STATISTIEK
Deductieve statistiek
0. Inleiding
Objectieven van statistiek
1. Verzamelen van gegevens:
efficiënt antwoord vinden op vragen met een
onderzoeksplan
2. Beschrijven van gegevens = beschrijvende statistiek/ exploratieve
data-analyse gegevens controleren, ordenen, samenvatten,
grafisch voorstellen,…
3. Induceren van algemene info = inductieve statistiek
specifieke gegevens veralgemenen
Specifieke uitspraak algemene uitspraak
(steekproef) (populatie)
= INDUCTIE: niet
= DEDUCTIE: zeker,
altijd zeker (kans)
logisch
Algemene conclusie Specifieke conclusie
(populatie) (steekproef)
Onderzoekseenheden = elementen waarover de gegevens verzameld
worden Populatie = totale set van onderzoekseenheden
Steekproef = selectie van de onderzoekseenheden die je
gebruikt uit de populatie Variabelen = eigenschap van de
onderzoekseenheden dat varieert -
kwalitatief = niet numeriek (woord)
- kwalitatief = numeriek (getal)
1. Beschrijvende statistiek met 1 variabele
I.1 FREQUENTIE,PROPORTIE EN CUMULATIEVE PROPORTIE
II. Frequentiefunctie
Frequentietabel = tabel met enkel de mogelijke uitkomsten
Gewone tabel Frequentietabel
, Freque
nties:
freq (Xj) = hoeveel keer Xj
voorkomt
n = totaal aantal uitkomsten m = alle mogelijke uitkomsten
x, y, z = variabelen x, y, z, = variabelen
i = doorloopt de observaties (van j = doorloopt de mogelijke
1 tem n) uitkomsten (van 1 tem j)
som van de frequenties = n
III. Proportiefunctie
Proportie: P(Xj) = relatieve frequentie t.o.v. de totale aantal observaties
FORMULE : P(Xj) = freq(Xj) / n
0 ≤ P(Xj) ≤ 1 : (tussen 0 en 1)
som van alle proporties = 1:
Grafische voorstelling voor KWALITATIEVE variabelen
Lijndiagram: staafdiagram:
taartdiagram:
X1 X2 X3 X4
Grafische voorstelling voor KWANTITATIEVE variabelen:
Lijndiagram histogram:
Negatieve
scheefheid =
positieve
scheefheid =
Y-as begint bij 0
Hoogte =
frequentie
, Als de variabelen ver uit elkaar liggen gegroepeerde frequenties
o Ong evenveel variabelen per groep
o Niet leeg
Klassenintervallen
o Niet overlappen
Klassenmidden = gemiddelde van de uitersten van het interval
frequentiedichtheid = als je klassen van ongelijke breedte gaat gebruiken
is de frequentie = aan de opp van de balk.
FORMULE: freq / klassenbreedte
Grafische voorstelling van gegroepeerde frequenties
Stam en loofdiagram
Rug aan rug
voor meer variabelen
gelijke stam
vergelijken: conclusies maken
Bij uitzonderingen voor 100 en 1000tallen: erbij zetten!
IV. Cumulatieve proportiefunctie
Cumulatieve frequentie: cfreq (Xj) = ∑ freq (Xj)
= som van de frequenties die kleiner of gelijk zijn aan Xj
= in ‘cfreq’ van de meetmomenten was X ≤ Xj
Cumulatieve proportie: F (Xj) = P (X ≤ Xj)
= de proportie (freq / n) van alle waarden ≤ Xj
= in F % van de meetmomenten was X ≤ Xj
= de som van de proporties OF cfreq/n
Kwantielen (r-de kwantiel: (Xr)) = waarde van X waarvoor de cumulatieve
proportie ≥ r
, Als er een X-waarde is met F(Xj) = r (cumulatieve proportie komt
wel voor) gemiddelde van de kleinste X-waarde met F(Xj)
= r en de kleinste X-waarde met F(Xj) > r
Als er geen X-waarde is voor F(Xj) = r (cumulatieve proportie
komt niet voor) 1e kwantiel dat groter is waarvoor er wel
een X-waarde is (F(Xj > r)
1.2 SAMENVATTENDE MATEN
Centrale tendens:
Modus = waarde die het vaakst geobserveerd wordt, elke Xj waarvoor
de frequentie of proportie maximaal is (meerdere: modi)
niet altijd centraal
Mediaan = de waarde die zich precies in het midden bevindt als je de
waarden van klein naar groot ordent
PC50 = D5 = Q2 = Xr0,5
scheidt de laagste 50% van de observaties met
de hoogste 50% gemiddelde tussen de X-waarde voor
kwantiel 0,5 en de X-waarde van het volgende kwantiel
alternatieve
berekening (ipv met cumulatie proportietabel):
- Als n even is: middelste observatie
- Als n oneven is: gemiddelde van de 2 middelste observaties
(Rekenkundig) gemiddelde = de som van alle observaties gedeeld door
het aantal observatie
FORMULE : voor frequentie: )
voor proportie:
is gevoelig voor uitbijters = extreem grote/ kleine waardes
EIGENSCHAP: de gemiddelde afwijking van de
observaties t.o.v. het gemiddelde = 0
POST IT
BEWIJS!
