Module 13: Afgeleiden
voor functies van één veranderlijke
Les 4 – deel a
Definitie, rekenregels en de regel van l’Hôpital
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Drie grote blokken die samen het “rekengereedschap” voor afgeleiden van functies
van één veranderlijke vormen:
1. Verkenning & definitie – van gemiddelde snelheid naar ogenblikkelijke snel-
heid, naar de afgeleide als limiet van de rico van een koorde; raaklijn en
eersteordebenadering.
2. Eigenschappen & rekenregels – afleidbaar ⇒ continu, lineariteit, Leibniz-
regel, quotiëntregel, kettingregel, afgeleide van een inverse functie.
3. De regel van l’Hôpital – limieten van het type 0/0 of ∞/∞ oplossen via
afgeleiden, met een economische toepassing (lineaire vs. exponentiële groei).
Gebaseerd op de handout “Module 13a – Les 04 – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
,Module 13a: Afgeleiden één veranderlijke Les 4 – Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Verkenning & definitie van de afgeleide 3
1.1 Gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid – het vallend voorwerp . . . . . . . . . . . 3
1.2 Van koorde naar raaklijn: definitie van de afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Meetkundige interpretatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Marginale kostenfunctie (1.1.3) – economische toepassing . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Drie standaardvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 De eersteordebenadering (raaklijn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Eigenschappen & rekenregels 10
2.1 Afleidbaar ⇒ continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Rekenregels – som, product, quotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Oefeningen op de rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 De kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Afgeleide van een inverse functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 De regel van l’Hôpital 15
3.1 Basisversie: onbepaalde vorm 0/0 in een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Algemene versie: ook in ±∞ en bij ∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Uitgewerkte voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Economische toepassing – totale opbrengst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Formuleblad – alles in één oogopslag 18
Formuleblad 18
Tot slot 18
1
, Module 13a: Afgeleiden één veranderlijke Les 4 – Volledige samenvatting
Wat moet je na deze les zeker kennen?
Vijf kerngedachten in één oogopslag:
1. De afgeleide f ′ (a) is de limiet van de gemiddelde mate van verandering van f rond a:
f (a + h) − f (a) f (x) − f (a)
f ′ (a) = lim = lim .
h→0 h x→a x−a
2. Meetkundig is f ′ (a) de rico van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f (a)).
3. De eersteordebenadering (raaklijn) van f in a is ℓ(x) = f ′ (a)(x − a) + f (a), en kortweg
∆f (a) ≈ f ′ (a) ∆x.
4. Rekenregels: som, product (Leibniz), quotiënt, kettingregel, inverse functie. Let op:
(f g)′ ̸= f ′ g ′ en (f /g)′ ̸= f ′ /g ′ .
5. Regel van l’Hôpital: bij een onbepaalde vorm 0/0 of ∞/∞ vervangt men f /g door f ′ /g ′
en herrekent men de limiet.
2
voor functies van één veranderlijke
Les 4 – deel a
Definitie, rekenregels en de regel van l’Hôpital
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Drie grote blokken die samen het “rekengereedschap” voor afgeleiden van functies
van één veranderlijke vormen:
1. Verkenning & definitie – van gemiddelde snelheid naar ogenblikkelijke snel-
heid, naar de afgeleide als limiet van de rico van een koorde; raaklijn en
eersteordebenadering.
2. Eigenschappen & rekenregels – afleidbaar ⇒ continu, lineariteit, Leibniz-
regel, quotiëntregel, kettingregel, afgeleide van een inverse functie.
3. De regel van l’Hôpital – limieten van het type 0/0 of ∞/∞ oplossen via
afgeleiden, met een economische toepassing (lineaire vs. exponentiële groei).
Gebaseerd op de handout “Module 13a – Les 04 – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
,Module 13a: Afgeleiden één veranderlijke Les 4 – Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Verkenning & definitie van de afgeleide 3
1.1 Gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid – het vallend voorwerp . . . . . . . . . . . 3
1.2 Van koorde naar raaklijn: definitie van de afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Meetkundige interpretatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Marginale kostenfunctie (1.1.3) – economische toepassing . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Drie standaardvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 De eersteordebenadering (raaklijn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Eigenschappen & rekenregels 10
2.1 Afleidbaar ⇒ continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Rekenregels – som, product, quotiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Oefeningen op de rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 De kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Afgeleide van een inverse functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 De regel van l’Hôpital 15
3.1 Basisversie: onbepaalde vorm 0/0 in een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Algemene versie: ook in ±∞ en bij ∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Uitgewerkte voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Economische toepassing – totale opbrengst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Formuleblad – alles in één oogopslag 18
Formuleblad 18
Tot slot 18
1
, Module 13a: Afgeleiden één veranderlijke Les 4 – Volledige samenvatting
Wat moet je na deze les zeker kennen?
Vijf kerngedachten in één oogopslag:
1. De afgeleide f ′ (a) is de limiet van de gemiddelde mate van verandering van f rond a:
f (a + h) − f (a) f (x) − f (a)
f ′ (a) = lim = lim .
h→0 h x→a x−a
2. Meetkundig is f ′ (a) de rico van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f (a)).
3. De eersteordebenadering (raaklijn) van f in a is ℓ(x) = f ′ (a)(x − a) + f (a), en kortweg
∆f (a) ≈ f ′ (a) ∆x.
4. Rekenregels: som, product (Leibniz), quotiënt, kettingregel, inverse functie. Let op:
(f g)′ ̸= f ′ g ′ en (f /g)′ ̸= f ′ /g ′ .
5. Regel van l’Hôpital: bij een onbepaalde vorm 0/0 of ∞/∞ vervangt men f /g door f ′ /g ′
en herrekent men de limiet.
2
