Didactiek wiskunde
HOOFDSTUK 1: PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN EN VRAAGSTUKKEN
1. INLEIDING
Realistische contexten
Ontwikkelen van vaardigheden
Harmonische ontwikkeling
Goed wiskundeonderwijs vertrekt vanuit realistische contexten, die helpen om nieuwe
begrippen te begrijpen en toe te passen. Omdat de maatschappij snel verandert, ligt de
nadruk in het onderwijs op zelfredzaamheid en het ontwikkelen van probleemoplossende
vaardigheden. Deze vaardigheden zijn niet alleen nuttig binnen wiskunde, maar ook bij
andere situaties in het dagelijks leven. Zo draagt wiskunde bij aan de brede, harmonische
ontwikkeling van kinderen.
2. STAPPEN IN HET VAARDIG OPLOSSEN VAN WISKUNDIGE
PROBLEMEN
1
,Didactiek wiskunde
2.1 HET STAPPENPLAN
Bij het benaderen van een wiskundig probleem of vraagstuk:
Analyseren van de situatie;
Kiezen of ontwikkelen van een wiskundig model;
Toepassen van wiskundige technieken;
Controleren en interpreteren van de resultaten
Controleren = nagaan of je oplossing klopt.
Interpreteren = begrijpen wat het resultaat betekent in de
context.
Bij stap 1 en 4 gaan we van de realiteit naar de wiskunde en omgekeerd.
Bij stap 2 en 3 verwerven we inzicht in het wiskundig systeem en leren er vaardig mee
omgaan.
Belangrijk: lln trainen om de stappen bewust te doorlopen. Ze hebben de neiging om snel
te beginnen met berekeningen maken, zonder de situatie te analyseren of voldoende na
te denken.
STAP 1: ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
De vraag stellen: wat is het probleem?
Belangrijk: lln tot een goede mentale voorstelling komt van wat er gegeven is, gezocht
wordt en welke relaties tussen de gegevens en de gezochte gegevens bestaan.
Het kan helpen om het aan elkaar uit te leggen, na te vertellen met eigen woorden, er
een tekening van maken, na te spelen,…
Laat leerlingen eerst de vraag aanduiden. Dan weet je pas welke gegevens je zal nodig
hebben om het probleem op te lossen.
STAP 2: EEN PASSEND WISKUNDIG MODEL OPSTELLEN
Lln gaan na welke methode ze zouden kunnen volgen om het probleem op te lossen.
Door initiële probleemrepresentatie om te zetten naar nieuwe
probleemrepresentatie in termen van wiskundige symbolen en relaties.
Heuristieken spelen een grote rol. Lln kunnen zich afvragen of ze al eerder een dergelijk
probleem hebben opgelost, en hoe ze dat dan gedaan hebben. Er wordt een soort van
actieplan opgesteld om het probleem op te lossen.
STAP 3: HET OPLOSSINGSPLAN UITVOEREN
Lln passen de gekozen oplossingsstrategie toe.
In deze fase w nog bepaalde beslissingen genomen.
Rekenwerk kan op verschillende manieren uitgevoerd worden: cijferen, tellen,
hoofdrekenen, schatten,…
Lln zijn in stat om de meest geschikte werkwijze te kiezen.
Bij deze stap is de oorspronkelijke probleemsituatie naar het achterplan
verdwenen.
STAP 4: ANTWOORD FORMULEREN + CONTROLEREN
2
,Didactiek wiskunde
De uitkomst van de uitgevoerde rekenoperatie dient geïnterpreteerd te worden door ze
terug te plaatsen in de oorspronkelijke probleemsituatie.
De getalsmatige uitkomst uit stap 3 wordt hier gebruikt om een antwoord te formuleren
op de vraag.
Bij rijke wiskundeproblemen moet je soms de uitkomst van het rekenwerk nog
interpreteren (bv nog afronden).
CONTROLEREN EN EVALUEREN
Lln moeten nagaan of alle stappen goed doorlopen werden en of er nergens een fout
heeft plaatsgevonden. We controleren de uitkomst door de oplossing in de opgave in te
vullen, door de berekeningen te controleren op rekenfouten, door onze ervaringskennis te
gebruiken om in te schatten of de oplossing realistisch is.
