Module 16: Integralen
Les 11 – Module 16a
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Wat leer je in deze module?
Integralen lossen het omgekeerde probleem van het afleiden op. Twee vragen staan
centraal:
1. Hoe bereken je de oppervlakte onder de grafiek van een functie? → de
bepaalde integraal.
2. Hoe vind je een functie F waarvan de afgeleide gelijk is aan f ? → de primi-
tieve, en daarmee een rekenmethode.
De Hoofdstelling van de integraalrekening verbindt beide vragen.
Studiedocument — alle definities, stellingen, eigenschappen en voorbeelden
Les 11 (Module 16a)
,Module 16: Integralen Les 11 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 Motivatie: waarom integralen? 3
2 Het integraalbegrip (§1) 3
2.1 De twee basisproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Speciaal geval 1: een constante functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Speciaal geval 2: trapfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Algemene functies: Riemann-sommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 De definitie van de integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Welke functies zijn integreerbaar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Eigenschappen van integralen (§2) 9
3.1 Lineariteit en monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Splitsen van het integratie-interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 De middelwaardestelling voor de integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Hoofdstelling van de integraalrekening (§2.2) 10
4.1 De hoofdstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Primitieve functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Alle primitieven verschillen een constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 De rekenregel: integraal via een primitieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5 Toepassing: van marginale kost naar totale kost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Volledig uitgewerkte oefeningen 13
5.1 Voorbeeld-examenvraag: consumentensurplus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Samenvattend formuleblad 18
1
, Module 16: Integralen Les 11 – Volledige samenvatting
Hoe lees je deze samenvatting?
Dit document volgt exact de leerstof van Les 11. Om snel te zien wat wat is, zijn er gekleurde
kaders:
Blauw kader een definitie: de precieze betekenis van een begrip.
Paars kader een stelling of propositie: een bewezen wiskundige waarheid.
Groen kader een voorbeeld: toepassing van de theorie.
Oranje kader een oefening, telkens stap voor stap uitgewerkt.
Rood kader een kernformule die je echt moet onthouden.
Belangrijke afspraak uit de cursus: bij de stellingen 2.1.1, 2.1.4, 2.2.2 en propositie 2.2.6 staat
telkens vermeld dat het bewijs geen examenstof is. Je moet de stelling dus kunnen gebruiken en
uitleggen, maar niet bewijzen.
2
Les 11 – Module 16a
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Wat leer je in deze module?
Integralen lossen het omgekeerde probleem van het afleiden op. Twee vragen staan
centraal:
1. Hoe bereken je de oppervlakte onder de grafiek van een functie? → de
bepaalde integraal.
2. Hoe vind je een functie F waarvan de afgeleide gelijk is aan f ? → de primi-
tieve, en daarmee een rekenmethode.
De Hoofdstelling van de integraalrekening verbindt beide vragen.
Studiedocument — alle definities, stellingen, eigenschappen en voorbeelden
Les 11 (Module 16a)
,Module 16: Integralen Les 11 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 Motivatie: waarom integralen? 3
2 Het integraalbegrip (§1) 3
2.1 De twee basisproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Speciaal geval 1: een constante functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Speciaal geval 2: trapfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Algemene functies: Riemann-sommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 De definitie van de integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Welke functies zijn integreerbaar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Eigenschappen van integralen (§2) 9
3.1 Lineariteit en monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Splitsen van het integratie-interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 De middelwaardestelling voor de integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Hoofdstelling van de integraalrekening (§2.2) 10
4.1 De hoofdstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Primitieve functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Alle primitieven verschillen een constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 De rekenregel: integraal via een primitieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5 Toepassing: van marginale kost naar totale kost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Volledig uitgewerkte oefeningen 13
5.1 Voorbeeld-examenvraag: consumentensurplus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Samenvattend formuleblad 18
1
, Module 16: Integralen Les 11 – Volledige samenvatting
Hoe lees je deze samenvatting?
Dit document volgt exact de leerstof van Les 11. Om snel te zien wat wat is, zijn er gekleurde
kaders:
Blauw kader een definitie: de precieze betekenis van een begrip.
Paars kader een stelling of propositie: een bewezen wiskundige waarheid.
Groen kader een voorbeeld: toepassing van de theorie.
Oranje kader een oefening, telkens stap voor stap uitgewerkt.
Rood kader een kernformule die je echt moet onthouden.
Belangrijke afspraak uit de cursus: bij de stellingen 2.1.1, 2.1.4, 2.2.2 en propositie 2.2.6 staat
telkens vermeld dat het bewijs geen examenstof is. Je moet de stelling dus kunnen gebruiken en
uitleggen, maar niet bewijzen.
2
