Verklarende Statistiek
1. Het schatten van populatieparameters
Populatieparameters schatten
▪ populatiegemiddelde µ
- gemiddelde dikte plastic folie
- gemiddeld inkomen
▪ populatievariantie σ²
- variantie dikte plastic folie
▪ populatieproportie π
- percentage GROEN!-stemmers
- percentage pc-bankierders
▪ doel: uitspraken doen over onbekende populatieparameters
▪ hoe? steekproefgegevens verzamelen → populatieparameters schatten
aan µ kan je verschillende betekenissen geven (bv. het gemiddeld inkomen van alle gezinnen in
België – de populatie is dan gelijk aan alle gezinnen van België)
hetzelfde voor de populatievariantie σ² (parameters die je kan toepassen in verschillende
domeinen)
populatieproportie π = heel gerelateerd aan succeskans die je bij Bernoulli- of Binomiale
verdeling hebt (bv. proportie linkshandigen aan de UA; kan je vergelijken met Bernoulli-
experiment waarbij je kijkt of een persoon links- of rechtshandig is en linkshandig zijn dus een
succes is) → ligt altijd tussen 0 en 1
probleem: deze parameters kennen we eigenlijk niet exact (bv. onmogelijk om dikte van alle
plastic folie in de hele wereld te kennen) → maar we doen er wel graag uitspraken over en
daarom verzamelen we gegevens
dit beperkte aantal gegevens noemen we de steekproef! (zo kunnen we deze parameters
schatten)
Schatting?
▪ functie van steekproefgegevens
▪ steekproefgemiddelde (= rekenkundig gemiddelde)
▪ steekproefvariantie
xi = waarnemingen die we in onze dataset hebben staan
n = aantal waarnemingen
1
, ▪ steekproefproportie
waarbij
hiermee kunnen we π schatten!!
deze formule is exact hetzelfde als die voor het steekproefgemiddelde; het verschil is dat elke xi
hier altijd een 0 of een 1 is
schatting → parameters kunnen we correct berekenen (kleine letters als symbool)
Schatter
▪ steekproef x1, x2, ..., xn
▪ steekproefgemiddelde 𝑥̄
▪ elke onderzoeker bekomt andere steekproefgegevens
▪ reden: trekken van steekproef, verzamelen van steekproefgegevens = kansexperiment
gegevens en dus ook de parameters die erop gebaseerd zijn, zijn vaak aan toeval te wijten
elke onderzoeker die hetzelfde fenomeen onderzoekt, zal toch een andere dataset krijgen en dus
ook een ander gemiddelde, variantie, enz. (omdat je een andere steekproef hebt, bv. 100
mensen interviewen op straat)
Schatter = kansvariabele
▪ steekproefwaarnemingen X1, X2, ..., Xn
▪ steekproefgemiddelde 𝑋̄
zijn kansvariabelen met
- een verwachte waarde
- een variantie
- een kansverdeling of -dichtheid
in de statistiek gaan we ervan uit dat al deze kansvariabelen onafhankelijk zijn van elkaar (de
correlatie tussen de x-en is nul!)
functie van een kansvariabele is zelf ook een kansvariabele (we hebben nog geen gegevens) →
daarom moeten we ze aan het begin van een experiment met een hoofdletter schrijven
schatter = zullen we gaan berekenen; onzekere uitkomst → schatting = concreet eindresultaat
dat we bekomen a.d.h.v. de gegevens die we verzamelen
2
,Voorbeeld
▪ “onbekend” proces = gooien van dobbelsteen
▪ 100 onderzoekers
▪ elk 5 waarnemingen
▪ doel: centrale ligging schatten
→ populatiegemiddelde µ = 3.5
→ populatiemediaan γ0.5 = 3.5
▪ hoe?
→ steekproefgemiddelde 𝑋̄
→ steekproefmediaan Me
▪ zie JMP file dobbelsteen.jmp
▪ wat zien we?
gemiddelde van
- steekproefgemiddelden ≈ µ = 3.5
- steekproefmedianen ≈ µ = 3.5
▪ steekproefgemiddelde en steekproefmediaan zijn zuivere of onvertekende schatters
discrete uniforme kansvariabele met k = 6 mogelijke uitkomsten → gemiddelde en mediaan
berekenen volgens formules geeft je voor zowel het gemiddelde als de mediaan 3,5
gemiddelde: (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5
mediaan: (3+4)/2 = 3,5
→ als je dit test op een kleine steekproef (zie jmp) dan krijg je als gemiddelde en mediaan nooit
exact 3,5 → elke individuele schatting zit er dus naast!
