VOLLEDIGE samenvatting van de WPO's van Statistiek I: meetschalen en beschrijvende statistiek (geslaagd in eerste zit met 15/20)

WPO


STATISTIEK I
MEETSCHALEN EN BESCHRIJVENDE STATISTIEK




1. SOMMERINGSTEKEN
= de sommering van de waarnemingen:
"

! 𝑥! = 𝑥$ + 𝑥% + ⋯ + 𝑥"
!#$

Bv. leeftijden van drie personen uit het WPO zijn 19, 31 en 18 jaar – dit zijn drie waarnemingen.
§ Waarneming 1 = 𝑥$ = 19
§ Waarneming 2 = 𝑥% = 31
§ Waarneming 3 = 𝑥& = 18
Sommeer vervolgens de waarden. Wel, dan doen we 19 + 31 + 18 = 68.
9 Hoe weten we nu welke waarden we nodig hebben? Wel, er staat een “i”, deze begint bij 1 en gaat tot “n”
(n = ALLE waarnemingen).

x = een getal.
𝒙𝒊 = getallen die we willen optellen.
n = de index van het laatste getal.
𝒙𝒏 = de laatste waarneming.
i = de index van een getal. M.a.w. het benoemt het getal waarmee we beginnen.

Vele formules die we dit academiejaar zullen leren (hanteren) bevatten het sommeringsteken. Daarom
is het van groot belang ten volle te begrijpen wat dit inhoudt en wat we er allemaal mee kunnen doen!

Bv. de punten (op 10) van biologie van 10 leerlingen uit het 3de middelbaar:

Naam Punt
Student 1 7 𝑥$ = 7
Student 2 8 𝑥% = 8
Student 3 9 𝑥& = 9
Student 4 5 𝑥) = 5
Student 5 8 𝑥* = 8
Student 6 10 𝑥+ = 10
Student 7 6 𝑥, = 6
Student 8 6 𝑥- = 6
Student 9 7 𝑥. = 7
Student 10 8 𝑥$/ = 8 → 𝑥"


→ n = 10

,A. Oefeningen

"
= 7 + 8 + 9 + 5 + 8 + 10 + 6 + 6 + 7 + 8
1. ! 𝑥!
= 74
!#$

"
=6+7+8
2. ! 𝑥!
= 21
!#-

-
= 8 + 10 + 6 + 6
3. ! 𝑥!
= 30
!#*


B. Rekenregels
a. Rekenregel 1
= als je de sommatie van de som van twee variabelen moet hebben, dan mag je de som van de ene variabele
optellen met de som van de andere variabele:
" " "

!(𝑥! + 𝑦! ) = ! 𝑥! + ! 𝑦!
!#$ !#$ !#$

Bv. Drie personen (i) die een test hebben afgelegd van Biologie (x) en Chemie (y):
"
i x y
→ !(𝑥! + 𝑦! ) = (6 + 2) + (9 + 4) + (4 + 5) = 30
1 6 2 !#$
2 9 4 " "

3 4 5 → ! 𝑥! + ! 𝑦! = (6 + 9 + 4) + (2 + 4 + 5) = 30
!#$ !#$


b. Rekenregel 2
= als er een letter (x, a, h, …) met een index (i) staat, dan gaat het over waarnemingen. Als er daarentegen een
letter (x, a, h, …) staat zonder een index (i) – zoals de letter “k” hieronder, dan staat dat voor een constante. Hierbij
vermenigvuldigen we de sommatie van een constante met de waarnemingen en dit komt overeen met/is
hetzelfde als de constante vermenigvuldigen met de som van de waarnemingen:
" "

! 𝑘𝑥! = 𝑘 ,! 𝑥! -
!#$ !#$
Bv.
§ k is een constante
§ We nemen k = 4
"
i x
→ ! 𝑘𝑥! = (4 ∙ 6) + (4 ∙ 9) + (4 ∙ 4) = 76
1 6 !#$
2 9 "

