Statistiek
Les 1: 12/02/2025
Hoofdstuk 8: Basisbegrippen kansberekening
Het belang van kansberekening
• De ‘probabilistisch ingestelde’ wereld begrijpen
o Verzekeringsmaatschappij, Rawls’ sluier van onwetendheid is verscheurd
-> als we niet weten waar we zouden staan op de sociale ladder, kiezen we altijd
voor een rechtvaardige samenleving
-> op basis van kansberekening in de sluiter van onwetendheid verscheurd want we
berekenen hoeveel kans iemand geeft op iets (Bv: ongeval ->
verzekeringsmaatschappij)
• Als sociale wetenschapper: uitspraken doen over een populatie op basis van een
steekproef
• Kansspelen winnen
Van beschrijvende naar inferentiële statistiek
• Beschrijvende statistiek: Het beschrijven van de gegevens van een steekproef of
populatie met behulp van tabellen, grafieken en kengetallen.
-> semester 1
• Inferentiële statistiek: Op basis van steekproefgegevens uitspraken doen over de
populatie.
-> gaat altijd gepaard met onzekerheid (hoe meer spreiding, hoe meer onzekerheid)
-> semester 2
Basisbegrippen kansberekening
• Een stochastisch proces is een proces waarvan de uitkomst onzeker is
-> sociale wetenschappers onderzoeken mensen en die zijn zeer onvoorspelbaar
o Synoniem: ‘kansexperiment’
Bv: gooien met een dobbelsteen
o >< Een deterministisch proces is een proces waarvan de uitkomst vastligt
Bv: wanneer de zon zal opkomen op 13 januari in 2042, dit kan je opzoeken en is
zeker
• Een toevalsgebeuren (gebeurtenis) is een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een
stochastisch proces
Bv: gooien met een dobbelsteen en een 6 gooien
• Een elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst
o Bv: Toevalsgebeuren A (‘het gooien van een 1 met een eerlijke dobbelsteen’) = {1}
• Uitkomstenruimte S (‘sample space’) is de verzameling van alle mogelijke elementaire
toevalsgebeurens
o S={1, 2, 3, 4, 5, 6} of S={kop, munt}
, • Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeurens
>< simultane toevalsgebeuren is: 2 variabelen tegelijk bekijken
o Bv: Gebeurtenis B (‘het gooien van een even getal met een eerlijke dobbelsteen’)
= {2, 4, 6}
Intermezzo: symbolen uit de verzamelingenleer
• Een verzameling is een geheel van objecten, die aan bepaalde voorwaarden moeten
voldoen om tot de verzameling te behoren.
• Notatie: A = {s, t, a, i, e, k}
-> letters die voorkomen in het woord statistiek
• De unie van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A of B zitten
o A∪B
>< niet A U (unie) B= wat niet in A en/of B ligt
o Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {oneven}. A ∪ B = 1,2,3,5
• De doorsnede van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A en B
zitten
o A∩B
o Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {oneven}; A ∩ B = 1
• A is een deelverzameling van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
o A⊂B
o Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Disjuncte verzamelingen zijn verzamelingen die geen gemeenschappelijke elementen
bevatten
-> mutueel exclusief (synoniem): ze sluiten elkaar uit
-> de doorsnede is leeg (niet gelijk aan 0). De kans om in de doorsnede te zitten is wel
gelijk aan 0.
o Voorbeeld: A = {1} en B = {2, 4, 6}
o A ∩ B = ∅ (“fi”)
, • Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen van A
die niet in B zitten
o A\B
o Voorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6}; A \ B = 1,3,5
Basisbegrippen kansberekening
• Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de
uitkomstenruimte S
• De elementaire toevalsgebeurens in uitkomstenruimte S zijn disjunct (mutueel exclusief):
ze overlappen niet
• Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
• Het complement van toevalsgebeuren A omvat alle elementaire toevalsgebeurens in de
uitkomstenruimte S die niet gelijk zijn aan A
-> gebruik de weergave A met een streepje erboven
• De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van
uitkomstenruimte S
o Voorbeeld: S = {1, 2, 3}
o Hoeveel deelverzamelingen zijn er mogelijk?