MAAR: als we het gemiddelde nemen van alle steekproefgemiddeldes van alle aparte
experimenten geeft ons wel 3,5 (ook zo voor mediaan van de steekproefmedianen)
→ individuele studies zitten er dus vaak naast, maar als je deze studies combineert krijgt je wel
een correcte oplossing
meestal ligt een steekproefgemiddelde dichter bij 3,5 dan de steekproefmediaan → het
steekproefgemiddelde is dus een betere schatter
Definitie zuivere schatter
als 𝜃̂ een schatter is van θ en E(𝜃̂) = θ, dan is 𝜃̂ een zuivere of onvertekende schatter.
voorbeeld: E(𝑋̄) = µ
bemerk: 𝜃̂ is klassieke notatie voor schatter van onbekende populatieparameter θ
Efficiënte schatter
wat zien we nog?
▪ steekproefgemiddelde zit vaakst in de buurt van 3.5
▪ steekproefmediaan zit er soms serieus naast
▪ gevolg: steekproefgemiddelde heeft kleinere variantie dan steekproefmediaan
3
, ▪ met andere woorden: steekproefgemiddelde biedt preciezere informatie over centrale
ligging dan steekproefmediaan
▪ daarom: 𝑋̄ is een efficiëntere schatter dan Me
schatter met minder variantie is een precieze of efficiënte schatter → het liefst hebben we
zuivere én efficiënte schatters!!
Gemiddelde gekwadrateerde afwijking (GGA)
▪ keuze tussen
- vertekende efficiënte schatter
- onvertekende inefficiënte schatter
▪ kies schatter die
minimaliseert
soms is de keuze voor een ideale schatter moeilijk → we kiezen op basis van de GGA: welke
schatter heeft de kleinste GGA?
Steekproefgemiddelde 𝑿̄ (BEWIJS: zie handboek)
onvertekende schatter van µ
meest precieze lineaire onvertekende schatter (best linear unbiased
estimator, BLUE)
variabelen: X1, X2, …, Xn
met µ, σ, onafhankelijk (en soms ook normaal verdeeld)
schatter wordt beter naarmate we meer gegevens verzamelen!
Kansverdeling 𝑿̄
▪ geval 1: normaal verdeelde populatie
als X1, X2, ..., Xn ∼ N(µ,σ²), dan volgt uit stelling 1.3 (zie ook stelling 12.4 uit Statistiek 1)
dat
ongeacht het aantal waarnemingen
als alle kansvariabelen normaal verdeeld zijn, dan is ook 𝑋̄ normaal verdeeld!
4
1. Het schatten van populatieparameters
Populatieparameters schatten
▪ populatiegemiddelde µ
- gemiddelde dikte plastic folie
- gemiddeld inkomen
▪ populatievariantie σ²
- variantie dikte plastic folie
▪ populatieproportie π
- percentage GROEN!-stemmers
- percentage pc-bankierders
▪ doel: uitspraken doen over onbekende populatieparameters
▪ hoe? steekproefgegevens verzamelen → populatieparameters schatten
aan µ kan je verschillende betekenissen geven (bv. het gemiddeld inkomen van alle gezinnen in
België – de populatie is dan gelijk aan alle gezinnen van België)
hetzelfde voor de populatievariantie σ² (parameters die je kan toepassen in verschillende
domeinen)
populatieproportie π = heel gerelateerd aan succeskans die je bij Bernoulli- of Binomiale
verdeling hebt (bv. proportie linkshandigen aan de UA; kan je vergelijken met Bernoulli-
experiment waarbij je kijkt of een persoon links- of rechtshandig is en linkshandig zijn dus een
succes is) → ligt altijd tussen 0 en 1
probleem: deze parameters kennen we eigenlijk niet exact (bv. onmogelijk om dikte van alle
plastic folie in de hele wereld te kennen) → maar we doen er wel graag uitspraken over en
daarom verzamelen we gegevens
dit beperkte aantal gegevens noemen we de steekproef! (zo kunnen we deze parameters
schatten)
Schatting?
▪ functie van steekproefgegevens
▪ steekproefgemiddelde (= rekenkundig gemiddelde)
▪ steekproefvariantie
xi = waarnemingen die we in onze dataset hebben staan
n = aantal waarnemingen
1
, ▪ steekproefproportie
waarbij
hiermee kunnen we π schatten!!
