SAMENVATTING WISKUNDE B
PRINCIPES GOEDE WISKUNDE DIDACTIEK
Pagina 232-257
1. BETEKENISVOLLE SITUATIES
DIDACTISCH PRINCIPE: MOTIVATIEPRINCIPE
Als je een situatie wiskundig benadert, probeer de essentiële elementen en relaties uit de situaties
voor te stellen. Ontwikkel een wiskundig model waarin je die elementen en relaties op een passende
wijze vervat. Daarna pas je technieken toe door: doortellen, cijferen, meten…. Hierdoor bekom je
een resultaat (som, maat, figuur…). Controleer en interpreteer daarna je resultaten op verschillende
manieren
Schema verloop wiskundig denkproces:
Een bewerking krijgt meer betekenis als een leerling die
kan omzetten naar een levensechte situatie. Als de
leerling dat kan, heeft hij inzicht in de situatie.BV: 3 keer
6 is 3 groepen appels van 6.
Confronteer lln veel met betekenisvolle situaties waarin
wiskunde voorkomt. Zo leren kinderen verband tussen
wiskunde en de realiteit een situatie ‘verwiskundigen’. Hierbij treedt verarming op, informatie gaat
verloren.
BV: rekenen met bananen, info dat banaan geel en krom is, gaat verloren.
De relatie met de realiteit is nodig om een probleem juist op te lossen.
BV: er zijn 3,83 bussen nodig, kan niet, kind moet weten dat dit er dan 4 zijn.
Door de leefwereld van het kind te betrekken, verhoogt de motivatie.
Voordelen realiteit in wiskunde:
▪ Probleem analyseren door situaties naar wiskundeproblemen om te zetten
▪ Praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde inzien
▪ Inzicht in een wiskundig begrip
▪ Betekenisvolle situaties bij verwerking als bij evaluatie
▪ In oriëntatie een probleem stellen en in de afronding er op terugkomen is interessant
2. CONCREET – SCHEMATISCH – ABSTRACT (CSA-MODEL)
DIDACTISCH PRINCIPE: AANSCHOUWELIJKHEIDSPRINCIPE
Mentaal doorloop je alle niveaus van het concrete naar het abstracte en dat is een persoonlijk
proces.
1
,Concrete fase: Voorbeelden & materialen
Schematische fase: Schema’s (verwijzing naar concreet), eerst MAB dan getallen
→ Getallen in schema = schematische ondersteuning bij abstract getal
→ MAB = Multibase Arithmetic Blocks (pas vanaf 2de lj)
Abstracte fase: Geen hulpmiddelen (symbolen, getallen, tekens) = lln weten betekenis
BV: 5 tulpen -> 5 tulpen tekenen -> 5 tulpen voorstellen als 5 bolletjes -> symbool 5
CONCRETE FASE
Concreet = alle tastbare voorwerpen (materialen). Zoveel mogelijk zintuigen.
→ Concreet ongestructureerd en/of gestructureerd materiaal.
Materiaal bestaat uit natura
Gebruik verschillende materialen en voorbeelden zodat leerlingen door hebben dat je bepaalde
zaken in meer situaties kan toepassen. BV: werk met eieren, legoblokjes….
Materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid
Concrete voorstellingen evolueren naar gestructureerde voorstellingen. 1 bol staat bv voor 1 bloem.
Je benadrukt het hoeveelheidsaspect en niet het uitzicht van het voorwerp. M.a.w. je verwiskundigt
de situatie.
Het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal
= speciaal ontworpen om inzicht te verwerven in een specifieke leerinhoud.
MAB-materiaal is ‘geleed’, wil zeggen dat staaf (tiental) , plak (honderdtal) en de kubus (duizendtal)
de verdeling in eenheden duidelijk zichtbaar is.
→ Verhoudingen tussen aantallen: een staafje is 10x zo groot als een blokje, een plak is 100x zo
groot als een blokje.
SCHEMATISCHE FASE
Werkelijkheid voorstellen door tekeningen, schema’s en stappenplannen die het denkproces en
inzicht ondersteunen.