Vragen:
- Heb ik het vraagstuk goed begrepen?
- Heb ik overbodige gegevens gebruikt?
- Heb ik goed nagedacht over hoe ik het probleem zal aanpakken?
- Heb ik mijn plan correct uitgevoerd?
2.2 HET STAPPENPLAN GESCHEMATISEERD AANBRENGEN
Het stappenplan wordt vaak voorgesteld met de beertjes van Meichenbaum. Elk
pictogram toont één stap. Leerlingen kunnen ze gebruiken om gestructureerd problemen
op te lossen, ook buiten wiskunde.
3. HEURISTIEKEN OF ZOEKSTRATEGIEËN
3.1 WAT ZIJN HEURISTIEKEN?
Algoritmen: geven vast stappenplan om probleem aan te pakken. Stappen volgen =
gegarandeerd oplossing.
Trial and error: ‘in het wilde weg’ proberen. Soms vindt je oplossing door een samenloop
va intuïtie en toeval.
3
, Didactiek wiskunde
Heuristieken: zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar een
systematiek inhouden en meer kracht geven da trial and error.
Heuristieken zijn handige strategieën of hulpmiddelen die je gebruikt om een probleem
op te lossen wanneer je niet meteen weet welke vaste methode je moet toepassen. Ze
zijn dus geen exacte stappen zoals een formule, maar eerder denkwegen die je helpen
om op gang te komen.
Het is belangrijk om in de lagere school al te oefenen op heuristieken, omdat kinderen
dan leren om zelfstandig problemen op te lossen in plaats van alleen vaste regels te
volgen.
In de lagere school:
ontwikkelen leerlingen hun denkvaardigheden
leren ze omgaan met nieuwe en uitdagende situaties
oefenen ze om stap voor stap te redeneren
krijgen ze meer zelfvertrouwen bij moeilijke oefeningen
Heuristieken helpen hen niet alleen in wiskunde, maar ook bij problemen in het dagelijks
leven en in andere vakken.
3.2 HEURISTIEKEN IN HET STAPPENPLAN
Heuristieken worden vooral gebruikt in de eerste twee stappen van het stappenplan voor
probleemoplossing.
Eerst vormt de leerling een goede voorstelling van het probleem (gegevens, vraag,
relaties).
Daarna maakt hij of zij een oplossingsplan, vaak door het probleem op te delen in
kleinere deelproblemen (fractioneren).
Bij bekende vraagstukken kunnen leerlingen een ingeoefende strategie toepassen, maar
bij rijkere problemen zijn andere heuristieken nodig.
3.3 HEURISTIEKEN DIE HELPEN BIJ HET ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
Heuristieken kunnen leerlingen helpen om onzekerheid of angst bij vraagstukken te
overwinnen, vooral wanneer ze niet weten hoe te beginnen. Ze geven ondersteuning bij
het analyseren van een probleem, al bieden ze geen garantie op een oplossing. Toch
kunnen ze leerlingen wel vooruit helpen in het probleemoplossend proces.
Verschillende heuristieken:
a. maak een tekening van de probleemsituatie
o.b.v. tekstuele info probeert de lln een voorstelling op te bouwen. Zo’n tekening
kan soms de uitkomst verklappen. Het moet niet mooi zijn maar wel duidelijk.
Teken enkel het belangrijke.
b. het probleem herformuleren en/of dramatiseren
door het met eigen woorden te laten vertellen kan het duidelijker worden. Het is
ook een hulpmiddel om de betrokkenheid en concentratie te verhogen. Het
probleem naspelen kan ook.
c. Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
De vraag moet aandachtig bekeken worden. De vaag eerst aanduiden. Niet alle
gegevens zijn noodzakelijk om de vraag te beantwoorden.
d. Gebruik je ervaringskennis of zoek ontbrekende info
Niet alle gegevens worden altijd meegegeven. Met een zoekstrategie w de lln
aangezet om bij het oplossen van vraagstukken nuttig gebruik te maken van
praktische kennis over de situatie.
