Didactiek wiskunde 2
Hoofdstuk 1 - Logica en verzamelingen
Logica: de wetenschap van het redeneren.
In dagelijkse leven: problemen oplossen, correcte besluiten formuleren, verbanden leggen,…
Verzamelingen: leren hoe we objecten en personen kunnen beschrijven, groeperen en analyseren.
D EEL 1: B ELANGRIJKSTE ASPECTEN VAN LOGISCH DENKEN
1.1. UITSPRAKEN MET OPERATOREN ‘EN’, ‘OF’ EN ‘NIET’
Uitspraak of gebeurtenis: zin waar je duidelijk kan zeggen of het waar is of niet waar is.
Bv. Het is vandaag vrijdag
Door voegwoorden ‘en’, ‘of’, ‘niet, … maken we langere samengestelde uitspraken.
1.1.1. DE BETEKENIS VAN ‘EN – DE OPERATOR ‘EN’
Deze samengestelde uitspraak is waar als beide uitspraken waar zijn.
Bv. Ze is blond EN draagt een bril.
EN kan ook gebruikt worden om wiskundige betekenissen te koppelen.
Bv. Vijftien is deelbaar door drie EN door vijf.
1.1.2. DE BETEKENIS VAN ‘OF’ – DE OPERATOR ‘OF’
Deze is waar als minstens één van de uitspraken waar is.
Bv. Je eet gezond als je groenten OF fruit eet.
Uit wiskunde bv. Omcirkel de getallen die eindigen op 0 OF 5.
In logica onderscheid tussen exclusieve OF of een inclusieve OF
Exclusieve OF
Komt de ene gebeurtenis voor ofwel de andere, komen niet tegelijk voor. Één van de gekoppelde
gebeurtenissen komt voor.
Bv. Als dessert kies je uit chocomousse of pudding.
Inclusieve OF
Komt de ene of de andere voor, en kunnen ze ook tegelijk voorkomen. Minstens één van de gekoppelde
gebeurtenissen komt voor.
Bv. Je eet gezond als je groenten of fruit eet (je bent ook gezond als je beide eet).
In dagelijkse leven vaker exclusieve OF
In logica meestal inclusieve OF
1.1.3. DE BETEKENIS VAN ‘NIET’ – DE OPERATOR ‘NIET’
De operator NIET beschrijft de ontkenning van een uitspraak.
Bv. Het regent NIET
Soms wordt ‘GEEN’ gebruikt om taalkundige redenen
Bv. Ze heeft GEEN kinderen
1
,Didactiek wiskunde 2
Als er maar 2 mogelijkheden zijn, kan je uit de ontkenning v/e gebeurtenis een andere gebeurtenis afleiden
die het tegengestelde van de ontkende gebeurtenis is.
Bv. Hij is NIET aanwezig in de les => hij is afwezig
1.1.4. COMBINATIES VAN NIET MET EN/OF
Bijvoorbeeld
- Ze is NIET de kleinste EN NIET de jongste
Let op: als je een ontkenning maakt van een combinatie van gebeurtenissen met EN of met OF, moet je de
ontkenning maken van beide gebeurtenissen, én moet je de combinatie met EN vervangen door OF of
omgekeerd.
Bijvoorbeeld
- Hij is Belg OF Nederlander => Hij is Geen Belg en Geen Nederlander
- Hij kreeg een boete EN een celstraf => Hij kreeg GEEN boete OF GEEN celstraf
1.2. ‘ALS…DAN’ – RELATIES
Als uit een bepaalde gebeurtenis een andere volgt => ‘als-dan-relaties’ of een oorzaak-gevolg relatie.
- ALS ik de krant lees, DAN draag ik een bri
Als = oorzaak
Dan = gevolg
In wiskunde duiden we deze aan met een dubbele pijl in één richting.
- Het regent => ik neem mijn paraplu
Let op:
ALS ik een goed rapport heb, DAN krijg ik een cadeau.
Als je geen cadeau hebt gekregen, had je geen goed rapport
▪ Dat heet contrapositie: p => q betekent ook altijd q => q
E kan de uitspraak niet zomaar omdraaien. Je kan ook een cadeau hebben gekregen omdat je jarig bent.
