Hoofdstuk 8
Basisbegrippen kansberekening
Het belang van kansberekening
Kansberekening helpt ons de probabilistisch ingestelde wereld te begrijpen. We leven in een samenleving waarin
risico’s en onzekerheden centraal staan (bv. verzekeringsmaatschappijen), waardoor het belangrijk is om in
kansen te denken.
Vanuit de sociale wetenschappen gebruiken we kansberekening om uitspraken te doen over een populatie op
basis van een steekproef. We trekken dus conclusies onder onzekerheid.
Daarnaast speelt het denken in kansen ook een rol bij kansspelen: inzicht in waarschijnlijkheid bepaalt je
winstkansen.
Van beschrijvende naar inferentiële statistiek: de opzet van de cursus in het 2 e semester
Inferentiële statistiek: op basis van steekproefgegevens uitspraken doen over de populatie.
Basisbegrippen kansberekening
Stochastisch proces Een stochastisch proces is een proces waarvan de uitkomst onzeker is. Een
synoniem hiervoor is ‘kansexperiment’.
Deterministisch proces Een deterministisch proces is een proces waarvan de uitkomst vastligt. Met
andere woorden: de uitkomst is dan zeker.
Toevalsgebeuren Een toevalsgebeuren (gebeurtenis) is een specifieke (groep van) uitkomst(en)
van een stochastisch proces.
Elementair Een elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst – vb. Toevalsgebeuren A
toevalsgebeuren (‘het gooien van een 1 met een eerlijke dobbelsteen’) = {1}
Samengesteld Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeuren toevalsgebeuren. Er zijn meerdere uitkomsten mogelijk, maar binnen één
uitkomstenruimte – vb. Gebeurtenis B (‘het gooien van een even getal met een
eerlijke dobbelsteen’) = {2, 4, 6}
Uitkomstenruime S Uitkomstenruimte S (‘sample space’) is de verzameling van alle mogelijke
elementaire toevalsgebeuren – vb. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} of S={k, m}
Symbolen uit de verzamelingenleer
Een verzameling is een geheel van objecten, die aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen om tot de
verzameling te behoren.
Notatie: A = {s, t, a, i, e, k}
,→ Dit is een voorbeeld van verzamelingenleer omdat we de verschillende letters van het woord statistiek zonder
volgorde en zonder herhalingen voorstellen als één verzameling: A = {s, t, a, i, e, k}.
De unie van twee verzamelingen A Voorbeeld: A = {1, 2} en B =
en B bestaat uit alle elementen die {oneven}.
in A of B zitten.
A∪B=?
De elementen mogen in A zitten, ze
mogen in B zitten, of in A en B Antwoord: A ∪ B = {1, 2, oneven}
Notatie: A ∪ B tegelijkertijd.
De doorsnede van twee Voorbeeld: A = {1, 2} en B =
verzamelingen A en B bestaat uit {oneven}.
alle elementen die in A en B zitten.
A∩ B=?
Notatie: A ∩ B Antwoord: A ∩ B = {1}
A is een deelverzameling van B Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {1, 2, 3,
wanneer ze een deel van de 4, 5, 6}
elementen van B bevat.
Notatie: A ⊂ B
Disjuncte verzamelingen zijn Voorbeeld: A = {1} en B = {2, 4, 6}
verzamelingen die geen
gemeenschappelijke elementen
bevatten.
Noatatie: A ∩ B = ∅ Er is geen doorsnede (geen
overlapping).
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle Voorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B
elementen van A die niet in B zitten. = {2, 4, 6}
Notatie: A \ B A\B=?
Antwoord: A \ B = {1, 3, 5}
Basisbegrippen kansberekening
• Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de uitkomstenruimte S
• De elementaire toevalsgebeuren in uitkomstenruimte S zijn disjunct: ze overlappen niet
• Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens (alle mogelijke
uitkomsten)
Het complement van Voorbeeld:
toevalsgebeuren A omvat alle
elementaire toevalsgebeurens in de Bij een eerlijke dobbelsteen is de
uitkomstenruimte S die niet gelijk uitkomstenruimte S = {1,2,3,4,5,6}.
zijn aan A
Als A = {1} (een 1 gooien), dan is
het complement A̅ alles wat geen 1
̅= S \ A
Notatie: Ac of 𝐴 is:
A̅ = {2,3,4,5,6}.
, De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van uitkomstenruimte S.
Voorbeeld: S = {1, 2, 3}
Hoeveel deelverzamelingen zijn er mogelijk?