- Met 0 elementen: ∅
- Met 1 element: {1}, {2}, {3}
- Met 2 elementen:{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}
- Met 3 elementen: {1, 2, 3}
o Bv: M(S)={Ø,{1},{2},{3},{1,2}, {2, 3}, {1,3}, {1,2,3}} =8
• Als #S = n -> #M(S) = 2^n (kardinaalgetal # = totaal aantal elementen)
Kansdefinitie
• Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in
een getal tussen 0 en 1
o Waarvoor staat P?
o Voorbeeld: P({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1/6
o Aantal gunstige/ aantal mogelijkheden
• P (de kans) is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1
associeert
a) Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
, • Bijvoorbeeld ‘de kans om de lotto te winnen is erg klein’
• Vaak gebaseerd op ervaring, vaag
b) Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
• Bijvoorbeeld ‘de kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen’
• dobbelsteen heel vaak opwerpen (n -> oneindig)
• geregeld 𝑓𝑖/𝑛 berekenen (= benadering voor kans)
• kijken waar de waarden 𝑓𝑖/ 𝑛 naartoe gaan als n toeneemt -> de `limietwaarde’ is de
gezochte kans (kans = relatieve frequentie in the long run)
•
Voorbeeld
c) Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
• # betekent aantal
• Bijvoorbeeld kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen
• # gunstige uitkomsten = 1 ; # mogelijke uitkomsten = 6
• P({2}) = 1/6
• Opmerking: Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is (`kansverdeling
van elementaire gebeurtenissen is uniform’)
• Enkel toepassen bij eerlijke dobbelsteen
• Wat is de kans om minstens 5 te gooien met een eerlijke dobbelsteen? =2/6
• Wat is de kans om 12 te gooien als som van het aantal ogen bij een worp met 2
dobbelstenen? = 1/36
Les 1: 12/02/2025
Hoofdstuk 8: Basisbegrippen kansberekening
Het belang van kansberekening
• De ‘probabilistisch ingestelde’ wereld begrijpen
o Verzekeringsmaatschappij, Rawls’ sluier van onwetendheid is verscheurd
-> als we niet weten waar we zouden staan op de sociale ladder, kiezen we altijd
voor een rechtvaardige samenleving
-> op basis van kansberekening in de sluiter van onwetendheid verscheurd want we
berekenen hoeveel kans iemand geeft op iets (Bv: ongeval ->
verzekeringsmaatschappij)
• Als sociale wetenschapper: uitspraken doen over een populatie op basis van een
steekproef
• Kansspelen winnen
Van beschrijvende naar inferentiële statistiek
• Beschrijvende statistiek: Het beschrijven van de gegevens van een steekproef of
populatie met behulp van tabellen, grafieken en kengetallen.
-> semester 1
• Inferentiële statistiek: Op basis van steekproefgegevens uitspraken doen over de
populatie.
-> gaat altijd gepaard met onzekerheid (hoe meer spreiding, hoe meer onzekerheid)
-> semester 2
Basisbegrippen kansberekening
• Een stochastisch proces is een proces waarvan de uitkomst onzeker is
-> sociale wetenschappers onderzoeken mensen en die zijn zeer onvoorspelbaar
o Synoniem: ‘kansexperiment’
Bv: gooien met een dobbelsteen
o >< Een deterministisch proces is een proces waarvan de uitkomst vastligt
Bv: wanneer de zon zal opkomen op 13 januari in 2042, dit kan je opzoeken en is
zeker
• Een toevalsgebeuren (gebeurtenis) is een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een
stochastisch proces
Bv: gooien met een dobbelsteen en een 6 gooien
• Een elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst
o Bv: Toevalsgebeuren A (‘het gooien van een 1 met een eerlijke dobbelsteen’) = {1}
• Uitkomstenruimte S (‘sample space’) is de verzameling van alle mogelijke elementaire
toevalsgebeurens
o S={1, 2, 3, 4, 5, 6} of S={kop, munt}
, • Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeurens
>< simultane toevalsgebeuren is: 2 variabelen tegelijk bekijken
o Bv: Gebeurtenis B (‘het gooien van een even getal met een eerlijke dobbelsteen’)
= {2, 4, 6}
Intermezzo: symbolen uit de verzamelingenleer
• Een verzameling is een geheel van objecten, die aan bepaalde voorwaarden moeten
voldoen om tot de verzameling te behoren.
