Didactiek wiskunde 2
Pagina 1 van 63
,Probleemoplossend denken en vraagstukken
1 STAPPEN IN HET VAARDIG OPLOSSEN VAN WISKUNDIGE PROBLEMEN
1.1 HET STAPPENPLAN
Als we een wiskundig probleem of vraagstuk wiskundig benaderen, dan moeten we volgende
stappen uitvoeren:
- Stap 1: analyseren van de situatie
- Stap 2: kiezen of ontwikkelen van een wiskundig model
- Stap 3: toepassen van wiskundige technieken
- Stap 4: controleren en interpreteren van de resultaten
Bij de eerste en vierde stap gaan we van de realiteit naar de wiskunde en omgekeerd.
Bij de tweede en derde stap verwerven we inzicht in het wiskundig systeem en leren we
hiermee vaardig omgaan.
1.1.1 STAP 1: ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
We stellen ons de vraag: ‘Wat is het probleem?’.
De leerling krijgt een mentaal beeld van het probleem. Het kan helpen om het probleem te
laten uitleggen aan elkaar, tekenen, relatie tussen gegevens te zoeken, …
Laat de leerling de vraag eerst aanduiden, dan weet je welke gegevens gezocht worden.
Enkele vragen die kunnen helpen:
Welke gegevens zijn er?
Zijn er gegevens te kort?
Zijn er gegevens te veel?
1.1.2 STAP 2: EEN PASSEND WISKUNDIG MODEL OPSTELLEN
In deze stap gaan de leerlingen na welke methode ze zouden kunnen opvolgen om het
probleem op te lossen.
Heuristieken spelen een grote rol. Leerlingen kunnen zich afvragen of ze al eerder een
dergelijk probleem hebben opgelost, en hoe ze dat dan gedaan hebben.
Enkele vragen die kunnen helpen:
Welk wiskundig model kan ik gebruiken?
Welke bewerkingen zal ik moeten uitvoeren?
Wat doe ik eerst? En daarna?
1.1.3 STAP 3: HET OPLOSSINGSPLAN UITVOEREN
Het oplossingsplan wordt uitgevoerd.
Er moet ook nog beslist worden hoe het rekenwerk wordt gedaan:
Tellen
Cijferen
Hoofdrekenen
Schatten
Zakrekenmachine
1.1.4 STAP 4: ANTWOORD FORMULEREN + CONTROLEREN
Pagina 2 van 63
,De uitkomst van de uitgevoerde rekenoperaties worden geïnterpreteerd door ze terug te
plaatsen in de oorspronkelijke probleemsituatie.
In deze stap wordt een antwoordzin gevormd.
We kijken ons antwoord na:
Heb ik het oplossingsplan goed doorlopen?
Heb ik geen rekenfout gemaakt?
Kan mijn antwoord wel? Is het realistisch?
1.2 HET STAPPENPLAN GESCHEMATISEERD AANBRENGEN
Het stappenplan wordt meestal
geschematiseerd aangebracht. bv.
tekeningetjes.
De beertjes van Meichenbaum vertalen
letterlijk de vier stappen uit het model.
2 HEURISTIEKEN OF ZOEKSTRATEGIEËN
2.1 WAT ZIJN HEURISTIEKEN?
Heuristieken of zoekstrategieën zijn oplossingsstrategieën.
- Algoritmen: geeft een vast stappenplan om een probleem aan te pakken. Als je
nauwgezet de stappen volgt, kom je gegarandeerd tot een oplossing bv.
cijferalgoritmes)
- Trial and error: je gaat eerder ‘in het wilde weg’ proberen, op basis van intuïtie. Je vindt
soms de oplossing door samenloop van intuïtie en puur toeval.
- Heuristieken: zijn gerichte zoekstrategieën die niet zeker tot een oplossing leiden, maar
een systematiek inhouden en meer kracht geven dan trial and error
Heuristieken geven dus een mogelijke oplossingsweg aan, zonder echter een garantie voor
succes in te houden.
