Module 12: Continuïteit
en limieten van functies
Les 2 – deel a
Continuïteit, tussenwaardestelling en Max-Min
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Drie blokken die samen het “continuïteitsgereedschap” voor de rest van de analyse
vormen:
1. Definitie van continuïteit – intuïtief (“geen sprongen”), formeel via rijen, en
het prachtige principe dat een limiet door een continue functie schuift.
2. Eigenschappen – componentfuncties, bewerkingen (som, product, quotiënt,
samenstelling) bewaren continuïteit, met als gevolg een korte lijst van standaard-
voorbeelden (xp , sin, cos, exp, ln, |x|).
3. Twee belangrijke stellingen + economische toepassingen. De tussen-
waardestelling (TWST) levert het marktevenwicht; de Max-Min stelling garan-
deert het bestaan van een winstmaximum op een compact interval.
Gebaseerd op de handout “Module 12a – Les 02 – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
, Module 12a: Continuïteit en limieten Les 2 – Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Continuïteit 3
1.1 Intuïtief beeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Definitie van continuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 De limiet schuift door een continue functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Een gedetecteerde sprong – de stapfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Voorbeelden van continue functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Eigenschappen van continue functies 6
2.1 Componentfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Bewerkingen die continuïteit bewaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Samenstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 De tussenwaardestelling 7
3.1 Stelling en betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Bewijs via bisectiemethode (constructief) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Speciaal geval – nulpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Economische toepassing – bestaan van een marktevenwicht . . . . . . . . . . . . . 8
4 De Max-Min stelling (extremenstelling) 10
4.1 Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Drie voorwaarden zijn echt nodig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Algemener: in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 TWST + Max-Min: het beeld is een interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Economische toepassing – winstmaximalisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Formuleblad – alles in één oogopslag 13
Formuleblad 13
Tot slot 13
1
en limieten van functies
Les 2 – deel a
Continuïteit, tussenwaardestelling en Max-Min
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Drie blokken die samen het “continuïteitsgereedschap” voor de rest van de analyse
vormen:
1. Definitie van continuïteit – intuïtief (“geen sprongen”), formeel via rijen, en
het prachtige principe dat een limiet door een continue functie schuift.
2. Eigenschappen – componentfuncties, bewerkingen (som, product, quotiënt,
samenstelling) bewaren continuïteit, met als gevolg een korte lijst van standaard-
voorbeelden (xp , sin, cos, exp, ln, |x|).
3. Twee belangrijke stellingen + economische toepassingen. De tussen-
waardestelling (TWST) levert het marktevenwicht; de Max-Min stelling garan-
deert het bestaan van een winstmaximum op een compact interval.
Gebaseerd op de handout “Module 12a – Les 02 – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
, Module 12a: Continuïteit en limieten Les 2 – Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Continuïteit 3
1.1 Intuïtief beeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Definitie van continuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 De limiet schuift door een continue functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Een gedetecteerde sprong – de stapfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Voorbeelden van continue functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Eigenschappen van continue functies 6
2.1 Componentfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Bewerkingen die continuïteit bewaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Samenstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 De tussenwaardestelling 7
3.1 Stelling en betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Bewijs via bisectiemethode (constructief) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Speciaal geval – nulpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Economische toepassing – bestaan van een marktevenwicht . . . . . . . . . . . . . 8
4 De Max-Min stelling (extremenstelling) 10
4.1 Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Drie voorwaarden zijn echt nodig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Algemener: in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 TWST + Max-Min: het beeld is een interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Economische toepassing – winstmaximalisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Formuleblad – alles in één oogopslag 13
Formuleblad 13
Tot slot 13
1