4
HOOFDSTUK 1: PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN EN VRAAGSTUKKEN
1. INLEIDING
Realistische contexten
Ontwikkelen van vaardigheden
Harmonische ontwikkeling
Goed wiskundeonderwijs vertrekt vanuit realistische contexten, die helpen om nieuwe
begrippen te begrijpen en toe te passen. Omdat de maatschappij snel verandert, ligt de
nadruk in het onderwijs op zelfredzaamheid en het ontwikkelen van probleemoplossende
vaardigheden. Deze vaardigheden zijn niet alleen nuttig binnen wiskunde, maar ook bij
andere situaties in het dagelijks leven. Zo draagt wiskunde bij aan de brede, harmonische
ontwikkeling van kinderen.
2. STAPPEN IN HET VAARDIG OPLOSSEN VAN WISKUNDIGE
PROBLEMEN
1
,Didactiek wiskunde
2.1 HET STAPPENPLAN
Bij het benaderen van een wiskundig probleem of vraagstuk:
Analyseren van de situatie;
Kiezen of ontwikkelen van een wiskundig model;
Toepassen van wiskundige technieken;
Controleren en interpreteren van de resultaten
Controleren = nagaan of je oplossing klopt.
Interpreteren = begrijpen wat het resultaat betekent in de
context.
Bij stap 1 en 4 gaan we van de realiteit naar de wiskunde en omgekeerd.
Bij stap 2 en 3 verwerven we inzicht in het wiskundig systeem en leren er vaardig mee
omgaan.
Belangrijk: lln trainen om de stappen bewust te doorlopen. Ze hebben de neiging om snel
te beginnen met berekeningen maken, zonder de situatie te analyseren of voldoende na
te denken.
STAP 1: ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
De vraag stellen: wat is het probleem?
Belangrijk: lln tot een goede mentale voorstelling komt van wat er gegeven is, gezocht
wordt en welke relaties tussen de gegevens en de gezochte gegevens bestaan.
Het kan helpen om het aan elkaar uit te leggen, na te vertellen met eigen woorden, er
een tekening van maken, na te spelen,…
Laat leerlingen eerst de vraag aanduiden. Dan weet je pas welke gegevens je zal nodig
hebben om het probleem op te lossen.
STAP 2: EEN PASSEND WISKUNDIG MODEL OPSTELLEN
Lln gaan na welke methode ze zouden kunnen volgen om het probleem op te lossen.
Door initiële probleemrepresentatie om te zetten naar nieuwe
probleemrepresentatie in termen van wiskundige symbolen en relaties.
Heuristieken spelen een grote rol. Lln kunnen zich afvragen of ze al eerder een dergelijk
probleem hebben opgelost, en hoe ze dat dan gedaan hebben. Er wordt een soort van
actieplan opgesteld om het probleem op te lossen.
STAP 3: HET OPLOSSINGSPLAN UITVOEREN
Lln passen de gekozen oplossingsstrategie toe.
In deze fase w nog bepaalde beslissingen genomen.
Rekenwerk kan op verschillende manieren uitgevoerd worden: cijferen, tellen,
hoofdrekenen, schatten,…
Lln zijn in stat om de meest geschikte werkwijze te kiezen.
Bij deze stap is de oorspronkelijke probleemsituatie naar het achterplan
verdwenen.
STAP 4: ANTWOORD FORMULEREN + CONTROLEREN
2
,Didactiek wiskunde
De uitkomst van de uitgevoerde rekenoperatie dient geïnterpreteerd te worden door ze
terug te plaatsen in de oorspronkelijke probleemsituatie.
De getalsmatige uitkomst uit stap 3 wordt hier gebruikt om een antwoord te formuleren
op de vraag.
Bij rijke wiskundeproblemen moet je soms de uitkomst van het rekenwerk nog
interpreteren (bv nog afronden).
CONTROLEREN EN EVALUEREN
Lln moeten nagaan of alle stappen goed doorlopen werden en of er nergens een fout
heeft plaatsgevonden. We controleren de uitkomst door de oplossing in de opgave in te
vullen, door de berekeningen te controleren op rekenfouten, door onze ervaringskennis te
gebruiken om in te schatten of de oplossing realistisch is.