2.2 HEURISTIEKEN IN HET STAPPENPLAN
De algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundige problemen bestaat uit 4
stappen.
heuristieken of zoekstrategieën worden gebruikt bij de eerste en tweede stap.
1STE STAP: HET PROBLEEM BEGRIJPEN
De leerling vormt een goede voorstelling of representatie van het probleem waarmee hij/zij
geconfronteerd wordt.
2 DE STAP: HET OPLOSSINGSPLAN OPSTELLEN
De leerling vraagt zich af hoe het probleem het best kan worden aangepakt. Er wordt een
oplossingsplan opgesteld. De leerling gaat ook na of het probleem lijkt op een eerder opgelost
vraagstuk:
Bij typevraagstukken kan een gekende methode of schema toegepast worden.
Bij rijke problemen is het minder vanzelfsprekend en zijn andere heuristieken nodig
3 DE STAP: HET PLAN UITVOEREN
De leerling voert de gekozen bewerking stap voor stap uit en werkt het oplossingsplan
systematisch af.
Pagina 3 van 63
, 4 DE STAP: TERUGBLIKKEN EN CONTROLEREN
De leerling controleert de oplossing:
Klopt het resultaat?
Is het antwoord logisch in de context van het probleem?
Kan het ook op een andere manier opgelost worden?
2.3 HEURISTIEKEN DIE HELPEN BIJ HET ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
Bij het oplossen van wiskundige vraagstukken ervaren leerlingen vaak moeilijkheden, zoals
“Hoe begin ik hieraan?”. Deze onzekerheid vormt een belangrijke drempel.
Heuristieken kunnen helpen om deze angst gedeeltelijk te verminderen. Ze bieden geen
garantie op een juiste oplossing, maar ondersteunen het denkproces om een eerste stap te
zetten. Door heuristieken te gebruiken, kunnen leerlingen vooruitgang boeken in hun
probleemoplossend vermogen.
Hieronder enkele heuristieken die helpen bij het analyseren van het probleem.
2.3.1 MAAK EEN TEKENING VAN DE PROBLEEMSITUATIE
De leerling probeert een aanschouwelijke voorstelling op te bouwen van de probleemsituatie.
Dit kan via een schets of een tekening.
Soms kan er ipv een tekening te maken, concreet materiaal worden gebruikt.
2.3.2 HET PROBLEEM HERFORMULEREN EN/OF DRAMATISEREN
De leerlingen kunnen het probleem met hun eigen woorden vertellen. Het probleem met
eigen woorden vertellen, kan ook een hulpmiddel zijn om de betrokkenheid en de
concentratie te verhogen.
Het probleem naspelen kan ook.
2.3.3 ONDERSCHEID NOODZAKELIJKE EN OVERBODIGE GEGEVENS
Vooraleer gegevens aan te duiden in het vraagstuk, is het belangrijk dat de vraag eerst
aandachtig wordt bekeken. Duid eerst de vraag aan. We kunnen namelijk nog niet weten
welke gegevens we nodig hebben als we niet weten wat de vraag is.
2.3.4 GEBRUIK JE ERVARINGSKENNIS OF ZOEK ONTBREKENDE INFO
Niet alle nodige gegevens worden altijd expliciet gegeven. Daarom is het handig om
ervaringskennis over de context te gebruiken om het probleem beter te begrijpen en aan te
vullen.
Als bepaalde informatie ontbreekt en je weet die niet, moet je deze gericht opzoeken.
3 CONTEXTRIJKE OPGAVEN
3.1 ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE VRAAGSTUKKEN
Enkelvoudige vraagstukken Samengestelde vraagstukken
- Slechts 1 bewerking uitvoeren - Meerdere bewerkingen nodig
- Gemakkelijker, lagere leerjaren - Moeilijker, hogere leerjaren
3.2 BEWERKINGEN HERKENNEN IN EEN CONTEXT
Leerlingen hebben vaak moeite met vraagstukken, vooral door de formulering, niet door de
berekening zelf.
