Module 12: Continuïteit
en limieten van functies
Deel b – Limieten van functies
Definitie, rekenregels, sandwich en klassieke limieten
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Vier blokken die samen het volledige limiet-arsenaal vormen:
1. Definitie van limiet van een functie – via rijen (Heine), met drie voorbeeld-
types (L eindig, +∞, x → ∞). Limiet ̸= functiewaarde, en limieten kunnen ook
niet bestaan.
2. Verband met continuïteit – f continu in a ⇔ lima f = f (a), en de reken-
regels (lineariteit, product, quotiënt, samenstelling, ordebehoud) – inclusief de
onbepaalde vormen.
3. Sandwich-theorema (insluiting) als zeer krachtig instrument om limieten te
berekenen zonder rekenregels.
4. Praktische limietberekening – rationale functies in een nulpunt van de noe-
mer, irrationale functies via geconjugeerde, rationale functies in ±∞, en de
klassieke limieten sin x/x → 0 in ∞ en sin x/x → 1 in 0 (met meetkundig bewijs).
Gebaseerd op de handout “Module 12b – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
, Module 12b: Limieten van functies Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Limieten van functies – definitie 3
1.1 Drie voorbeeldtypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Formele definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Limiet ̸= functiewaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Wanneer een limiet niet bestaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Oneindige limieten en limieten in oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Verband met continuïteit & rekenregels 6
2.1 De brug naar continuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Onbepaalde vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Samenstelling – limiet door continue functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Limieten en orde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Het Sandwich-theorema (insluitingsstelling) 8
3.1 Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Toepassing: limx→−∞ ex sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Praktische limietberekening 10
4.1 Limiet van een rationale functie in een nulpunt van de noemer . . . . . . . . . . . 10
4.2 Irrationale functie: vermenigvuldigen met de geconjugeerde . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Rationale functies in +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Twee klassiekers met sin x/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Meetkundig bewijs van sin x/x → 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Formuleblad – alles in één oogopslag 13
Formuleblad 13
Tot slot 13
1
en limieten van functies
Deel b – Limieten van functies
Definitie, rekenregels, sandwich en klassieke limieten
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Vier blokken die samen het volledige limiet-arsenaal vormen:
1. Definitie van limiet van een functie – via rijen (Heine), met drie voorbeeld-
types (L eindig, +∞, x → ∞). Limiet ̸= functiewaarde, en limieten kunnen ook
niet bestaan.
2. Verband met continuïteit – f continu in a ⇔ lima f = f (a), en de reken-
regels (lineariteit, product, quotiënt, samenstelling, ordebehoud) – inclusief de
onbepaalde vormen.
3. Sandwich-theorema (insluiting) als zeer krachtig instrument om limieten te
berekenen zonder rekenregels.
4. Praktische limietberekening – rationale functies in een nulpunt van de noe-
mer, irrationale functies via geconjugeerde, rationale functies in ±∞, en de
klassieke limieten sin x/x → 0 in ∞ en sin x/x → 1 in 0 (met meetkundig bewijs).
Gebaseerd op de handout “Module 12b – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
, Module 12b: Limieten van functies Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Limieten van functies – definitie 3
1.1 Drie voorbeeldtypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Formele definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Limiet ̸= functiewaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Wanneer een limiet niet bestaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Oneindige limieten en limieten in oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Verband met continuïteit & rekenregels 6
2.1 De brug naar continuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Onbepaalde vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Samenstelling – limiet door continue functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Limieten en orde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Het Sandwich-theorema (insluitingsstelling) 8
3.1 Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Toepassing: limx→−∞ ex sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Praktische limietberekening 10
4.1 Limiet van een rationale functie in een nulpunt van de noemer . . . . . . . . . . . 10
4.2 Irrationale functie: vermenigvuldigen met de geconjugeerde . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Rationale functies in +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Twee klassiekers met sin x/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Meetkundig bewijs van sin x/x → 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Formuleblad – alles in één oogopslag 13
Formuleblad 13
Tot slot 13
1
