Module 15: Optimalisatie
Les 8 – Module 15a
Extrema van functies van één veranderlijke
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Optimaliseren betekent: de beste keuze zoeken – de hoogste winst, de laagste kost,
de grootste inhoud. Wiskundig zoek je de maxima en minima (de extrema) van
een functie. Deze les behandelt:
1. wat een optimalisatieprobleem precies is (doelfunctie, controlevariabelen, rand-
voorwaarden);
2. de begrippen lokaal en globaal extremum;
3. hoe je extrema vindt met de eerste en tweede afgeleide.
Studiedocument — alle definities, stellingen, methoden, voorbeelden en oefeningen
Les 8 (Module 15a)
, Module 15: Optimalisatie Les 8 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 Wat is een optimalisatieprobleem? 3
1.1 Motiverend voorbeeld: de winst van een bedrijf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 De algemene vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Extrema: de definities 3
2.1 Lokaal en globaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Beeld voor n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Beeld voor n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Vrije en gebonden extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Extrema voor functies van één veranderlijke (§2) 6
3.1 Een nodige voorwaarde: f ′ (a) =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Drie waarschuwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Het twee-stappenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Methode 1: het teken van de eerste afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Methode 2: het teken van de tweede afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Globale extrema vinden 10
4.1 Open interval: misschien géén globaal extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Gesloten begrensd interval: altijd globale extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Volledig uitgewerkte voorbeelden 11
5.1 Voorbeeld 2.3.5 – optimale productie van een monopolist . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Oefening – het doosprobleem (gedachtenexperiment) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Samenvattend formuleblad 14
1
Les 8 – Module 15a
Extrema van functies van één veranderlijke
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Optimaliseren betekent: de beste keuze zoeken – de hoogste winst, de laagste kost,
de grootste inhoud. Wiskundig zoek je de maxima en minima (de extrema) van
een functie. Deze les behandelt:
1. wat een optimalisatieprobleem precies is (doelfunctie, controlevariabelen, rand-
voorwaarden);
2. de begrippen lokaal en globaal extremum;
3. hoe je extrema vindt met de eerste en tweede afgeleide.
Studiedocument — alle definities, stellingen, methoden, voorbeelden en oefeningen
Les 8 (Module 15a)
, Module 15: Optimalisatie Les 8 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 Wat is een optimalisatieprobleem? 3
1.1 Motiverend voorbeeld: de winst van een bedrijf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 De algemene vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Extrema: de definities 3
2.1 Lokaal en globaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Beeld voor n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Beeld voor n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Vrije en gebonden extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Extrema voor functies van één veranderlijke (§2) 6
3.1 Een nodige voorwaarde: f ′ (a) =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Drie waarschuwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Het twee-stappenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Methode 1: het teken van de eerste afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Methode 2: het teken van de tweede afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Globale extrema vinden 10
4.1 Open interval: misschien géén globaal extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Gesloten begrensd interval: altijd globale extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Volledig uitgewerkte voorbeelden 11
5.1 Voorbeeld 2.3.5 – optimale productie van een monopolist . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Oefening – het doosprobleem (gedachtenexperiment) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Samenvattend formuleblad 14
1
