Wiskunde voor Economen
Deel 2: Analyse
Verbeterde studiesamenvatting met duidelijke notatie
Modules 11 t.e.m. 16
Doel van dit document
Deze bundel is herschreven alsof je nette cursusnotities op papier bekijkt. Formules staan
in wiskundige notatie, belangrijke ideeën zijn visueel aangeduid, en elk thema bevat
uitleg, voorbeelden, stappenplannen, typische fouten en korte herhalingsvragen.
Gebaseerd op de aangeleverde slides/handouts.
,Wiskunde deel 2 - analyse Modules 11 t.e.m. 16
Inhoudsopgave
Hoe je deze bundel gebruikt 2
1 Module 11 - Belangrijke functies 3
2 Module 12 - Continuïteit en limieten 8
3 Module 13 - Afgeleiden voor functies van één veranderlijke 12
4 Module 14 - Afgeleiden voor functies van meerdere veranderlijken 16
5 Module 15 - Optimalisatie 21
6 Module 16 - Integralen 27
7 Examengerichte synthese 33
pagina 1 van 35
,Wiskunde deel 2 - analyse Modules 11 t.e.m. 16
Hoe je deze bundel gebruikt
Leesstrategie
1. Lees eerst per module het blok Essentie. Dat geeft de kapstok.
2. Bestudeer daarna de definities en formuleblokken. Let vooral op de betekenis van de symbolen.
3. Werk de voorbeelden actief mee. Bedek telkens de volgende stap en probeer die zelf te vinden.
4. Gebruik de stappenplannen bij oefeningen. Ze zijn geschreven als checklist voor examens.
5. Herhaal op het einde de examengerichte synthese: definities, formules, stappenplannen en mogelijke
examenvragen.
Grote leerlijn van de cursus
Thema Waarom komt dit voor?
Belangrijke functies Exponentiële, logaritmische en goniometrische functies zijn bouwstenen
voor economische modellen.
Continuïteit en Hiermee bestudeer je wat een functie doet in de buurt van punten of op
limieten oneindig.
Afgeleiden Een afgeleide meet lokale of marginale verandering.
Meerdere variabelen Economische modellen hangen vaak af van meerdere inputs, zoals
kapitaal en arbeid.
Optimalisatie Afgeleiden helpen om maximale winst, minimaal kosten of optimaal nut
te vinden.
Integralen Integralen tellen marginale effecten op tot totale effecten, zoals totale
kost of surplus.
pagina 2 van 35
, Wiskunde deel 2 - analyse Modules 11 t.e.m. 16
1 Module 11 - Belangrijke functies
Essentie van Module 11
Een functie is een manier om een economisch verband wiskundig te beschrijven. In deze module
staan drie soorten functies centraal:
• Exponentiële functies: voor groei en verval met een constante relatieve factor.
• Logaritmische functies: inverse functies van exponentiële functies; ze beantwoorden de vraag:
“welke exponent hoort hierbij?”
• Goniometrische functies: voor cyclische of periodieke processen, zoals seizoenspatronen.
1.1 Exponentiële groei en verval
Definitie: exponentiële functie
Voor een grondtal a > 0 met a ̸= 1 is de exponentiële functie met grondtal a:
expa : R → R+ x
0 : x 7→ a .
• Als a > 1, dan is ax strikt stijgend: dit beschrijft groei.
• Als 0 < a < 1, dan is ax strikt dalend: dit beschrijft verval.
Machtsregels
Voor a > 0 en geschikte x, y ∈ R geldt:
ax
ax+y = ax ay , ax−y = ,
ay
1
a0 = 1, a−x = x ,
a
(ax )y = axy , ax > 0.
Betekenis van de symbolen:
• a is het grondtal of de groeifactor per eenheid.
• x en y zijn exponenten, vaak tijdsmomenten of periodelengtes.
Constante relatieve groei
Een proces heeft constante relatieve groei als de verhouding over een vaste periode altijd dezelfde is:
K(t + h)
hangt alleen af van h.
K(t)
Voor een exponentieel proces K(t) = K0 at is:
K(t + h) K0 at+h
= = ah .