Mogelijke opbouw: Afbeelding werkelijkheid – afbeelding ‘in plaats van’ werkelijkheid – afbeelding
gestructureerd materiaal (getekend MAB, getalkaarten)
Schematische voorstellingen:
▪ Getallenlijn / getallenas
▪ Tabellen / schema’s
▪ Positietabel
▪ Vierhoek
2
,HET HONDERDVELD
Positief:
▪ Kardinale aspect = hoeveelheidsaspect (weten wat honderd is)
▪ Rangorde, ordinaal (weten dat die getallen elkaar altijd opvolgen,
opeenvolging getallen)
Negatief:
Hoe groter de hoeveelheid, hoe lager het getal in het honderdveld staat
(tegennatuurlijk)
▪ Nul word niet afgebeeld, eigenlijk boven de 10 moeten, maar is raar dan omdat de 0 dan
dichter bij de 10 staat dan bij de 1
▪ Producten van maaltafels in honderdveld kleuren zorgt niet dat lineaire structuur van tellen
met sprongen herkend wordt. Lukt enkel bij maaltafel 2,5 en 10
▪ De sprong van 1 naar 2 lijkt hetzelfde als de sprong van 2 naar 11
▪ Ze gaan tellend rekenen. (niet goed)
STARTFOUT: wanneer lln rekenen in een honderdveld: bv 100-3 = 98 dit komt omdat lln beginnen
tellen bij 100. ZO:
Het honderdveld is slechts een middel om de structuur, de opbouw in getallen te ontdekken met
nadruk op de verticale en horizontale rangorde. De bedoeling van een honderdveld is getal inzicht
tot 100.
ABSTRACTE FASE
Abstract werken = Zonder concreet materiaal en schema
HET TRIPLE CODE MODEL
Deze 3 fases komen aanbod bij hetzelfde aanleermoment
Principes hierin:
✓ Correcte wiskundige verwoording (woord)
✓ C-S = aantal, A = woord
✓ Handelingsniveau: materieel, perceptueel (aantal),
mentaal (symbool)
3
, Model geldt ook voor:
▪ Getalbegrip: 25 als getal (symbool) vijventwintig (woord) en 25 bv blokjes
(aantal/hoeveelheid)
▪ Breuken: ¼ als symbool, 1 van de 4 gelijke delen of 1 vierde (woord) ¼ van taart aanduiden
(aantal)
Lln die het moeilijk hebben in abstracte fase kunnen zo teruggrijpen naar schematische fase. Kale
bewerking op abstract niveau die ingekleed is, is een goeie oefening. Zo zetten lln kennis flexibel in.
AANDACHTSPUNTEN
1. Je kan nagaan of een kind alle denkniveaus beheerst door het kind hardop zijn denkproces te
laten verwoorden. Indien hij het niet goed kan uitleggen vraag je om het te tekenen of
leggen, zo merk je op welk niveau de leerling nog problemen heeft.
→ Dit proces van differentiëren en remediëren is een belangrijk aandachtspunt voor de
leerkracht!
2. Niet alle materialen die je kan vastnemen zijn concreet. een kaartje met symbool H er op, is
een abstracte voorstelling voor 100.. Als je kaarten dan ordent: H-T-E dan is het een
schematische voorstelling.
3. Een abacus is eigenlijk een gematerialiseerde abstracte voorstelling. Je moet inzicht hebben
in positiesysteem en de juiste waarde aan de kralen kunnen hechten. Dit is soms een
probleem bij gebruik abacus.
4. Voor leerlingen is het van belang dat zij weten hoe de opbouw van de
materiaalkeuze in elkaar zit. Remediëringsmiddelen inschakelen kan
door een tekening/schets bij een oefening te maken. Onthoud dat
een voorgaand niveau zeker niet minderwaardig is.
! Aanbreng nieuwe leerinhouden: concreet -> schematisch -> abstract
Remediëren: abstract -> schematisch -> concreet
3. HANDELINGSNIVEAUS VAN GALPERIN
DIDACTISCH PRINCIPE: GELEIDELIJKHEIDSPRINCIPE
Het is belangrijk dat leerlingen zelf handelen bij het inzichtelijk verwerven vn een begrip. Mentale
handelingen stapsgewijs.
4 handelingsniveaus: Het is belangrijk dat je bij elke stap verwoord.
