SAMENVATTING STATISTIEK II
Prof. dr. L. Vanhaverbeke
SARAH VDL
TEW
, Statistiek Hoofdstuk 9 : steekproevenverdelingen en
betrouwbaarheidsintervallen voor fracties
1. Verdeling van steekproeffracties
Over populaties en steekproeven
• Populatie
• Steekproef
• Parameter: fractie p
• Statistiek: fractie pˆ
Steekproevenverdeling
Om meer te weten te komen over de variabiliteit in de steekproeffractie pˆ, moeten we ons
voorstellen hoe de steekproeffractie kan variëren over alle mogelijke steekproeven.
Steekproeffractie: één enkele mogelijke steekproef uit een volledige populatie
Variabiliteit: hoe zou de steekproeffractie variëren over alle mogelijke steekproeven?
Indien 20% van de klanten hun uitgaven met een kredietkaart verhogen, zal de marketingcampagne
geslaagd zijn. In een steekproef van 1000 klanten, verhoogden 211 klanten hun uitgaven. Is dit
voldoende om de campagne te lanceren?
Op basis van deze informatie, 211/1.000 = 21,1% → dit is groter dan 20%. We kunnen niet met
zekerheid zeggen of dit genoeg is om de campagne te lanceren. Stel dat we een andere steekproef
hadden getrokken en de 211 werd 199 dan hebben we een probleem als we in de toekomst die
campagne breid lanceren.
In welke mate rekening houden met variabiliteit?
• Niet elke steekproef heeft een fractie
gelijk aan 0.2
• Steekproeffracties groter dan 0.24 en
kleiner dan 0.16 zijn zeldzaam
• Meeste steekproeffracties liggen
tussen 0.18 en 0.22
• Dit histogram toont de simulatie van
de steekproevenverdeling van p^
1
,De verdeling van de fracties over veel onafhankelijke steekproeven van de populatie noemen we de
steekproevenverdeling van de fracties.
Voor verdelingen die klokvormig zijn en gecentreerd rond de reëele fractie p, kunnen we de
steekproefgrootte n gebruiken om de standaardafwijking van de steekproevenverdeling te vinden:
Verschil tussen steekproeffracties: steekproevenfout (Niet echt een fout, misschien beter:
steekproevenvariabiliteit.)
1.1. Steekproevenverdeling voor steekproeffracties
Een steekproevenverdelingsmodel voor de steekproeffractie:
Dit zal niet gelden in alle situaties, maar wel voor de meeste situaties in de praktijk
1.2. Aannames en voorwaarden
• Aanname van onafhankelijkheid: De steekproefwaarden moeten onafhankelijk zijn van
elkaar.
• Aanname over steekproefgrootte: De steekproefgrootte n moet voldoende groot zijn.
• Voorwaarde van aselecte keuze: Indien de data komt van een experiment, moet de
toekenning van de deelnemers aan de groepen aselect gebeurd zijn. Voor een enquête heeft
men een enkelvoudige aselecte steekproef uit de populatie nodig. Indien een ander opzet
wordt gebruikt, moet men zeker zijn dat de steekproef niet vertekend is en dat de data
representatief zijn voor de populatie.
• 10% voorwaarde: Indien de steekproef niet met teruglegging wordt getrokken, moet de
steekproefgrootte n niet groter zijn dan 10% van de populatie.
• Succes/Mislukking voorwaarde: De steekproefgrootte moet groot genoeg zijn zodat zowel
het aantal successen np als het aantal mislukkingen nq verwacht worden minstens 10 te zijn.
2
, 2. Betrouwbaarheidsinterval voor een fractie
Voorbeeld:
We weten dat het steekproevenverdelingsmodel gecentreerd is rond de reële fractie p en dat de
standaardafwijking van de steekproevenverdeling gegeven is door:
We weten ook van de Centrale Limietstelling dat de vorm van de steekproevenverdeling nagenoeg
Normaal is en we pˆ kunnen gebruiken om de standaardfout te berekenen.
2.1 Normaalverdeling van de steekproeffracties
Gezien de verdeling Normaal is, kunnen we verwachten dat ongeveer 95% van alle steekproeven van
3559 U.S. volwassen een steekproeffractie zou hebben binnen twee SE’s van p.
Dus: we zijn 95% zeker dat pˆ binnen 2×(0.008) van p ligt.