,Spreiding:
Bereik
= grootste geobserveerde score (max(X)) – kleinste geobserveerde
score (min(X))
gevoelig voor uitbijters
Interkwartielbereik
= Q3 – Q1
= bevat ongeveer de middelste 50% van de observaties
minder gevoelig voor uitbijters
Variantie (S²x)
= het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijking van de
observaties t.o.v. het rekenkundig gemiddelde (standaardafwijking)²
= gemiddelde spreiding van de gegevens rond het gemiddelde
FORMULE: voor frequentie :
voor proportie:
grote variantie = gegevens liggen ver uit elkaar, ver van het
gemiddelde kleine variantie = gegevens liggen dicht bij
elkaar, dicht bij het gemiddelde
CHIASTISCHE EIGENSCHAP: (andere manier)
OF gemiddelde van de kwadraten
van je observatie min het
kwadraat van het gemiddelde
(zie bewijs)
voor frequentie:
voor proportie:
Standaarddeviatie (standaardafwijking Sx) = gemiddelde spreiding van
de gegevens rond hun gemiddelde in dezelfde eenheid!
FORMULE:
, Spreiding tussen gegevens onderling: 2 keer de variantie
FORMULE:
EIGENSCHAPPEN VAN GEMIDDELDE EN VARIANTIE:
Regel van Steiner:
Voor een willekeurig getal C geldt: de gemiddelde
gekwadrateerde afstand van C tot de observaties = de som van de
variantie (de gem. gekwadrateerde afstand van de observaties tot het
gem.) en(X - C)²
FORMULE:
Als C dan is de gem. gekwadrateerde afstand van C tot X
altijd groter dan de variantie!
hoe dichter C bij ligt hoe kleiner
Vat het centrum van de gegevens, omdat het het punt is dat het er het
dichtst bij ligt
Ongelijkheid van Tchebychev
= manier om te kijken of scores extreem zijn of niet (als je enkel het gem.
en Sx hebt)
= de proportie geobserveerde scores die zich op een afstand van min K
standaarddeviaties tot het gemiddelde bevinden is kleiner of gelijk aan
1/k²
FORMULE:
De paarse zone bevat
hoogstens proportie 1/k² van
de observaties (je weet niet aan
welke kant de gegevens liggen)
De roze zone bevat minstens
proportie 1-1/k² van de
observaties
Deductieve statistiek
0. Inleiding
Objectieven van statistiek
1. Verzamelen van gegevens:
efficiënt antwoord vinden op vragen met een
onderzoeksplan
2. Beschrijven van gegevens = beschrijvende statistiek/ exploratieve
data-analyse gegevens controleren, ordenen, samenvatten,
grafisch voorstellen,…
3. Induceren van algemene info = inductieve statistiek
specifieke gegevens veralgemenen
Specifieke uitspraak algemene uitspraak
(steekproef) (populatie)
= INDUCTIE: niet
= DEDUCTIE: zeker,
altijd zeker (kans)
logisch
Algemene conclusie Specifieke conclusie
(populatie) (steekproef)
Onderzoekseenheden = elementen waarover de gegevens verzameld
worden Populatie = totale set van onderzoekseenheden
Steekproef = selectie van de onderzoekseenheden die je
gebruikt uit de populatie Variabelen = eigenschap van de
onderzoekseenheden dat varieert -
kwalitatief = niet numeriek (woord)
- kwalitatief = numeriek (getal)
1. Beschrijvende statistiek met 1 variabele
I.1 FREQUENTIE,PROPORTIE EN CUMULATIEVE PROPORTIE
II. Frequentiefunctie
Frequentietabel = tabel met enkel de mogelijke uitkomsten
Gewone tabel Frequentietabel
, Freque
nties:
freq (Xj) = hoeveel keer Xj
voorkomt
n = totaal aantal uitkomsten m = alle mogelijke uitkomsten
x, y, z = variabelen x, y, z, = variabelen
i = doorloopt de observaties (van j = doorloopt de mogelijke
1 tem n) uitkomsten (van 1 tem j)
som van de frequenties = n
III. Proportiefunctie
Proportie: P(Xj) = relatieve frequentie t.o.v. de totale aantal observaties
FORMULE : P(Xj) = freq(Xj) / n
0 ≤ P(Xj) ≤ 1 : (tussen 0 en 1)
som van alle proporties = 1:
Grafische voorstelling voor KWALITATIEVE variabelen
Lijndiagram: staafdiagram:
taartdiagram:
X1 X2 X3 X4
Grafische voorstelling voor KWANTITATIEVE variabelen:
Lijndiagram histogram:
Negatieve
scheefheid =
positieve
scheefheid =
Y-as begint bij 0
Hoogte =
frequentie
, Als de variabelen ver uit elkaar liggen gegroepeerde frequenties
o Ong evenveel variabelen per groep
o Niet leeg
Klassenintervallen
o Niet overlappen
Klassenmidden = gemiddelde van de uitersten van het interval
frequentiedichtheid = als je klassen van ongelijke breedte gaat gebruiken
is de frequentie = aan de opp van de balk.
