Module 11:
Belangrijke functies
Exponentiële, logaritmische en goniometrische functies
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze module over?
Drie families van functies die overal terugkomen in economische/financiële modellen:
1. Exponentiële functies – groei- en vervalprocessen (bevolking, kapitaal). De
karakteristieke eigenschap is K(s+t) = K(s)K(t) (constante relatieve aangroei).
2. Logaritmische functies – de inverses van de exponentiële functies. Onmisbaar
om exponenten op te lossen en in vergelijkingen.
3. Goniometrische functies (sin, cos, tan, cot) – cyclische processen die zich her-
halen in de tijd (seizoenseffecten, energieverbruik, conjunctuurcycli).
Gebaseerd op de handout “Module 11 – Les 01 – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
,Module 11: Belangrijke functies Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Motivatie 3
2 Exponentiële functies 3
2.1 Het konijnenmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Verfijnde versie: continue groei en de relatie K(s + t) = K(s)K(t) . . . . . . . . . 4
2.3 Constructie: van N naar R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Fundamentele eigenschappen en verloop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Limieten in ∞ – waarom exponentieel wint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Logaritmische functies 7
3.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Grafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Speciale grondtallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Continue interest – economische interpretatie van e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Goniometrische functies 10
4.1 De goniometrische cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Definitie van sinus en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Twee fundamentele eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Optellingsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5 Tangens en cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.6 Speciale hoek x = π/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.7 Toepassing – periodieke fenomenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.8 Economische toepassingen van sin en cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Formuleblad – alles in één oogopslag 16
Formuleblad 16
Tot slot 16
1
, Module 11: Belangrijke functies Volledige samenvatting
Wat moet je na deze les zeker kennen?
Zes kerngedachten in één oogopslag:
1. Exponentiële functie expa (x) = ax voor a > 0, gekenmerkt door ax+y = ax ay , a0 = 1.
Voor a > 1 strikt stijgend, voor a < 1 strikt dalend.
2. Logaritme loga is de inverse: loga x = y ⇔ ay = x. Sleutelregels: loga (xy) = loga x +
loga y, loga (xs ) = s loga x.
3. Speciale grondtallen: 10 (decimaal, log = log10 ) en e = 2,71828 . . . (exp = expe , ln = loge ).
e is het grondtal waarvoor exp haar eigen afgeleide is.
4. Continue interest: K(t) = K0 ejt bij continue opbouw van rente met nominale voet j.
5. Sinus en cosinus via de goniometrische cirkel: Px = (cos x, sin x). Grondformule cos2 x +
sin2 x = 1. Beide functies zijn periodiek met periode 2π.
6. Optellingsformules cos(x+y) = cos x cos y −sin x sin y, sin(x+y) = sin x cos y +cos x sin y.
2
Belangrijke functies
Exponentiële, logaritmische en goniometrische functies
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze module over?
Drie families van functies die overal terugkomen in economische/financiële modellen:
1. Exponentiële functies – groei- en vervalprocessen (bevolking, kapitaal). De
karakteristieke eigenschap is K(s+t) = K(s)K(t) (constante relatieve aangroei).
2. Logaritmische functies – de inverses van de exponentiële functies. Onmisbaar
om exponenten op te lossen en in vergelijkingen.
3. Goniometrische functies (sin, cos, tan, cot) – cyclische processen die zich her-
halen in de tijd (seizoenseffecten, energieverbruik, conjunctuurcycli).
Gebaseerd op de handout “Module 11 – Les 01 – Wiskunde voor Economen, deel 2: analyse”
,Module 11: Belangrijke functies Volledige samenvatting
Contents
Wat moet je na deze les zeker kennen? 2
1 Motivatie 3
2 Exponentiële functies 3
2.1 Het konijnenmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Verfijnde versie: continue groei en de relatie K(s + t) = K(s)K(t) . . . . . . . . . 4
2.3 Constructie: van N naar R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Fundamentele eigenschappen en verloop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Limieten in ∞ – waarom exponentieel wint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Logaritmische functies 7
3.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Grafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Speciale grondtallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Continue interest – economische interpretatie van e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Goniometrische functies 10
4.1 De goniometrische cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Definitie van sinus en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Twee fundamentele eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Optellingsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5 Tangens en cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.6 Speciale hoek x = π/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.7 Toepassing – periodieke fenomenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.8 Economische toepassingen van sin en cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Formuleblad – alles in één oogopslag 16
Formuleblad 16
Tot slot 16
1
, Module 11: Belangrijke functies Volledige samenvatting
Wat moet je na deze les zeker kennen?
Zes kerngedachten in één oogopslag:
1. Exponentiële functie expa (x) = ax voor a > 0, gekenmerkt door ax+y = ax ay , a0 = 1.
Voor a > 1 strikt stijgend, voor a < 1 strikt dalend.
2. Logaritme loga is de inverse: loga x = y ⇔ ay = x. Sleutelregels: loga (xy) = loga x +
loga y, loga (xs ) = s loga x.
3. Speciale grondtallen: 10 (decimaal, log = log10 ) en e = 2,71828 . . . (exp = expe , ln = loge ).
e is het grondtal waarvoor exp haar eigen afgeleide is.
4. Continue interest: K(t) = K0 ejt bij continue opbouw van rente met nominale voet j.
5. Sinus en cosinus via de goniometrische cirkel: Px = (cos x, sin x). Grondformule cos2 x +
sin2 x = 1. Beide functies zijn periodiek met periode 2π.
6. Optellingsformules cos(x+y) = cos x cos y −sin x sin y, sin(x+y) = sin x cos y +cos x sin y.
2