Vragen:
- Heb ik het vraagstuk goed begrepen?
- Heb ik overbodige gegevens gebruikt?
- Heb ik goed nagedacht over hoe ik het probleem zal aanpakken?
- Heb ik mijn plan correct uitgevoerd?
2.2 HET STAPPENPLAN GESCHEMATISEERD AANBRENGEN
Het stappenplan wordt vaak voorgesteld met de beertjes van Meichenbaum. Elk
pictogram toont één stap. Leerlingen kunnen ze gebruiken om gestructureerd problemen
op te lossen, ook buiten wiskunde.
3. HEURISTIEKEN OF ZOEKSTRATEGIEËN
3.1 WAT ZIJN HEURISTIEKEN?
Algoritmen: geven vast stappenplan om probleem aan te pakken. Stappen volgen =
gegarandeerd oplossing.
Trial and error: ‘in het wilde weg’ proberen. Soms vindt je oplossing door een samenloop
va intuïtie en toeval.
3
, Didactiek wiskunde
Heuristieken: zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar een
systematiek inhouden en meer kracht geven da trial and error.
Heuristieken zijn handige strategieën of hulpmiddelen die je gebruikt om een probleem
op te lossen wanneer je niet meteen weet welke vaste methode je moet toepassen. Ze
zijn dus geen exacte stappen zoals een formule, maar eerder denkwegen die je helpen
om op gang te komen.
Het is belangrijk om in de lagere school al te oefenen op heuristieken, omdat kinderen
dan leren om zelfstandig problemen op te lossen in plaats van alleen vaste regels te
volgen.
In de lagere school:
ontwikkelen leerlingen hun denkvaardigheden
leren ze omgaan met nieuwe en uitdagende situaties
oefenen ze om stap voor stap te redeneren
krijgen ze meer zelfvertrouwen bij moeilijke oefeningen
Heuristieken helpen hen niet alleen in wiskunde, maar ook bij problemen in het dagelijks
leven en in andere vakken.
3.2 HEURISTIEKEN IN HET STAPPENPLAN
Heuristieken worden vooral gebruikt in de eerste twee stappen van het stappenplan voor
probleemoplossing.
Eerst vormt de leerling een goede voorstelling van het probleem (gegevens, vraag,
relaties).
Daarna maakt hij of zij een oplossingsplan, vaak door het probleem op te delen in
kleinere deelproblemen (fractioneren).
Bij bekende vraagstukken kunnen leerlingen een ingeoefende strategie toepassen, maar
bij rijkere problemen zijn andere heuristieken nodig.
3.3 HEURISTIEKEN DIE HELPEN BIJ HET ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
Heuristieken kunnen leerlingen helpen om onzekerheid of angst bij vraagstukken te
overwinnen, vooral wanneer ze niet weten hoe te beginnen. Ze geven ondersteuning bij
het analyseren van een probleem, al bieden ze geen garantie op een oplossing. Toch
kunnen ze leerlingen wel vooruit helpen in het probleemoplossend proces.
Verschillende heuristieken:
a. maak een tekening van de probleemsituatie
o.b.v. tekstuele info probeert de lln een voorstelling op te bouwen. Zo’n tekening
kan soms de uitkomst verklappen. Het moet niet mooi zijn maar wel duidelijk.
Teken enkel het belangrijke.
b. het probleem herformuleren en/of dramatiseren
door het met eigen woorden te laten vertellen kan het duidelijker worden. Het is
ook een hulpmiddel om de betrokkenheid en concentratie te verhogen. Het
probleem naspelen kan ook.
c. Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
De vraag moet aandachtig bekeken worden. De vaag eerst aanduiden. Niet alle
gegevens zijn noodzakelijk om de vraag te beantwoorden.
d. Gebruik je ervaringskennis of zoek ontbrekende info
Niet alle gegevens worden altijd meegegeven. Met een zoekstrategie w de lln
aangezet om bij het oplossen van vraagstukken nuttig gebruik te maken van
praktische kennis over de situatie.
4