MATERIEEL HANDELEN
Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden wat ze doen. (doen, tekenen, spreken)
4
PRINCIPES GOEDE WISKUNDE DIDACTIEK
Pagina 232-257
1. BETEKENISVOLLE SITUATIES
DIDACTISCH PRINCIPE: MOTIVATIEPRINCIPE
Als je een situatie wiskundig benadert, probeer de essentiële elementen en relaties uit de situaties
voor te stellen. Ontwikkel een wiskundig model waarin je die elementen en relaties op een passende
wijze vervat. Daarna pas je technieken toe door: doortellen, cijferen, meten…. Hierdoor bekom je
een resultaat (som, maat, figuur…). Controleer en interpreteer daarna je resultaten op verschillende
manieren
Schema verloop wiskundig denkproces:
Een bewerking krijgt meer betekenis als een leerling die
kan omzetten naar een levensechte situatie. Als de
leerling dat kan, heeft hij inzicht in de situatie.BV: 3 keer
6 is 3 groepen appels van 6.
Confronteer lln veel met betekenisvolle situaties waarin
wiskunde voorkomt. Zo leren kinderen verband tussen
wiskunde en de realiteit een situatie ‘verwiskundigen’. Hierbij treedt verarming op, informatie gaat
verloren.
BV: rekenen met bananen, info dat banaan geel en krom is, gaat verloren.
De relatie met de realiteit is nodig om een probleem juist op te lossen.
BV: er zijn 3,83 bussen nodig, kan niet, kind moet weten dat dit er dan 4 zijn.
Door de leefwereld van het kind te betrekken, verhoogt de motivatie.
Voordelen realiteit in wiskunde:
▪ Probleem analyseren door situaties naar wiskundeproblemen om te zetten
▪ Praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde inzien
▪ Inzicht in een wiskundig begrip
▪ Betekenisvolle situaties bij verwerking als bij evaluatie
▪ In oriëntatie een probleem stellen en in de afronding er op terugkomen is interessant
2. CONCREET – SCHEMATISCH – ABSTRACT (CSA-MODEL)
DIDACTISCH PRINCIPE: AANSCHOUWELIJKHEIDSPRINCIPE
Mentaal doorloop je alle niveaus van het concrete naar het abstracte en dat is een persoonlijk
proces.
1
,Concrete fase: Voorbeelden & materialen
Schematische fase: Schema’s (verwijzing naar concreet), eerst MAB dan getallen
→ Getallen in schema = schematische ondersteuning bij abstract getal
→ MAB = Multibase Arithmetic Blocks (pas vanaf 2de lj)
Abstracte fase: Geen hulpmiddelen (symbolen, getallen, tekens) = lln weten betekenis
BV: 5 tulpen -> 5 tulpen tekenen -> 5 tulpen voorstellen als 5 bolletjes -> symbool 5
CONCRETE FASE
Concreet = alle tastbare voorwerpen (materialen). Zoveel mogelijk zintuigen.
→ Concreet ongestructureerd en/of gestructureerd materiaal.
Materiaal bestaat uit natura
Gebruik verschillende materialen en voorbeelden zodat leerlingen door hebben dat je bepaalde
zaken in meer situaties kan toepassen. BV: werk met eieren, legoblokjes….
Materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid
Concrete voorstellingen evolueren naar gestructureerde voorstellingen. 1 bol staat bv voor 1 bloem.
Je benadrukt het hoeveelheidsaspect en niet het uitzicht van het voorwerp. M.a.w. je verwiskundigt
de situatie.
Het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal
= speciaal ontworpen om inzicht te verwerven in een specifieke leerinhoud.
MAB-materiaal is ‘geleed’, wil zeggen dat staaf (tiental) , plak (honderdtal) en de kubus (duizendtal)
de verdeling in eenheden duidelijk zichtbaar is.
→ Verhoudingen tussen aantallen: een staafje is 10x zo groot als een blokje, een plak is 100x zo
groot als een blokje.
SCHEMATISCHE FASE
Werkelijkheid voorstellen door tekeningen, schema’s en stappenplannen die het denkproces en
inzicht ondersteunen.