• Notatie: A = {s, t, a, i, e, k}
-> letters die voorkomen in het woord statistiek
• De unie van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A of B zitten
o A∪B
>< niet A U (unie) B= wat niet in A en/of B ligt
o Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {oneven}. A ∪ B = 1,2,3,5
• De doorsnede van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A en B
zitten
o A∩B
o Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {oneven}; A ∩ B = 1
• A is een deelverzameling van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
o A⊂B
o Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Disjuncte verzamelingen zijn verzamelingen die geen gemeenschappelijke elementen
bevatten
-> mutueel exclusief (synoniem): ze sluiten elkaar uit
-> de doorsnede is leeg (niet gelijk aan 0). De kans om in de doorsnede te zitten is wel
gelijk aan 0.
o Voorbeeld: A = {1} en B = {2, 4, 6}
o A ∩ B = ∅ (“fi”)
, • Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen van A
die niet in B zitten
o A\B
o Voorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6}; A \ B = 1,3,5
Basisbegrippen kansberekening
• Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de
uitkomstenruimte S
• De elementaire toevalsgebeurens in uitkomstenruimte S zijn disjunct (mutueel exclusief):
ze overlappen niet
• Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
• Het complement van toevalsgebeuren A omvat alle elementaire toevalsgebeurens in de
uitkomstenruimte S die niet gelijk zijn aan A
-> gebruik de weergave A met een streepje erboven
• De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van
uitkomstenruimte S
o Voorbeeld: S = {1, 2, 3}
o Hoeveel deelverzamelingen zijn er mogelijk?
- Met 0 elementen: ∅
- Met 1 element: {1}, {2}, {3}
- Met 2 elementen:{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}
- Met 3 elementen: {1, 2, 3}
o Bv: M(S)={Ø,{1},{2},{3},{1,2}, {2, 3}, {1,3}, {1,2,3}} =8
• Als #S = n -> #M(S) = 2^n (kardinaalgetal # = totaal aantal elementen)
Kansdefinitie
• Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in
een getal tussen 0 en 1
o Waarvoor staat P?
o Voorbeeld: P({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1/6
o Aantal gunstige/ aantal mogelijkheden
• P (de kans) is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1
associeert
a) Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
, • Bijvoorbeeld ‘de kans om de lotto te winnen is erg klein’
• Vaak gebaseerd op ervaring, vaag
b) Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
• Bijvoorbeeld ‘de kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen’
• dobbelsteen heel vaak opwerpen (n -> oneindig)
• geregeld 𝑓𝑖/𝑛 berekenen (= benadering voor kans)
• kijken waar de waarden 𝑓𝑖/ 𝑛 naartoe gaan als n toeneemt -> de `limietwaarde’ is de
gezochte kans (kans = relatieve frequentie in the long run)
•
Voorbeeld
c) Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
• # betekent aantal
• Bijvoorbeeld kans om 2 te gooien bij eerlijke dobbelsteen
• # gunstige uitkomsten = 1 ; # mogelijke uitkomsten = 6
• P({2}) = 1/6
• Opmerking: Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is (`kansverdeling
van elementaire gebeurtenissen is uniform’)
• Enkel toepassen bij eerlijke dobbelsteen
• Wat is de kans om minstens 5 te gooien met een eerlijke dobbelsteen? =2/6
• Wat is de kans om 12 te gooien als som van het aantal ogen bij een worp met 2
dobbelstenen? = 1/36
