MAT2691 Semester 1 Assignment 2 2021

MAT2691 SEMESTER 1 ASSIGNMENT 2 2021



Question 1


𝑥3
1.1 ∫ 𝑥 4 +9 𝑑𝑥

𝑥3
𝐼=∫ 𝑑𝑥
𝑥4 + 9

𝐿𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 9

𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 4−1 + 0

𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3

𝑥3
𝐼=∫ 𝑑𝑥
𝑥4 + 9

4𝑥 3
𝐼=∫ 𝑑𝑥
4(𝑥 4 + 9)

1 4𝑥 3
𝐼= ∫ 4 𝑑𝑥
4 𝑥 +9

1 𝑓 ′ (𝑥)
𝐼= ∫ 𝑑𝑥
4 𝑓(𝑥)

1
𝐼 = 𝑙𝑛|𝑓(𝑥)| + 𝑐
4

1
𝐼 = 𝑙𝑛|𝑥 4 + 9| + 𝑐
4
𝑥
1.2 ∫ 𝑥 4 +9 𝑑𝑥

𝑥
𝐼=∫ 𝑑𝑥
𝑥4 +9

𝑥
𝐼=∫ 𝑑𝑥
(𝑥 2 )2 + 9


𝐿𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥


1 2𝑥
𝐼= ∫ 2 2 𝑑𝑥
2 (𝑥 ) + 9

, 1 𝑓 ′ (𝑥)
𝐼= ∫ 𝑑𝑥
2 (𝑓(𝑥))2 + 9

1 𝑓 ′ (𝑥)
𝐼= ∫ 𝑑𝑥
2 (𝑓(𝑥))2 + 32

1 𝑓(𝑥)
𝐼 = arcsinh ( )+𝑐
2 3

1 𝑥2
𝐼 = arcsinh ( ) + 𝑐
2 3


1.3 ∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥


𝐼 = ∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥


𝐿𝑒𝑡 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

1
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒 2𝑥
2

𝐼 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢


1 1
𝐼 = 𝑥 2 𝑒 2𝑥 − ∫ 𝑒 2𝑥 2𝑥𝑑𝑥
2 2

𝑥 2 2𝑥
𝐼= 𝑒 − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
2

𝐿𝑒𝑡 𝑢=𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒 2𝑥
2

𝑥 2 2𝑥
𝐼= 𝑒 + 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
2

𝑥 2 2𝑥 1 1
𝐼= 𝑒 + 𝑥 𝑒 2𝑥 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
2 2 2

𝑥 2 2𝑥 𝑥 2𝑥 1
𝐼= 𝑒 + 𝑒 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
2 2 2

𝑥 2 2𝑥 𝑥 2𝑥 1 1 2𝑥
𝐼= 𝑒 + 𝑒 − ( 𝑒 )+𝑐
2 2 2 2

𝑥 2 2𝑥 𝑥 2𝑥 1 2𝑥
𝐼= 𝑒 + 𝑒 − 𝑒 +𝑐
2 2 4