ≈ 57.3∘
Positieve en negatieve hoeken
Positief: tegenwijzerzin
Negatief: wijzerzin
Hoeken kunnen groter zijn dan 2 π ; ze worden modulo 2 π herleid.
De eenheidscirkel en goniometrische functies
Een punt P op de eenheidscirkel onder hoek α heeft coördinaten:
x=cos α , y=sin α
Dus:
sin α is de projectie op de y-as
cos α is de projectie op de x-as
sin α
tan α =
cos α
Basisrelatie (Pythagoras)
sin 2 α +cos 2 α =1
Periodiciteit
De sinusfunctie is periodisch:
sin (θ+2 π )=sin (θ)
Periode = 2 π
Cartesische en poolcoördinaten
Cartesisch: (x , y ) , Pools: (r , θ)
Van pools naar cartesisch Van cartesisch naar pools
x=r cos θ y=r sin θ y
r =√ x + y tan θ= x
2 2
Exponentiële functies
Exponentiële groei ontstaat wanneer een hoeveelheid telkens met dezelfde factor
vermenigvuldigt.
Voorbeeld: bacteriegroei
initieel 4000 → schrijven als 4 (in duizendtallen)
elke 25 min → verdubbelt
functie:
N (t )=4 ⋅2t
Dit is exponentiële groei.
Exponentiële functie
f ( x)=a x
a> 0, a ≠ 1
stijgend als a> 1
dalend als 0< a<1
2
, altijd: a 0=1
De natuurlijke exponentiële functie
x
f ( x)=e
Eigenschappen:
afgeleide = zichzelf
veel gebruikt in natuurkunde (groei, verval, condensatorontlading…)
Logaritmen
Logaritme – definitie
y=log a x ⇔ x =a y
Belangrijk:
log a a=1
log a 1=0
Speciale logaritmen
Natuurlijke logaritme: ln (x)=log e ( x)
Decimale logaritme: log (x)=log 10 (x)
Logaritmische rekenregels
a
log (ab)=log a+ log blog ( )=log a−log blog (an )=n log a
b
Logaritmische schalen
Veel data variëren over meerdere ordes van grootte → logschalen zijn
overzichtelijker.
Voorbeeld: geluidsintensiteit
Geluidsintensiteit varieert van:
10−12 W/m2 (hoordrempel)
1 W/m2 (pijngrens)
We definiëren:
I
dB=10 log ( )
I min
+10 dB = 10× sterker geluid
+20 dB = 100× sterker geluid
1.2 Afgeleiden
Waarom afgeleiden
In heel de natuurkunde spelen afgeleiden een cruciale rol. Ze beschrijven:
hoe snel iets verandert, de helling van een grafiek en de lokale
gedragsverandering van een functie.
Voorbeelden:
positie → snelheid → versnelling
concentratie → reactiesnelheid
3
, uitzetting → temperatuurverandering
Limieten – de basis van afgeleiden
Intuïtie van een limiet
Kijk naar de functie:
2
x +2 x−3
f (x)=
x−1
We evalueren eens rond x=1:
Waarden kleiner dan 1:
x=0,9 ⇒ f (x)=3,9
x=0,99 ⇒ f (x)=3,99
x=0,999 ⇒ f ( x)=3,999
Waarden groter dan 1:
x=1,1 ⇒f (x)=4,1
x=1,01 ⇒ f (x)=4,01
x=1,001 ⇒f ( x)=4,001
Conclusie:
lim f (x )=4
x →1
Ook al is de functie niet gedefinieerd in x=1, toch nadert ze naar 4.
Ophopingspunt
Een punt a is een ophopingspunt van het domein van f wanneer:
f (a)niet bestaat,
maar f ( x) wel bestaat voor punten in de (kleine) buurt rond a .
In ons voorbeeld is 1 zo’n punt.
Wiskundige definitie van limiet
We zeggen dat:
lim f (x)=L
x →a
als:
Voor elke gewenste nauwkeurigheid ε kunnen we een afstand δ rond a vinden
zodat:
wanneer ∣ x−a ∣< δ ,
dan geldt ∣ f (x )−L∣<ε .
Dit is de formele basis voor de definitie van afgeleiden.
Limieten - rekenregels
Voor twee functies f ( x) en g( x ):
Som:
lim [f ( x)+ g(x )]=lim f (x)+ lim g( x )
x →a
Product:
lim [f ( x) g( x )]=(lim f (x ))( lim g( x ))
x →a
Quotiënt:
4