2.2 95%Betrouwbaarheidsinterval van steekproeffracties
3
Prof. dr. L. Vanhaverbeke
SARAH VDL
TEW
, Statistiek Hoofdstuk 9 : steekproevenverdelingen en
betrouwbaarheidsintervallen voor fracties
1. Verdeling van steekproeffracties
Over populaties en steekproeven
• Populatie
• Steekproef
• Parameter: fractie p
• Statistiek: fractie pˆ
Steekproevenverdeling
Om meer te weten te komen over de variabiliteit in de steekproeffractie pˆ, moeten we ons
voorstellen hoe de steekproeffractie kan variëren over alle mogelijke steekproeven.
Steekproeffractie: één enkele mogelijke steekproef uit een volledige populatie
Variabiliteit: hoe zou de steekproeffractie variëren over alle mogelijke steekproeven?
Indien 20% van de klanten hun uitgaven met een kredietkaart verhogen, zal de marketingcampagne
geslaagd zijn. In een steekproef van 1000 klanten, verhoogden 211 klanten hun uitgaven. Is dit
voldoende om de campagne te lanceren?
Op basis van deze informatie, 211/1.000 = 21,1% → dit is groter dan 20%. We kunnen niet met
zekerheid zeggen of dit genoeg is om de campagne te lanceren. Stel dat we een andere steekproef
hadden getrokken en de 211 werd 199 dan hebben we een probleem als we in de toekomst die
campagne breid lanceren.
In welke mate rekening houden met variabiliteit?
• Niet elke steekproef heeft een fractie
gelijk aan 0.2
• Steekproeffracties groter dan 0.24 en
kleiner dan 0.16 zijn zeldzaam
• Meeste steekproeffracties liggen
tussen 0.18 en 0.22
• Dit histogram toont de simulatie van
de steekproevenverdeling van p^
1
,De verdeling van de fracties over veel onafhankelijke steekproeven van de populatie noemen we de
steekproevenverdeling van de fracties.
Voor verdelingen die klokvormig zijn en gecentreerd rond de reëele fractie p, kunnen we de
steekproefgrootte n gebruiken om de standaardafwijking van de steekproevenverdeling te vinden:
Verschil tussen steekproeffracties: steekproevenfout (Niet echt een fout, misschien beter:
steekproevenvariabiliteit.)
1.1. Steekproevenverdeling voor steekproeffracties
Een steekproevenverdelingsmodel voor de steekproeffractie:
Dit zal niet gelden in alle situaties, maar wel voor de meeste situaties in de praktijk
1.2. Aannames en voorwaarden
• Aanname van onafhankelijkheid: De steekproefwaarden moeten onafhankelijk zijn van
elkaar.
• Aanname over steekproefgrootte: De steekproefgrootte n moet voldoende groot zijn.
• Voorwaarde van aselecte keuze: Indien de data komt van een experiment, moet de
toekenning van de deelnemers aan de groepen aselect gebeurd zijn. Voor een enquête heeft
men een enkelvoudige aselecte steekproef uit de populatie nodig. Indien een ander opzet
wordt gebruikt, moet men zeker zijn dat de steekproef niet vertekend is en dat de data
representatief zijn voor de populatie.
• 10% voorwaarde: Indien de steekproef niet met teruglegging wordt getrokken, moet de
steekproefgrootte n niet groter zijn dan 10% van de populatie.
• Succes/Mislukking voorwaarde: De steekproefgrootte moet groot genoeg zijn zodat zowel
het aantal successen np als het aantal mislukkingen nq verwacht worden minstens 10 te zijn.
2
, 2. Betrouwbaarheidsinterval voor een fractie
Voorbeeld:
We weten dat het steekproevenverdelingsmodel gecentreerd is rond de reële fractie p en dat de
standaardafwijking van de steekproevenverdeling gegeven is door:
We weten ook van de Centrale Limietstelling dat de vorm van de steekproevenverdeling nagenoeg
Normaal is en we pˆ kunnen gebruiken om de standaardfout te berekenen.
2.1 Normaalverdeling van de steekproeffracties
Gezien de verdeling Normaal is, kunnen we verwachten dat ongeveer 95% van alle steekproeven van
3559 U.S. volwassen een steekproeffractie zou hebben binnen twee SE’s van p.
Dus: we zijn 95% zeker dat pˆ binnen 2×(0.008) van p ligt.
2.2 95%Betrouwbaarheidsinterval van steekproeffracties
3