• Met 0 elementen: ∅
• Met 1 element: {1}, {2}, {3}
• Met 2 elementen:{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}
• Met 3 elementen: {1, 2, 3}
Dus: M(S) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} → Er zijn hier 8 deelverzamelingen.
Algemene regel: Als een verzameling S (de uitkomstenruimte) n elementen heeft, dan noteer je dat als #S = n
(#S = het kardinaalgetal = het aantal elementen van S).
Bij het vormen van een deelverzameling heb je voor elk element 2 keuzes:
• Je neemt het element op
• Je neemt het element niet op
Omdat je die keuze maakt voor alle n elementen, krijg je: 2 × 2 × … × 2 (n keer) = 2ⁿ
Besluit: Als #S = n, dan heeft de machtsverzameling 2ⁿ deelverzamelingen.
Kansdefinitie
Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een getal tussen 0 en 1.
Waarvoor staat P? → P is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert.
Er zijn drie verschillende soorten kansdefinities:
1. Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
• Vb: ‘de kans om de lotto te winnen is erg klein’
• Vaak gebaseerd op ervaring, erg vage definitie
2. Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
• Vb: ‘de kans om 2 te gooien bij een eerlijke dobbelsteen’
• Dobbelsteen heel vaak opwerpen (n → oneindig)
𝑓 𝑓𝑖
• Geregeld 𝑛𝑖 berekenen (= benadering voor kans) en dan kijken waar de waarden 𝑛
naartoe gaan als
n toeneemt → de ‘limietwaarde’ is de gezochte kans (kans = relatieve frequentie in the long run)
𝑓𝑖
• 𝑃 (𝐴) = lim
𝑛→∞ 𝑛
• Besluit: als je een experiment heel erg vaak uitvoert zal de limiet dicht liggen bij de gezochte kans!
Voorbeeld: Bij het gooien met een eerlijke dobbelsteen en tellen hoe vaak je een 2
gooit, zijn de resultaten bij weinig worpen erg onvoorspelbaar.
Maar naarmate het aantal worpen groot wordt (richting oneindig), zal de relatieve
𝑓
frequentie 𝑛𝑖 steeds dichter bij de echte kans komen te liggen.
Dit is de wet van de grote getallen.
Let op: je mag geen conclusies trekken op basis van een klein aantal observaties
(short runs).
, 3. Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
# A # gunstige
P( A) = =
# S # mogelijke
• Vb: de kans om 2 te gooien bij een eerlijke dobbelsteen
• # gunstige uitkomsten = 1, # mogelijke uitkomsten = 6
• P({2}) = 1/6
Opmerking: Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is. Je kan de formule dus enkel
toepassen bij een eerlijke dobbelsteen.
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s:
1. 0 ≤ P(A) ≤1
2. P(S) = 1
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), geldt dat P (A U B) = P(A) + P(B) → Als A en B disjuncte
(niet-overlappende) gebeurtenissen zijn (dus ze kunnen niet tegelijk voorkomen) dan is de kans dat A of
B gebeurt gelijk aan de som van hun afzonderlijke kansen
Kansdefinitie: voorbeeld
1. Wat is de kans om minstens 5 te gooien met een eerlijke
dobbelsteen?
P = 2/6 = 0,3
2. Wat is de kans om 12 te gooien als som van het aantal ogen
bij een worp met 2 dobbelstenen?
P = 1/6 * 1/6 = 1/36 = 0,36
Want je moet twee keer een 6 gooien: je moet een 6 gooien en je
moet nog een 6 gooien → dus 1/6 * 1/6 (productregel)
Rekenregels kansrekening (Zie slide 23 – ppt les 1: kruistabel met gegevens)
1. Complementenregel
Omslachtige manier:
P(niet stemmen op VLD) = P(stemmen op CVP) +
P(stemmen op SP) + … + (Stemmen Blanco)
Snelle ‘slimmere’ manier:
̅ )= 1 - P(A)
Complementregel: P(𝑨
P(niet stemmen op VLD) = 1 – P(stemmen op VLD)
2. Somregel
De cruciale vraag bij de somregel is of de gebeurtenissen disjunct zijn.
• Somregel als A en B disjunct zijn: P (A U B) = P(A) + P(B)
Voorbeeld: Wat is de kans dat iemand op Vlaams Blok of Agalev zal stemmen?