1.3. ‘ENKEL EN ALLEEN ALS’ – RELATIES
Hierbij hebben we een als-dan-relatie in 2 richtingen
- Ik draag een bril ENKEL EN ALLEEN ALS ik de krant lees
Betekent dat: als ik de krant lees, ik sowieso een bril moet dragen EN als ik de krant niet lees, ik geen bril
mag dragen.
Dubbele pijl:
- Ik draag een bril ik lees de krant
2
,Didactiek wiskunde 2
1.4. LOGISETS
Veelgebruikte logiset: doos met ‘logische’ blokken die verschillen in vorm, kleur, grootte en
dikte.
kleur (rood, geel, blauw)
vorm (cirkel, vierkant, driehoek, rechthoek)
grootte (groot, klein)
dikte (dik, dun)
elke combinatie komt één keer voor
Deel 2: verzamelingen en deelverzamelingen
Verzamelingenleer is de basis van veel wiskunde.
In de kleuterklas leer je dit spelenderwijs, niet formeel.
Kinderen oefenen met:
Sorteren en groeperen (kleur, vorm, grootte, aantal).
Vergelijken (meer, minder, evenveel).
Taal van logisch denken (alles, niets, sommige, geen).
Verbanden zien tussen groepen en elementen → eerste stapjes in logisch redeneren.
1. BEGRIP EN VOORSTELLINGSWIJZE
Verzameling: groep van objecten, mensen, getallen,….die bij elkaar horen, die iets gemenschappelijks
hebben.
Als je met echt materiaal werkt, kan je de voorwerpen samenleggen in hoepels.
In de wiskunde doen we dat met een Venndiagram: dat is een cirkel met een naam (een
hoofdletter). In de cirkel leg je de dingen die bij die groep horen.
2. MEERDERE VERZAMELINGEN – DEELVERZAMELINGEN
Als we 2 verzamelingen willen voorstellen, zorgen we voor een gemeenschappelijk gebied met elementen
die tot de 2 verzamelingen horen.
Het kan ook dat alle elementen van een verzameling D ook tot de andere verzameling A horen. Dan is de
ene verzameling een deel van de andere, we noemen dit wiskundig een deelverzameling.
Bijvoorbeeld:
- A is de verzameling van de gele blokken.
- D is de verzameling van de gele, kleine blokken.
- Alle elementen van D behoren ook tot A of D is
een deelverzameling van A.
3
, Didactiek wiskunde 2
3. LINK MET LOGICATAAL
Als we alle elementen verzamelen die zowel behoren tot de verzameling A als tot de verzameling B,
hebben we een nieuwe verzameling. Wiskundig wordt dit de doorsnede van A en B genoemd.
Hier kunnen we de operator EN aan koppelen uit de logicataal.
Toon eens een blok die rood EN klein is.
Als we alle elementen bekijken die ofwel tot A ofwel tot B behoren, kunnen we dit als volgt
inkleuren. Wiskundig wordt dit de unie van A en B genoemd (2 verzamelingen samen).
Operator OF: neem alle blokjes die geel OF klein zijn
We kunnen ook de elementen bekijken die tot A maar niet tot B behoren. Wiskundig wordt dit het
verschil van A en B genoemd.
EN en NIET: neem alle blokjes die geel maar NIET klein zijn (geel en
groot)
4. ANDERE LOGISCHE BEGRIPPEN
Er zijn nog andere begrippen die iets zeggen over en aantal elementen waarvoor een uitspraak bedoeld is:
alle, niet alle, juist één, minstens één, sommige, geen, ten minste, ten hoogste,…
4.1 ALLE
Bedoeld voor alle elementen van een bepaalde groep/verzameling
- ALLE kinderen in de klas zijn blij
4.2 ER BESTAAT
Geldig voor minstens één element van de groep. Er is ten minste één iemand waarvoor deze uitsptaak
waar is.
- ER ZIJN kinderen die graag kiwi’s eten
4.3 ONTKENNING VAN ‘ALLE’ EN ‘ER BESTAAT’
- NIET ALLE leerlingen hebben hun huiswerk gemaakt
- NIET ALLE appel zijn groen.