Mogelijke opbouw: Afbeelding werkelijkheid – afbeelding ‘in plaats van’ werkelijkheid – afbeelding
gestructureerd materiaal (getekend MAB, getalkaarten)
Schematische voorstellingen:
▪ Getallenlijn / getallenas
▪ Tabellen / schema’s
▪ Positietabel
▪ Vierhoek
2
,HET HONDERDVELD
Positief:
▪ Kardinale aspect = hoeveelheidsaspect (weten wat honderd is)
▪ Rangorde, ordinaal (weten dat die getallen elkaar altijd opvolgen,
opeenvolging getallen)
Negatief:
Hoe groter de hoeveelheid, hoe lager het getal in het honderdveld staat
(tegennatuurlijk)
▪ Nul word niet afgebeeld, eigenlijk boven de 10 moeten, maar is raar dan omdat de 0 dan
dichter bij de 10 staat dan bij de 1
▪ Producten van maaltafels in honderdveld kleuren zorgt niet dat lineaire structuur van tellen
met sprongen herkend wordt. Lukt enkel bij maaltafel 2,5 en 10
▪ De sprong van 1 naar 2 lijkt hetzelfde als de sprong van 2 naar 11
▪ Ze gaan tellend rekenen. (niet goed)
STARTFOUT: wanneer lln rekenen in een honderdveld: bv 100-3 = 98 dit komt omdat lln beginnen
tellen bij 100. ZO:
Het honderdveld is slechts een middel om de structuur, de opbouw in getallen te ontdekken met
nadruk op de verticale en horizontale rangorde. De bedoeling van een honderdveld is getal inzicht
tot 100.
ABSTRACTE FASE
Abstract werken = Zonder concreet materiaal en schema
HET TRIPLE CODE MODEL
Deze 3 fases komen aanbod bij hetzelfde aanleermoment
Principes hierin:
✓ Correcte wiskundige verwoording (woord)
✓ C-S = aantal, A = woord
✓ Handelingsniveau: materieel, perceptueel (aantal),
mentaal (symbool)
3
, Model geldt ook voor:
▪ Getalbegrip: 25 als getal (symbool) vijventwintig (woord) en 25 bv blokjes
(aantal/hoeveelheid)
▪ Breuken: ¼ als symbool, 1 van de 4 gelijke delen of 1 vierde (woord) ¼ van taart aanduiden
(aantal)
Lln die het moeilijk hebben in abstracte fase kunnen zo teruggrijpen naar schematische fase. Kale
bewerking op abstract niveau die ingekleed is, is een goeie oefening. Zo zetten lln kennis flexibel in.
AANDACHTSPUNTEN
1. Je kan nagaan of een kind alle denkniveaus beheerst door het kind hardop zijn denkproces te
laten verwoorden. Indien hij het niet goed kan uitleggen vraag je om het te tekenen of
leggen, zo merk je op welk niveau de leerling nog problemen heeft.
→ Dit proces van differentiëren en remediëren is een belangrijk aandachtspunt voor de
leerkracht!
2. Niet alle materialen die je kan vastnemen zijn concreet. een kaartje met symbool H er op, is
een abstracte voorstelling voor 100.. Als je kaarten dan ordent: H-T-E dan is het een
schematische voorstelling.
3. Een abacus is eigenlijk een gematerialiseerde abstracte voorstelling. Je moet inzicht hebben
in positiesysteem en de juiste waarde aan de kralen kunnen hechten. Dit is soms een
probleem bij gebruik abacus.
4. Voor leerlingen is het van belang dat zij weten hoe de opbouw van de
materiaalkeuze in elkaar zit. Remediëringsmiddelen inschakelen kan
door een tekening/schets bij een oefening te maken. Onthoud dat
een voorgaand niveau zeker niet minderwaardig is.
! Aanbreng nieuwe leerinhouden: concreet -> schematisch -> abstract
Remediëren: abstract -> schematisch -> concreet
3. HANDELINGSNIVEAUS VAN GALPERIN
DIDACTISCH PRINCIPE: GELEIDELIJKHEIDSPRINCIPE
Het is belangrijk dat leerlingen zelf handelen bij het inzichtelijk verwerven vn een begrip. Mentale
handelingen stapsgewijs.
4 handelingsniveaus: Het is belangrijk dat je bij elke stap verwoord.
MATERIEEL HANDELEN
Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden wat ze doen. (doen, tekenen, spreken)
4