Stel A = Vlaams Blok-kiezer
Stel B = Agalev-kiezer
12 + 88 100
P(A) + P(B) = 250
= 250 = 0,4
Basisbegrippen kansberekening
Het belang van kansberekening
Kansberekening helpt ons de probabilistisch ingestelde wereld te begrijpen. We leven in een samenleving waarin
risico’s en onzekerheden centraal staan (bv. verzekeringsmaatschappijen), waardoor het belangrijk is om in
kansen te denken.
Vanuit de sociale wetenschappen gebruiken we kansberekening om uitspraken te doen over een populatie op
basis van een steekproef. We trekken dus conclusies onder onzekerheid.
Daarnaast speelt het denken in kansen ook een rol bij kansspelen: inzicht in waarschijnlijkheid bepaalt je
winstkansen.
Van beschrijvende naar inferentiële statistiek: de opzet van de cursus in het 2 e semester
Inferentiële statistiek: op basis van steekproefgegevens uitspraken doen over de populatie.
Basisbegrippen kansberekening
Stochastisch proces Een stochastisch proces is een proces waarvan de uitkomst onzeker is. Een
synoniem hiervoor is ‘kansexperiment’.
Deterministisch proces Een deterministisch proces is een proces waarvan de uitkomst vastligt. Met
andere woorden: de uitkomst is dan zeker.
Toevalsgebeuren Een toevalsgebeuren (gebeurtenis) is een specifieke (groep van) uitkomst(en)
van een stochastisch proces.
Elementair Een elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst – vb. Toevalsgebeuren A
toevalsgebeuren (‘het gooien van een 1 met een eerlijke dobbelsteen’) = {1}
Samengesteld Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeuren toevalsgebeuren. Er zijn meerdere uitkomsten mogelijk, maar binnen één
uitkomstenruimte – vb. Gebeurtenis B (‘het gooien van een even getal met een
eerlijke dobbelsteen’) = {2, 4, 6}
Uitkomstenruime S Uitkomstenruimte S (‘sample space’) is de verzameling van alle mogelijke
elementaire toevalsgebeuren – vb. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} of S={k, m}
Symbolen uit de verzamelingenleer
Een verzameling is een geheel van objecten, die aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen om tot de
verzameling te behoren.
Notatie: A = {s, t, a, i, e, k}
,→ Dit is een voorbeeld van verzamelingenleer omdat we de verschillende letters van het woord statistiek zonder
volgorde en zonder herhalingen voorstellen als één verzameling: A = {s, t, a, i, e, k}.
De unie van twee verzamelingen A Voorbeeld: A = {1, 2} en B =
en B bestaat uit alle elementen die {oneven}.
in A of B zitten.
A∪B=?
De elementen mogen in A zitten, ze
mogen in B zitten, of in A en B Antwoord: A ∪ B = {1, 2, oneven}
Notatie: A ∪ B tegelijkertijd.
De doorsnede van twee Voorbeeld: A = {1, 2} en B =
verzamelingen A en B bestaat uit {oneven}.
alle elementen die in A en B zitten.
A∩ B=?
Notatie: A ∩ B Antwoord: A ∩ B = {1}
A is een deelverzameling van B Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {1, 2, 3,
wanneer ze een deel van de 4, 5, 6}
elementen van B bevat.
Notatie: A ⊂ B
Disjuncte verzamelingen zijn Voorbeeld: A = {1} en B = {2, 4, 6}
verzamelingen die geen
gemeenschappelijke elementen
bevatten.
Noatatie: A ∩ B = ∅ Er is geen doorsnede (geen
overlapping).
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle Voorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B
elementen van A die niet in B zitten. = {2, 4, 6}
Notatie: A \ B A\B=?
Antwoord: A \ B = {1, 3, 5}
Basisbegrippen kansberekening
• Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de uitkomstenruimte S
• De elementaire toevalsgebeuren in uitkomstenruimte S zijn disjunct: ze overlappen niet
• Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens (alle mogelijke
uitkomsten)
Het complement van Voorbeeld:
toevalsgebeuren A omvat alle
elementaire toevalsgebeurens in de Bij een eerlijke dobbelsteen is de
uitkomstenruimte S die niet gelijk uitkomstenruimte S = {1,2,3,4,5,6}.
zijn aan A
Als A = {1} (een 1 gooien), dan is
het complement A̅ alles wat geen 1
̅= S \ A
Notatie: Ac of 𝐴 is:
A̅ = {2,3,4,5,6}.
, De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van uitkomstenruimte S.
Voorbeeld: S = {1, 2, 3}
Hoeveel deelverzamelingen zijn er mogelijk?