- GEEN ENKELE leerling knutselt graag
- GEEN ENKELE leerling volgt zwemles
4
Hoofdstuk 1 - Logica en verzamelingen
Logica: de wetenschap van het redeneren.
In dagelijkse leven: problemen oplossen, correcte besluiten formuleren, verbanden leggen,…
Verzamelingen: leren hoe we objecten en personen kunnen beschrijven, groeperen en analyseren.
D EEL 1: B ELANGRIJKSTE ASPECTEN VAN LOGISCH DENKEN
1.1. UITSPRAKEN MET OPERATOREN ‘EN’, ‘OF’ EN ‘NIET’
Uitspraak of gebeurtenis: zin waar je duidelijk kan zeggen of het waar is of niet waar is.
Bv. Het is vandaag vrijdag
Door voegwoorden ‘en’, ‘of’, ‘niet, … maken we langere samengestelde uitspraken.
1.1.1. DE BETEKENIS VAN ‘EN – DE OPERATOR ‘EN’
Deze samengestelde uitspraak is waar als beide uitspraken waar zijn.
Bv. Ze is blond EN draagt een bril.
EN kan ook gebruikt worden om wiskundige betekenissen te koppelen.
Bv. Vijftien is deelbaar door drie EN door vijf.
1.1.2. DE BETEKENIS VAN ‘OF’ – DE OPERATOR ‘OF’
Deze is waar als minstens één van de uitspraken waar is.
Bv. Je eet gezond als je groenten OF fruit eet.
Uit wiskunde bv. Omcirkel de getallen die eindigen op 0 OF 5.
In logica onderscheid tussen exclusieve OF of een inclusieve OF
Exclusieve OF
Komt de ene gebeurtenis voor ofwel de andere, komen niet tegelijk voor. Één van de gekoppelde
gebeurtenissen komt voor.
Bv. Als dessert kies je uit chocomousse of pudding.
Inclusieve OF
Komt de ene of de andere voor, en kunnen ze ook tegelijk voorkomen. Minstens één van de gekoppelde
gebeurtenissen komt voor.
Bv. Je eet gezond als je groenten of fruit eet (je bent ook gezond als je beide eet).
In dagelijkse leven vaker exclusieve OF
In logica meestal inclusieve OF
1.1.3. DE BETEKENIS VAN ‘NIET’ – DE OPERATOR ‘NIET’
De operator NIET beschrijft de ontkenning van een uitspraak.
Bv. Het regent NIET
Soms wordt ‘GEEN’ gebruikt om taalkundige redenen
Bv. Ze heeft GEEN kinderen
1
,Didactiek wiskunde 2
Als er maar 2 mogelijkheden zijn, kan je uit de ontkenning v/e gebeurtenis een andere gebeurtenis afleiden
die het tegengestelde van de ontkende gebeurtenis is.
Bv. Hij is NIET aanwezig in de les => hij is afwezig
1.1.4. COMBINATIES VAN NIET MET EN/OF
Bijvoorbeeld
- Ze is NIET de kleinste EN NIET de jongste
Let op: als je een ontkenning maakt van een combinatie van gebeurtenissen met EN of met OF, moet je de
ontkenning maken van beide gebeurtenissen, én moet je de combinatie met EN vervangen door OF of
omgekeerd.
Bijvoorbeeld
- Hij is Belg OF Nederlander => Hij is Geen Belg en Geen Nederlander
- Hij kreeg een boete EN een celstraf => Hij kreeg GEEN boete OF GEEN celstraf
1.2. ‘ALS…DAN’ – RELATIES
Als uit een bepaalde gebeurtenis een andere volgt => ‘als-dan-relaties’ of een oorzaak-gevolg relatie.
- ALS ik de krant lees, DAN draag ik een bri
Als = oorzaak
Dan = gevolg
In wiskunde duiden we deze aan met een dubbele pijl in één richting.
- Het regent => ik neem mijn paraplu
Let op:
ALS ik een goed rapport heb, DAN krijg ik een cadeau.
Als je geen cadeau hebt gekregen, had je geen goed rapport
▪ Dat heet contrapositie: p => q betekent ook altijd q => q
E kan de uitspraak niet zomaar omdraaien. Je kan ook een cadeau hebben gekregen omdat je jarig bent.