K(t) K0 at
Interpretatie: over elke periode van lengte h wordt met dezelfde factor ah vermenigvuldigd. Dat is
het verschil met lineaire groei, waarbij telkens hetzelfde bedrag wordt toegevoegd.
pagina 3 van 35
Deel 2: Analyse
Verbeterde studiesamenvatting met duidelijke notatie
Modules 11 t.e.m. 16
Doel van dit document
Deze bundel is herschreven alsof je nette cursusnotities op papier bekijkt. Formules staan
in wiskundige notatie, belangrijke ideeën zijn visueel aangeduid, en elk thema bevat
uitleg, voorbeelden, stappenplannen, typische fouten en korte herhalingsvragen.
Gebaseerd op de aangeleverde slides/handouts.
,Wiskunde deel 2 - analyse Modules 11 t.e.m. 16
Inhoudsopgave
Hoe je deze bundel gebruikt 2
1 Module 11 - Belangrijke functies 3
2 Module 12 - Continuïteit en limieten 8
3 Module 13 - Afgeleiden voor functies van één veranderlijke 12
4 Module 14 - Afgeleiden voor functies van meerdere veranderlijken 16
5 Module 15 - Optimalisatie 21
6 Module 16 - Integralen 27
7 Examengerichte synthese 33
pagina 1 van 35
,Wiskunde deel 2 - analyse Modules 11 t.e.m. 16
Hoe je deze bundel gebruikt
Leesstrategie
1. Lees eerst per module het blok Essentie. Dat geeft de kapstok.
2. Bestudeer daarna de definities en formuleblokken. Let vooral op de betekenis van de symbolen.
3. Werk de voorbeelden actief mee. Bedek telkens de volgende stap en probeer die zelf te vinden.
4. Gebruik de stappenplannen bij oefeningen. Ze zijn geschreven als checklist voor examens.
5. Herhaal op het einde de examengerichte synthese: definities, formules, stappenplannen en mogelijke
examenvragen.
Grote leerlijn van de cursus
Thema Waarom komt dit voor?
Belangrijke functies Exponentiële, logaritmische en goniometrische functies zijn bouwstenen
voor economische modellen.
Continuïteit en Hiermee bestudeer je wat een functie doet in de buurt van punten of op
limieten oneindig.
Afgeleiden Een afgeleide meet lokale of marginale verandering.
Meerdere variabelen Economische modellen hangen vaak af van meerdere inputs, zoals
kapitaal en arbeid.
Optimalisatie Afgeleiden helpen om maximale winst, minimaal kosten of optimaal nut
te vinden.
Integralen Integralen tellen marginale effecten op tot totale effecten, zoals totale
kost of surplus.
pagina 2 van 35
, Wiskunde deel 2 - analyse Modules 11 t.e.m. 16
1 Module 11 - Belangrijke functies
Essentie van Module 11
Een functie is een manier om een economisch verband wiskundig te beschrijven. In deze module
staan drie soorten functies centraal:
• Exponentiële functies: voor groei en verval met een constante relatieve factor.
• Logaritmische functies: inverse functies van exponentiële functies; ze beantwoorden de vraag:
“welke exponent hoort hierbij?”
• Goniometrische functies: voor cyclische of periodieke processen, zoals seizoenspatronen.
1.1 Exponentiële groei en verval
Definitie: exponentiële functie
Voor een grondtal a > 0 met a ̸= 1 is de exponentiële functie met grondtal a:
expa : R → R+ x
0 : x 7→ a .
• Als a > 1, dan is ax strikt stijgend: dit beschrijft groei.
• Als 0 < a < 1, dan is ax strikt dalend: dit beschrijft verval.
Machtsregels
Voor a > 0 en geschikte x, y ∈ R geldt:
ax
ax+y = ax ay , ax−y = ,
ay
1
a0 = 1, a−x = x ,
a
(ax )y = axy , ax > 0.
Betekenis van de symbolen:
• a is het grondtal of de groeifactor per eenheid.
• x en y zijn exponenten, vaak tijdsmomenten of periodelengtes.
Constante relatieve groei
Een proces heeft constante relatieve groei als de verhouding over een vaste periode altijd dezelfde is:
K(t + h)
hangt alleen af van h.
K(t)
Voor een exponentieel proces K(t) = K0 at is:
K(t + h) K0 at+h
= = ah .
K(t) K0 at
Interpretatie: over elke periode van lengte h wordt met dezelfde factor ah vermenigvuldigd. Dat is
het verschil met lineaire groei, waarbij telkens hetzelfde bedrag wordt toegevoegd.
pagina 3 van 35