3 4 → 𝑘 ,! 𝑥! - = 4 ∙ (6 + 9 + 4) = 76
!#$




2

,c. Rekenregel 3
= we sommeren de waarnemingen van 1 t.e.m. m, vervolgens tellen we dit op met de som van de waarnemingen
m + 1 t.e.m. n. Dit komt overeen met het optellen van alle waarnemingen:
1 " "

! 𝑥! + ! 𝑥0 = ! 𝑥!
!#$ 0#12$ !#$
Bv.
§ We nemen m = 2 en n = 4
% )
i x
→ ! 𝑥! + ! 𝑥0 = (6 + 9) + (4 + 5) = 24
1 6
!#$ 0#&
2 9 )
3 4 → ! 𝑥! = 6 + 9 + 4 + 5 = 24
4 5 !#$

5 6

M.a.w.: of je de som nu in twee delen opsplitst die je daarna samentelt, of je berekent in één keer de totale som,
het resultaat blijft hetzelfde.

d. Rekenregel 4
= als we waarden moeten sommeren waarbij elke waarde hetzelfde is, dan gaan we gewoonweg n vermenig-
vuldigen met die waarde (in dit geval k). Of m.a.w. als alle getallen die je moet optellen gelijk zijn aan hetzelfde
getal dan:
"

! 𝑥! = 𝑘 + 𝑘 + ⋯ + 𝑘 = 𝑛𝑘
!#$

9 Toepassing – Stel dat je “xi” moet optellen met een constante en dit vervolgens moet sommeren, dan
neem je de som van de waarnemingen en tel je dit op met n keer die constante (in dit geval k):
" "

!(𝑥! + 𝑘) = 8! 𝑥! 9 + 𝑛𝑘
!#$ !#$

Bv.
§ Stel k = 7
"
i x
→ !(𝑥! + 𝑘) = (6 + 7) + (9 + 7) + (4 + 7) = 40
1 6 !#$
2 9 "

3 4 → 8! 𝑥! 9 + 𝑛𝑘 = (6 + 9 + 4) + (3 ∙ 7) = 40
!#$




3

, C. Opgepast!
a. Opgepast 1
Wanneer het gaat over “vermenigvuldigen”, dan moet je ervan afblijven:
" " "

! 𝑥! ∙ ! 𝑦! ≠ ! 𝑥! ∙ 𝑦!
!#$ !#$ !#$
Bv.
" "
i x y
→ ! 𝑥! ∙ ! 𝑦! = (6 + 9 + 4) ∙ (2 + 4 + 5) = 209
1 6 2 !#$ !#$
2 9 4 &

3 4 5 → !(𝑥! ∙ 𝑦! ) = (6 ∙ 2) + (9 ∙ 4) + (4 ∙ 5) = 68
!#$

M.a.w.: het product van twee kolomtotalen is NIET gelijk aan de som van de producten van de elementen van
één rij.

b. Opgepast 2
“Sjoemelen”/oneerlijke trucjes toepassen met machten mag ook niet! De sommatie van de kwadraten van de
waarnemingen is niet hetzelfde als het kwadraat van de sommatie van waarnemingen:
" " %
%)
!(𝑥! ≠ 8! 𝑥! 9
!#$ !#$
Bv.
"
i x
→ !(𝑥! % ) = 6% + 9% + 4% = 133
1 6
!#$
2 9 " %

3 4 → 8! 𝑥! 9 = (6 + 9 + 4)% = 361
!#$



c. Opgepast 3
Opletten met “delen door”! Als je de sommatie van variabele 1 gedeeld door variabele 2 doet, is dat niet hetzelfde
als de sommatie van variabele 1 gedeeld door de sommatie van variabele 2:
"
𝑥! ∑" 𝑥!
! ≠ "!#$
𝑦! ∑!#$ 𝑦!
!#$
Bv.
"
i x y 𝑥! 6 9 4
→! = > ? + > ? + > ? = 6,05
1 6 2 𝑦! 2 4 5
!#$
2 9 4 ∑"!#$ 𝑥! 6+9+4
3 4 5 → = = 1,727
∑"!#$ 𝑦! 2+4+5

M.a.w.: de som van quotiënten van rijen is NIET gelijk aan het quotiënt van de kolomtotalen.




4