Samenvatting Statistiek Deel 2 | Hoorcollege 1-8 |2de BA Psychologie | KU Leuven |

STATISTIEK DEEL 2
Hoorcollege 1
HS 1: STEEKPROEVENVERDELING
INTRODUCTIE

 Populatie: bevat alle eenheden waarin we geïnteresseerd zijn, kan eindig of oneindig zijn
Bv. populatie van alle eerstejaarsstudenten psychologie
→ Aan een populatie kan een toevalsvariabele 𝑋 gekoppeld worden die elk lid van de
populatie (elke mogelijke uitkomst van het TE: trek een item uit de populatie) linkt
aan een concreet getal.
Herhaling Statistiek 1: Een toevalsvariabele (stochast) is een functie die een
numerieke waarde toekent aan de uitkomst van een toevalsexperiment
Bv. het IQ, het lichaamsgewicht, het examenresultaat na de eerste zittijd, etc.
→ De kansverdeling (kansmassa of dichtheid) van 𝑋 noemen we de
populatieverdeling
→ Door het trekken van een steekproef van grootte 𝑛 uit de populatie verkrijgen we
tegelijk 𝑛 realisaties van de toevalsvariabele 𝑋. We verkrijgen zodoende een
verzameling getallen {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛}.


Doel van het vak:
= inferentie: op basis van steekproef conclusies trekken over de populatieverdeling
= generaliseren van waarnemingen uit de steekproef naar de gehele populatie met als doel de
populatieverdeling te beschrijven


STATISTIEK = vast recept dat elke steekproef aan een getal koppelt
Voorbeelden:
 Het steekproefgemiddelde X̄(n):




 De steekproefvariantie S²X(n):




→ Recept is steeds hetzelfde, maar:
→ Uitkomsten recept variëren over steekproeven heen
→ Vooropgestelde vaste steekproefgrootte (wordt gespecifieerd tussen haakjes)

Elke statistiek is een toevalsvariabele:
 TE: trek een steekproef van grootte n
 koppel aan elke uitkomst van het TE een getal via een vast recept
 waardegebied van de statistiek = uitkomsten recept over alle steekproeven heen van
vooropgestelde vaste grootte
Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele Steekproefgemiddelde van 1 specifieke
steekpoef = concrete realisatie van X̄

Lotta Gersemeuter 1

, X̄(n) x̄

→ Als toevalsvariabele: waardegebied = alle mogelijke steekproefgemiddelden die ik kan
uitkomen voor steekproefgrootte n
WAARVOOR GEBRUIKEN WE STATISTIEKEN?
 Als schatters voor een populatieparameter
Bv. het steekproefgemiddelde X̄(n) als schatter voor het populatiegemiddelde 𝜇𝑋
 Om aan hypothesetoetsing te doen = het evalueren van een uitspraak over een
populatieparameter (zie later)
Bv. 𝜇𝑋 = 0 (de therapie heeft gemiddelde geen effect) versus 𝜇𝑋 > 0 (de therapie heeft gemiddeld gezien een
positief effect)

STEEKPROEVENVERDELING = de verdeling (kansmassa- of dichtheidsfunctie) van een
statistiek
→ Beschrijft dus:
o de verdeling van de waarden die je statistiek kan aannemen wanneer je het
toevalsexperiment “trek een steekproef van grootte 𝑛” steeds opnieuw uitvoert
o hoe de uitkomsten van het recept verdeeld zijn over alle steekproeven heen van
vaste grootte 𝑛




DE STATISTIEK X̄ (N )

Voorbeeld:
X = lichaamsgewicht, populatie = alle Belgen
 TE = trek een willekeurig persoon uit de populatie van alle Belgen
 X koppelt aan elke uitkomst van het TE zijn/haar lichaamsgewicht
De statistiek X̄(n) als toevalsvariabele:
 TE = trek steekproef van n personen
 X̄(n) koppelt aan elke uitkomst (= elke steekproef van grootte n) het gemiddelde
lichaamsgewicht van de getrokken personen (= 1 concrete x̄)
TE = trek een steeproef van grootte n
 X1 koppelt aan elke steekproef het lichaamsgewicht van de eerste persoon
 X2 koppelt aan elke steekproef het lichaamsgewicht van de tweede persoon


Lotta Gersemeuter 2

,  X3 koppelt aan elke steekproef het lichaamsgewicht van de derde persoon
 …
Som van toevalsvariabelen:
 koppelt aan elke uitkomst van het TE de som van de waarden die de individuele
toevalsvariabelen aannemen
 In dit geval: koppelt aan elke steekproef het steekproefgemiddelde




De statistiek X̄(n) schematisch voorgesteld: het waardegebied van X̄ (n) bestaat uit alle
steekproefgemiddeldes over alle steekproeven heen van grootte n getrokken uit X.




Oefening 1

DE ENUMERATIEVE METHODE
 We noemen het voorgaand principe de enumeratieve methode = opsommen of
‘enumereren’ van alle mogelijke steekproeven
 In de praktijk zijn populaties vaak heel erg groot en zodoende het aantal steekproeven heel
erg groot of zelfs oneindig groot, waardoor het moeilijk of vaak onmogelijk is om alle
steekproeven op te lijsten.
 In het algemeen andere methodes nodig om de steekproevenverdeling van een statistiek te
beschrijven
Voorbeeld:
Populatie van grootte N = 5:
6 8 10 12 14

ZRM: μₓ = 10 σ²ₓ = 8
X̄(2) = ?
→ Met of zonder teruglegging?

Steekproeftrekking MET teruglegging Steekproeftrekking ZONDER teruglegging


Lotta Gersemeuter 3

, 1) eenzelfde element uit de populatie kan
meermaals voorkomen in eenzelfde 1) eenzelfde element uit de populatie kan
steekproef NIET meermaals voorkomen in
2) populatiesamenstelling blijft eenzelfde steekproef
CONSTANT tijdens de 2) de samenstelling van de resterende
steekproeftrekking populatie VERANDERT conditioneel op
de eerder getrokken uitkomsten


MET teruglegging = zuiver toevallige wijze (ZTW)




= bivariate kansmassatabel
→ Steekproefgemiddelden tussen haakjes
→ 1/5 * 1/5 = 1/25

X1 en X2 zijn identiek verdeeld en onafhankelijk = iid (identically distributed + independent)

 Identiek verdeeld: ze hebben dezelfde kansmassafunctie
→ De kansmassa’s zijn gelijk aan de kansmassa’s van toevalsvariabele X
 Onafhankelijk: waarden in de marges zijn altijd gelijk aan de som van de waarden in de
rijen/kolommen

X en Y zijn identiek verdeeld = hebben dezelfde kansdistributie = kansmassa of
dichtheidsfunctie. We kunnen 𝑋 en 𝑌 beschouwen als elkaars klonen (X ≠ Y)
Voorbeelden:
 Het aantal ogen dat bovenligt (X) en het aantal ogen dat vanonder ligt (Y) na een worp met
een eerlijke dobbelsteen
 De levensduur van 2 afzonderlijke batterijen van hetzelfde type
X en Y zijn onafhankelijk als de kans dat X bepaalde waarde(n) aanneemt niet beïnvloed wordt
door de waarde(n) die Y aanneemt en omgekeerd
Voorbeelden:
 Het aantal ogen dat bovenligt bij twee afzonderlijke worpen met eenzelfde dobbelsteen
 De examenresultaten van studenten en hun lichaamsgewicht


→ Bij trekking met teruglegging = trekking op zuiver toevallige wijze zijn X1 t.e.m. Xn iid

Lotta Gersemeuter 4