1.3. ‘ENKEL EN ALLEEN ALS’ – RELATIES
Hierbij hebben we een als-dan-relatie in 2 richtingen
- Ik draag een bril ENKEL EN ALLEEN ALS ik de krant lees
Betekent dat: als ik de krant lees, ik sowieso een bril moet dragen EN als ik de krant niet lees, ik geen bril
mag dragen.
Dubbele pijl:
- Ik draag een bril ik lees de krant
2
,Didactiek wiskunde 2
1.4. LOGISETS
Veelgebruikte logiset: doos met ‘logische’ blokken die verschillen in vorm, kleur, grootte en
dikte.
kleur (rood, geel, blauw)
vorm (cirkel, vierkant, driehoek, rechthoek)
grootte (groot, klein)
dikte (dik, dun)
elke combinatie komt één keer voor
Deel 2: verzamelingen en deelverzamelingen
Verzamelingenleer is de basis van veel wiskunde.
In de kleuterklas leer je dit spelenderwijs, niet formeel.
Kinderen oefenen met:
Sorteren en groeperen (kleur, vorm, grootte, aantal).
Vergelijken (meer, minder, evenveel).
Taal van logisch denken (alles, niets, sommige, geen).
Verbanden zien tussen groepen en elementen → eerste stapjes in logisch redeneren.
1. BEGRIP EN VOORSTELLINGSWIJZE
Verzameling: groep van objecten, mensen, getallen,….die bij elkaar horen, die iets gemenschappelijks
hebben.
Als je met echt materiaal werkt, kan je de voorwerpen samenleggen in hoepels.
In de wiskunde doen we dat met een Venndiagram: dat is een cirkel met een naam (een
hoofdletter). In de cirkel leg je de dingen die bij die groep horen.
2. MEERDERE VERZAMELINGEN – DEELVERZAMELINGEN
Als we 2 verzamelingen willen voorstellen, zorgen we voor een gemeenschappelijk gebied met elementen
die tot de 2 verzamelingen horen.
Het kan ook dat alle elementen van een verzameling D ook tot de andere verzameling A horen. Dan is de
ene verzameling een deel van de andere, we noemen dit wiskundig een deelverzameling.
Bijvoorbeeld:
- A is de verzameling van de gele blokken.
- D is de verzameling van de gele, kleine blokken.
- Alle elementen van D behoren ook tot A of D is
een deelverzameling van A.
3
, Didactiek wiskunde 2
3. LINK MET LOGICATAAL
Als we alle elementen verzamelen die zowel behoren tot de verzameling A als tot de verzameling B,
hebben we een nieuwe verzameling. Wiskundig wordt dit de doorsnede van A en B genoemd.
Hier kunnen we de operator EN aan koppelen uit de logicataal.
Toon eens een blok die rood EN klein is.
Als we alle elementen bekijken die ofwel tot A ofwel tot B behoren, kunnen we dit als volgt
inkleuren. Wiskundig wordt dit de unie van A en B genoemd (2 verzamelingen samen).
Operator OF: neem alle blokjes die geel OF klein zijn
We kunnen ook de elementen bekijken die tot A maar niet tot B behoren. Wiskundig wordt dit het
verschil van A en B genoemd.
EN en NIET: neem alle blokjes die geel maar NIET klein zijn (geel en
groot)
4. ANDERE LOGISCHE BEGRIPPEN
Er zijn nog andere begrippen die iets zeggen over en aantal elementen waarvoor een uitspraak bedoeld is:
alle, niet alle, juist één, minstens één, sommige, geen, ten minste, ten hoogste,…
4.1 ALLE
Bedoeld voor alle elementen van een bepaalde groep/verzameling
- ALLE kinderen in de klas zijn blij
4.2 ER BESTAAT
Geldig voor minstens één element van de groep. Er is ten minste één iemand waarvoor deze uitsptaak
waar is.
- ER ZIJN kinderen die graag kiwi’s eten
4.3 ONTKENNING VAN ‘ALLE’ EN ‘ER BESTAAT’
- NIET ALLE leerlingen hebben hun huiswerk gemaakt
- NIET ALLE appel zijn groen.
- GEEN ENKELE leerling knutselt graag
- GEEN ENKELE leerling volgt zwemles
4