• Met 0 elementen: ∅
• Met 1 element: {1}, {2}, {3}
• Met 2 elementen:{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}
• Met 3 elementen: {1, 2, 3}
Dus: M(S) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} → Er zijn hier 8 deelverzamelingen.
Algemene regel: Als een verzameling S (de uitkomstenruimte) n elementen heeft, dan noteer je dat als #S = n
(#S = het kardinaalgetal = het aantal elementen van S).
Bij het vormen van een deelverzameling heb je voor elk element 2 keuzes:
• Je neemt het element op
• Je neemt het element niet op
Omdat je die keuze maakt voor alle n elementen, krijg je: 2 × 2 × … × 2 (n keer) = 2ⁿ
Besluit: Als #S = n, dan heeft de machtsverzameling 2ⁿ deelverzamelingen.
Kansdefinitie
Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een getal tussen 0 en 1.
Waarvoor staat P? → P is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert.
Er zijn drie verschillende soorten kansdefinities:
1. Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
• Vb: ‘de kans om de lotto te winnen is erg klein’
• Vaak gebaseerd op ervaring, erg vage definitie
2. Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
• Vb: ‘de kans om 2 te gooien bij een eerlijke dobbelsteen’
• Dobbelsteen heel vaak opwerpen (n → oneindig)
𝑓 𝑓𝑖
• Geregeld 𝑛𝑖 berekenen (= benadering voor kans) en dan kijken waar de waarden 𝑛
naartoe gaan als
n toeneemt → de ‘limietwaarde’ is de gezochte kans (kans = relatieve frequentie in the long run)
𝑓𝑖
• 𝑃 (𝐴) = lim
𝑛→∞ 𝑛
• Besluit: als je een experiment heel erg vaak uitvoert zal de limiet dicht liggen bij de gezochte kans!
Voorbeeld: Bij het gooien met een eerlijke dobbelsteen en tellen hoe vaak je een 2
gooit, zijn de resultaten bij weinig worpen erg onvoorspelbaar.
Maar naarmate het aantal worpen groot wordt (richting oneindig), zal de relatieve
𝑓
frequentie 𝑛𝑖 steeds dichter bij de echte kans komen te liggen.
Dit is de wet van de grote getallen.
Let op: je mag geen conclusies trekken op basis van een klein aantal observaties
(short runs).
, 3. Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
# A # gunstige
P( A) = =
# S # mogelijke
• Vb: de kans om 2 te gooien bij een eerlijke dobbelsteen
• # gunstige uitkomsten = 1, # mogelijke uitkomsten = 6
• P({2}) = 1/6
Opmerking: Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is. Je kan de formule dus enkel
toepassen bij een eerlijke dobbelsteen.
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s:
1. 0 ≤ P(A) ≤1
2. P(S) = 1
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), geldt dat P (A U B) = P(A) + P(B) → Als A en B disjuncte
(niet-overlappende) gebeurtenissen zijn (dus ze kunnen niet tegelijk voorkomen) dan is de kans dat A of
B gebeurt gelijk aan de som van hun afzonderlijke kansen
Kansdefinitie: voorbeeld
1. Wat is de kans om minstens 5 te gooien met een eerlijke
dobbelsteen?
P = 2/6 = 0,3
2. Wat is de kans om 12 te gooien als som van het aantal ogen
bij een worp met 2 dobbelstenen?
P = 1/6 * 1/6 = 1/36 = 0,36
Want je moet twee keer een 6 gooien: je moet een 6 gooien en je
moet nog een 6 gooien → dus 1/6 * 1/6 (productregel)
Rekenregels kansrekening (Zie slide 23 – ppt les 1: kruistabel met gegevens)
1. Complementenregel
Omslachtige manier:
P(niet stemmen op VLD) = P(stemmen op CVP) +
P(stemmen op SP) + … + (Stemmen Blanco)
Snelle ‘slimmere’ manier:
̅ )= 1 - P(A)
Complementregel: P(𝑨
P(niet stemmen op VLD) = 1 – P(stemmen op VLD)
2. Somregel
De cruciale vraag bij de somregel is of de gebeurtenissen disjunct zijn.
• Somregel als A en B disjunct zijn: P (A U B) = P(A) + P(B)
Voorbeeld: Wat is de kans dat iemand op Vlaams Blok of Agalev zal stemmen?
Stel A = Vlaams Blok-kiezer
Stel B = Agalev-kiezer
12 + 88 100
P(A) + P(B) = 250
= 250 = 0,4