Vraagstukken kunnen ingedeeld worden volgens de basisbewerkingen:
Pagina 4 van 63
Pagina 1 van 63
,Probleemoplossend denken en vraagstukken
1 STAPPEN IN HET VAARDIG OPLOSSEN VAN WISKUNDIGE PROBLEMEN
1.1 HET STAPPENPLAN
Als we een wiskundig probleem of vraagstuk wiskundig benaderen, dan moeten we volgende
stappen uitvoeren:
- Stap 1: analyseren van de situatie
- Stap 2: kiezen of ontwikkelen van een wiskundig model
- Stap 3: toepassen van wiskundige technieken
- Stap 4: controleren en interpreteren van de resultaten
Bij de eerste en vierde stap gaan we van de realiteit naar de wiskunde en omgekeerd.
Bij de tweede en derde stap verwerven we inzicht in het wiskundig systeem en leren we
hiermee vaardig omgaan.
1.1.1 STAP 1: ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
We stellen ons de vraag: ‘Wat is het probleem?’.
De leerling krijgt een mentaal beeld van het probleem. Het kan helpen om het probleem te
laten uitleggen aan elkaar, tekenen, relatie tussen gegevens te zoeken, …
Laat de leerling de vraag eerst aanduiden, dan weet je welke gegevens gezocht worden.
Enkele vragen die kunnen helpen:
Welke gegevens zijn er?
Zijn er gegevens te kort?
Zijn er gegevens te veel?
1.1.2 STAP 2: EEN PASSEND WISKUNDIG MODEL OPSTELLEN
In deze stap gaan de leerlingen na welke methode ze zouden kunnen opvolgen om het
probleem op te lossen.
Heuristieken spelen een grote rol. Leerlingen kunnen zich afvragen of ze al eerder een
dergelijk probleem hebben opgelost, en hoe ze dat dan gedaan hebben.
Enkele vragen die kunnen helpen:
Welk wiskundig model kan ik gebruiken?
Welke bewerkingen zal ik moeten uitvoeren?
Wat doe ik eerst? En daarna?
1.1.3 STAP 3: HET OPLOSSINGSPLAN UITVOEREN
Het oplossingsplan wordt uitgevoerd.
Er moet ook nog beslist worden hoe het rekenwerk wordt gedaan:
Tellen
Cijferen
Hoofdrekenen
Schatten
Zakrekenmachine
1.1.4 STAP 4: ANTWOORD FORMULEREN + CONTROLEREN
Pagina 2 van 63
,De uitkomst van de uitgevoerde rekenoperaties worden geïnterpreteerd door ze terug te
plaatsen in de oorspronkelijke probleemsituatie.
In deze stap wordt een antwoordzin gevormd.
We kijken ons antwoord na:
Heb ik het oplossingsplan goed doorlopen?
Heb ik geen rekenfout gemaakt?
Kan mijn antwoord wel? Is het realistisch?
1.2 HET STAPPENPLAN GESCHEMATISEERD AANBRENGEN
Het stappenplan wordt meestal
geschematiseerd aangebracht. bv.
tekeningetjes.
De beertjes van Meichenbaum vertalen
letterlijk de vier stappen uit het model.
2 HEURISTIEKEN OF ZOEKSTRATEGIEËN
2.1 WAT ZIJN HEURISTIEKEN?
Heuristieken of zoekstrategieën zijn oplossingsstrategieën.
- Algoritmen: geeft een vast stappenplan om een probleem aan te pakken. Als je
nauwgezet de stappen volgt, kom je gegarandeerd tot een oplossing bv.
cijferalgoritmes)
- Trial and error: je gaat eerder ‘in het wilde weg’ proberen, op basis van intuïtie. Je vindt
soms de oplossing door samenloop van intuïtie en puur toeval.
- Heuristieken: zijn gerichte zoekstrategieën die niet zeker tot een oplossing leiden, maar
een systematiek inhouden en meer kracht geven dan trial and error
Heuristieken geven dus een mogelijke oplossingsweg aan, zonder echter een garantie voor
succes in te houden.
