Module 13: Afgeleiden
voor functies van één veranderlijke
Les 5 – deel b
Middelwaardestellingen, elasticiteit en hogere-orde afgeleiden
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Vier grote blokken die voortbouwen op de afgeleide uit deel a:
1. Middelwaardestellingen – Rolle en Lagrange, met stijgen/dalen via het teken
van f ′ , samen met precieze voorwaarden en tegenvoorbeelden.
2. Gevolgen & afschattingen – van f ′ = 0 over constante functies tot ongelijkhe-
den zoals ex ≥ x + 1.
3. Economische toepassing: elasticiteit – de prijselasticiteit van de vraag εV (p)
en wanneer een prijsstijging meer of minder omzet oplevert.
4. Hogere-orde afgeleiden – f ′′ voor convex/concaaf en buigpunten,
tekentabellen (Gauss-functie), Taylor-veeltermen pn en de middelwaardestelling
van Taylor met restterm.
Gebaseerd op de handout “Module 13b – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
,Module 13b: Afgeleiden één veranderlijke Les 5 – Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Middelwaardestellingen van Rolle en Lagrange 3
1.1 Stijgen en dalen – definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Eerste verband met de afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 OPGELET: stijgen is een eigenschap op een INTERVAL, niet in een PUNT . . . . 3
1.4 Middelwaardestelling van Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Rolle – toepassingen en tegenvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Middelwaardestelling van Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Gevolgen en toepassingen van Rolle en Lagrange 7
2.1 Constante functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Het teken van f ′ bepaalt monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Afschattingen van functies – Toepassing 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Economische toepassing: Elasticiteit 9
3.1 De vraagfunctie en de prijselasticiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Wat gebeurt er met de omzet? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Tweede en hogere orde afgeleiden 11
4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Betekenis van f ′′ : convex, concaaf, buigpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 Uitgewerkt voorbeeld – Gauss-functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Benadering van hogere orde (Taylor-veelterm) 14
5.1 Van eerste- naar tweedeordebenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Algemene Taylor-veelterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Voorbeeld 5.2.3 – Taylor voor sin x rond 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4 Middelwaardestelling van Taylor (restterm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Formuleblad – alles in één oogopslag 17
Formuleblad 17
Tot slot 17
1
, Module 13b: Afgeleiden één veranderlijke Les 5 – Volledige samenvatting
Wat moet je na deze les zeker kennen?
Zes kerngedachten in één oogopslag:
1. Stelling van Rolle. Als f continu is op [a, b], afleidbaar op ]a, b[ en f (a) = f (b), dan
bestaat er een c ∈ ]a, b[ met f ′ (c) = 0.
2. Stelling van Lagrange. Onder de voorwaarden continu op [a, b] en afleidbaar op ]a, b[
bestaat er een c ∈ ]a, b[ met f ′ (c) = f (b)−f
b−a
(a)
(ogenblikkelijke = gemiddelde verandering).
3. Teken van f ′ over een interval bepaalt monotonie: f ′ ≥ 0 ⇒ f stijgt; f ′ ≤ 0 ⇒ f daalt.
Let op: dit is een uitspraak over een interval, niet over één punt.
p V ′ (p)
4. Prijselasticiteit van de vraag: εV (p) = . Als εV (p) < −1 daalt de omzet bij een
V (p)
prijsstijging, als εV (p) > −1 stijgt ze.
5. Tweede afgeleide: f ′′ ≥ 0 ⇒ f convex (holle kant boven); f ′′ ≤ 0 ⇒ f concaaf (holle kant
onder). Tekenverandering van f ′′ = buigpunt.
f (k) (a)
6. Taylor-veelterm van graad n rond a: pn (x) = (x − a)k , met restterm
Pn
k=0
k!
f (n+1) (c)
(n+1)! (x − a)n+1 (stelling van Taylor).
2
voor functies van één veranderlijke
Les 5 – deel b
Middelwaardestellingen, elasticiteit en hogere-orde afgeleiden
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Vier grote blokken die voortbouwen op de afgeleide uit deel a:
1. Middelwaardestellingen – Rolle en Lagrange, met stijgen/dalen via het teken
van f ′ , samen met precieze voorwaarden en tegenvoorbeelden.
2. Gevolgen & afschattingen – van f ′ = 0 over constante functies tot ongelijkhe-
den zoals ex ≥ x + 1.
3. Economische toepassing: elasticiteit – de prijselasticiteit van de vraag εV (p)
en wanneer een prijsstijging meer of minder omzet oplevert.
4. Hogere-orde afgeleiden – f ′′ voor convex/concaaf en buigpunten,
tekentabellen (Gauss-functie), Taylor-veeltermen pn en de middelwaardestelling
van Taylor met restterm.
Gebaseerd op de handout “Module 13b – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
,Module 13b: Afgeleiden één veranderlijke Les 5 – Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Middelwaardestellingen van Rolle en Lagrange 3
1.1 Stijgen en dalen – definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Eerste verband met de afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 OPGELET: stijgen is een eigenschap op een INTERVAL, niet in een PUNT . . . . 3
1.4 Middelwaardestelling van Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Rolle – toepassingen en tegenvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Middelwaardestelling van Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Gevolgen en toepassingen van Rolle en Lagrange 7
2.1 Constante functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Het teken van f ′ bepaalt monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Afschattingen van functies – Toepassing 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Economische toepassing: Elasticiteit 9
3.1 De vraagfunctie en de prijselasticiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Wat gebeurt er met de omzet? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Tweede en hogere orde afgeleiden 11
4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Betekenis van f ′′ : convex, concaaf, buigpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 Uitgewerkt voorbeeld – Gauss-functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Benadering van hogere orde (Taylor-veelterm) 14
5.1 Van eerste- naar tweedeordebenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Algemene Taylor-veelterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Voorbeeld 5.2.3 – Taylor voor sin x rond 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4 Middelwaardestelling van Taylor (restterm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Formuleblad – alles in één oogopslag 17
Formuleblad 17
Tot slot 17
1
, Module 13b: Afgeleiden één veranderlijke Les 5 – Volledige samenvatting
Wat moet je na deze les zeker kennen?
Zes kerngedachten in één oogopslag:
1. Stelling van Rolle. Als f continu is op [a, b], afleidbaar op ]a, b[ en f (a) = f (b), dan
bestaat er een c ∈ ]a, b[ met f ′ (c) = 0.
2. Stelling van Lagrange. Onder de voorwaarden continu op [a, b] en afleidbaar op ]a, b[
bestaat er een c ∈ ]a, b[ met f ′ (c) = f (b)−f
b−a
(a)
(ogenblikkelijke = gemiddelde verandering).
3. Teken van f ′ over een interval bepaalt monotonie: f ′ ≥ 0 ⇒ f stijgt; f ′ ≤ 0 ⇒ f daalt.
Let op: dit is een uitspraak over een interval, niet over één punt.
p V ′ (p)
4. Prijselasticiteit van de vraag: εV (p) = . Als εV (p) < −1 daalt de omzet bij een
V (p)
prijsstijging, als εV (p) > −1 stijgt ze.
5. Tweede afgeleide: f ′′ ≥ 0 ⇒ f convex (holle kant boven); f ′′ ≤ 0 ⇒ f concaaf (holle kant
onder). Tekenverandering van f ′′ = buigpunt.
f (k) (a)
6. Taylor-veelterm van graad n rond a: pn (x) = (x − a)k , met restterm
Pn
k=0
k!
f (n+1) (c)
(n+1)! (x − a)n+1 (stelling van Taylor).
2