FORMULE: freq / klassenbreedte
Grafische voorstelling van gegroepeerde frequenties
Stam en loofdiagram
Rug aan rug
voor meer variabelen
gelijke stam
vergelijken: conclusies maken
Bij uitzonderingen voor 100 en 1000tallen: erbij zetten!
IV. Cumulatieve proportiefunctie
Cumulatieve frequentie: cfreq (Xj) = ∑ freq (Xj)
= som van de frequenties die kleiner of gelijk zijn aan Xj
= in ‘cfreq’ van de meetmomenten was X ≤ Xj
Cumulatieve proportie: F (Xj) = P (X ≤ Xj)
= de proportie (freq / n) van alle waarden ≤ Xj
= in F % van de meetmomenten was X ≤ Xj
= de som van de proporties OF cfreq/n
Kwantielen (r-de kwantiel: (Xr)) = waarde van X waarvoor de cumulatieve
proportie ≥ r
, Als er een X-waarde is met F(Xj) = r (cumulatieve proportie komt
wel voor) gemiddelde van de kleinste X-waarde met F(Xj)
= r en de kleinste X-waarde met F(Xj) > r
Als er geen X-waarde is voor F(Xj) = r (cumulatieve proportie
komt niet voor) 1e kwantiel dat groter is waarvoor er wel
een X-waarde is (F(Xj > r)
1.2 SAMENVATTENDE MATEN
Centrale tendens:
Modus = waarde die het vaakst geobserveerd wordt, elke Xj waarvoor
de frequentie of proportie maximaal is (meerdere: modi)
niet altijd centraal
Mediaan = de waarde die zich precies in het midden bevindt als je de
waarden van klein naar groot ordent
PC50 = D5 = Q2 = Xr0,5
scheidt de laagste 50% van de observaties met
de hoogste 50% gemiddelde tussen de X-waarde voor
kwantiel 0,5 en de X-waarde van het volgende kwantiel
alternatieve
berekening (ipv met cumulatie proportietabel):
- Als n even is: middelste observatie
- Als n oneven is: gemiddelde van de 2 middelste observaties
(Rekenkundig) gemiddelde = de som van alle observaties gedeeld door
het aantal observatie
FORMULE : voor frequentie: )
voor proportie:
is gevoelig voor uitbijters = extreem grote/ kleine waardes
EIGENSCHAP: de gemiddelde afwijking van de
observaties t.o.v. het gemiddelde = 0
POST IT
BEWIJS!
,Spreiding:
Bereik
= grootste geobserveerde score (max(X)) – kleinste geobserveerde
score (min(X))
gevoelig voor uitbijters
Interkwartielbereik
= Q3 – Q1
= bevat ongeveer de middelste 50% van de observaties
minder gevoelig voor uitbijters
Variantie (S²x)
= het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijking van de
observaties t.o.v. het rekenkundig gemiddelde (standaardafwijking)²
= gemiddelde spreiding van de gegevens rond het gemiddelde
FORMULE: voor frequentie :
voor proportie:
grote variantie = gegevens liggen ver uit elkaar, ver van het
gemiddelde kleine variantie = gegevens liggen dicht bij
elkaar, dicht bij het gemiddelde
CHIASTISCHE EIGENSCHAP: (andere manier)
OF gemiddelde van de kwadraten
van je observatie min het
kwadraat van het gemiddelde
(zie bewijs)
voor frequentie:
voor proportie:
Standaarddeviatie (standaardafwijking Sx) = gemiddelde spreiding van
de gegevens rond hun gemiddelde in dezelfde eenheid!
FORMULE:
, Spreiding tussen gegevens onderling: 2 keer de variantie
FORMULE:
EIGENSCHAPPEN VAN GEMIDDELDE EN VARIANTIE:
Regel van Steiner:
Voor een willekeurig getal C geldt: de gemiddelde
gekwadrateerde afstand van C tot de observaties = de som van de
variantie (de gem. gekwadrateerde afstand van de observaties tot het
gem.) en(X - C)²
FORMULE:
Als C dan is de gem. gekwadrateerde afstand van C tot X
altijd groter dan de variantie!
hoe dichter C bij ligt hoe kleiner
Vat het centrum van de gegevens, omdat het het punt is dat het er het
dichtst bij ligt
Ongelijkheid van Tchebychev
= manier om te kijken of scores extreem zijn of niet (als je enkel het gem.
en Sx hebt)
= de proportie geobserveerde scores die zich op een afstand van min K
standaarddeviaties tot het gemiddelde bevinden is kleiner of gelijk aan
1/k²
FORMULE:
De paarse zone bevat
hoogstens proportie 1/k² van
de observaties (je weet niet aan
welke kant de gegevens liggen)
De roze zone bevat minstens
proportie 1-1/k² van de
observaties