2.2 HEURISTIEKEN IN HET STAPPENPLAN
De algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundige problemen bestaat uit 4
stappen.
heuristieken of zoekstrategieën worden gebruikt bij de eerste en tweede stap.
1STE STAP: HET PROBLEEM BEGRIJPEN
De leerling vormt een goede voorstelling of representatie van het probleem waarmee hij/zij
geconfronteerd wordt.
2 DE STAP: HET OPLOSSINGSPLAN OPSTELLEN
De leerling vraagt zich af hoe het probleem het best kan worden aangepakt. Er wordt een
oplossingsplan opgesteld. De leerling gaat ook na of het probleem lijkt op een eerder opgelost
vraagstuk:
Bij typevraagstukken kan een gekende methode of schema toegepast worden.
Bij rijke problemen is het minder vanzelfsprekend en zijn andere heuristieken nodig
3 DE STAP: HET PLAN UITVOEREN
De leerling voert de gekozen bewerking stap voor stap uit en werkt het oplossingsplan
systematisch af.
Pagina 3 van 63
, 4 DE STAP: TERUGBLIKKEN EN CONTROLEREN
De leerling controleert de oplossing:
Klopt het resultaat?
Is het antwoord logisch in de context van het probleem?
Kan het ook op een andere manier opgelost worden?
2.3 HEURISTIEKEN DIE HELPEN BIJ HET ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
Bij het oplossen van wiskundige vraagstukken ervaren leerlingen vaak moeilijkheden, zoals
“Hoe begin ik hieraan?”. Deze onzekerheid vormt een belangrijke drempel.
Heuristieken kunnen helpen om deze angst gedeeltelijk te verminderen. Ze bieden geen
garantie op een juiste oplossing, maar ondersteunen het denkproces om een eerste stap te
zetten. Door heuristieken te gebruiken, kunnen leerlingen vooruitgang boeken in hun
probleemoplossend vermogen.
Hieronder enkele heuristieken die helpen bij het analyseren van het probleem.
2.3.1 MAAK EEN TEKENING VAN DE PROBLEEMSITUATIE
De leerling probeert een aanschouwelijke voorstelling op te bouwen van de probleemsituatie.
Dit kan via een schets of een tekening.
Soms kan er ipv een tekening te maken, concreet materiaal worden gebruikt.
2.3.2 HET PROBLEEM HERFORMULEREN EN/OF DRAMATISEREN
De leerlingen kunnen het probleem met hun eigen woorden vertellen. Het probleem met
eigen woorden vertellen, kan ook een hulpmiddel zijn om de betrokkenheid en de
concentratie te verhogen.
Het probleem naspelen kan ook.
2.3.3 ONDERSCHEID NOODZAKELIJKE EN OVERBODIGE GEGEVENS
Vooraleer gegevens aan te duiden in het vraagstuk, is het belangrijk dat de vraag eerst
aandachtig wordt bekeken. Duid eerst de vraag aan. We kunnen namelijk nog niet weten
welke gegevens we nodig hebben als we niet weten wat de vraag is.
2.3.4 GEBRUIK JE ERVARINGSKENNIS OF ZOEK ONTBREKENDE INFO
Niet alle nodige gegevens worden altijd expliciet gegeven. Daarom is het handig om
ervaringskennis over de context te gebruiken om het probleem beter te begrijpen en aan te
vullen.
Als bepaalde informatie ontbreekt en je weet die niet, moet je deze gericht opzoeken.
3 CONTEXTRIJKE OPGAVEN
3.1 ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE VRAAGSTUKKEN
Enkelvoudige vraagstukken Samengestelde vraagstukken
- Slechts 1 bewerking uitvoeren - Meerdere bewerkingen nodig
- Gemakkelijker, lagere leerjaren - Moeilijker, hogere leerjaren
3.2 BEWERKINGEN HERKENNEN IN EEN CONTEXT
Leerlingen hebben vaak moeite met vraagstukken, vooral door de formulering, niet door de
berekening zelf.
Vraagstukken kunnen ingedeeld worden volgens de basisbewerkingen:
Pagina 4 van 63