deze formule is exact hetzelfde als die voor het steekproefgemiddelde; het verschil is dat elke xi
hier altijd een 0 of een 1 is
schatting → parameters kunnen we correct berekenen (kleine letters als symbool)
Schatter
▪ steekproef x1, x2, ..., xn
▪ steekproefgemiddelde 𝑥̄
▪ elke onderzoeker bekomt andere steekproefgegevens
▪ reden: trekken van steekproef, verzamelen van steekproefgegevens = kansexperiment
gegevens en dus ook de parameters die erop gebaseerd zijn, zijn vaak aan toeval te wijten
elke onderzoeker die hetzelfde fenomeen onderzoekt, zal toch een andere dataset krijgen en dus
ook een ander gemiddelde, variantie, enz. (omdat je een andere steekproef hebt, bv. 100
mensen interviewen op straat)
Schatter = kansvariabele
▪ steekproefwaarnemingen X1, X2, ..., Xn
▪ steekproefgemiddelde 𝑋̄
zijn kansvariabelen met
- een verwachte waarde
- een variantie
- een kansverdeling of -dichtheid
in de statistiek gaan we ervan uit dat al deze kansvariabelen onafhankelijk zijn van elkaar (de
correlatie tussen de x-en is nul!)
functie van een kansvariabele is zelf ook een kansvariabele (we hebben nog geen gegevens) →
daarom moeten we ze aan het begin van een experiment met een hoofdletter schrijven
schatter = zullen we gaan berekenen; onzekere uitkomst → schatting = concreet eindresultaat
dat we bekomen a.d.h.v. de gegevens die we verzamelen
2
,Voorbeeld
▪ “onbekend” proces = gooien van dobbelsteen
▪ 100 onderzoekers
▪ elk 5 waarnemingen
▪ doel: centrale ligging schatten
→ populatiegemiddelde µ = 3.5
→ populatiemediaan γ0.5 = 3.5
▪ hoe?
→ steekproefgemiddelde 𝑋̄
→ steekproefmediaan Me
▪ zie JMP file dobbelsteen.jmp
▪ wat zien we?
gemiddelde van
- steekproefgemiddelden ≈ µ = 3.5
- steekproefmedianen ≈ µ = 3.5
▪ steekproefgemiddelde en steekproefmediaan zijn zuivere of onvertekende schatters
discrete uniforme kansvariabele met k = 6 mogelijke uitkomsten → gemiddelde en mediaan
berekenen volgens formules geeft je voor zowel het gemiddelde als de mediaan 3,5
gemiddelde: (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5
mediaan: (3+4)/2 = 3,5
→ als je dit test op een kleine steekproef (zie jmp) dan krijg je als gemiddelde en mediaan nooit
exact 3,5 → elke individuele schatting zit er dus naast!
MAAR: als we het gemiddelde nemen van alle steekproefgemiddeldes van alle aparte
experimenten geeft ons wel 3,5 (ook zo voor mediaan van de steekproefmedianen)
→ individuele studies zitten er dus vaak naast, maar als je deze studies combineert krijgt je wel
een correcte oplossing
meestal ligt een steekproefgemiddelde dichter bij 3,5 dan de steekproefmediaan → het
steekproefgemiddelde is dus een betere schatter
Definitie zuivere schatter
als 𝜃̂ een schatter is van θ en E(𝜃̂) = θ, dan is 𝜃̂ een zuivere of onvertekende schatter.
voorbeeld: E(𝑋̄) = µ
bemerk: 𝜃̂ is klassieke notatie voor schatter van onbekende populatieparameter θ
Efficiënte schatter
wat zien we nog?
▪ steekproefgemiddelde zit vaakst in de buurt van 3.5
▪ steekproefmediaan zit er soms serieus naast
▪ gevolg: steekproefgemiddelde heeft kleinere variantie dan steekproefmediaan
3
, ▪ met andere woorden: steekproefgemiddelde biedt preciezere informatie over centrale
ligging dan steekproefmediaan
▪ daarom: 𝑋̄ is een efficiëntere schatter dan Me
schatter met minder variantie is een precieze of efficiënte schatter → het liefst hebben we
zuivere én efficiënte schatters!!
Gemiddelde gekwadrateerde afwijking (GGA)
▪ keuze tussen
- vertekende efficiënte schatter
- onvertekende inefficiënte schatter
▪ kies schatter die
minimaliseert
soms is de keuze voor een ideale schatter moeilijk → we kiezen op basis van de GGA: welke
schatter heeft de kleinste GGA?
Steekproefgemiddelde 𝑿̄ (BEWIJS: zie handboek)
onvertekende schatter van µ
meest precieze lineaire onvertekende schatter (best linear unbiased
estimator, BLUE)
variabelen: X1, X2, …, Xn
met µ, σ, onafhankelijk (en soms ook normaal verdeeld)
schatter wordt beter naarmate we meer gegevens verzamelen!
Kansverdeling 𝑿̄
▪ geval 1: normaal verdeelde populatie
als X1, X2, ..., Xn ∼ N(µ,σ²), dan volgt uit stelling 1.3 (zie ook stelling 12.4 uit Statistiek 1)
dat
ongeacht het aantal waarnemingen
als alle kansvariabelen normaal verdeeld zijn, dan is ook 𝑋̄ normaal verdeeld!
4
