Samenvatting I-chemische procesregeling (2212FTICPR)

1



Samenvatting chemische
procesregeling
5. wiskundige hulpmiddelen en definities
Indelingen van systemen
1) Met slechts 1 uitgang : monovariabel systeem
a. SISO : single input- single output
b. MISO : multiple input- single output
2) Met meerdere uitgangen : multivariabel systeem = MIMO : multiple input- multiple output

Lineariseren
Je kan enkel laplacetransformaties nemen van lineaire differentiaalvergelijkingen:

Een lineaire vergelijking :



Indien de differentiaalvergelijking niet lineair is moet je hem lineariseren


( dxdf )
Dit gebeurt met de volgende formule : f l ( x )=f ( x 0 ) +
x=x 0
.( x−x 0)

Met :

- f(x) = de originele functie
- fL(x) = de gelineariseerde functie
- x0 = werkpunt waarrond wordt gelinealiseerd (de ingestelde waarde)
- f(x0) = de originele functie met x vervangen door x 0

Voor een lineair systeem geldt:




Met :

- pi en qi = constanten
- y(t) = uitgangsveranderlijke
- x(t) = ingangsveranderlijke
- n = de orde van de differentiaalvergelijking

, 2


afwijkingsveranderlijken
De differentiaalberekeningen van lineaire systemen kunnen makkelijker gemaakt worden door het
gebruik van afwijkingsveranderlijken: zA(t) = z(t) - zs

- met zA(t) = de afwijking
- z(t) = de veranderlijke (gemeten)
- zs = de ingestelde waarde (statische toestand)




Dus het invoeren van afwijkingsveranderlijken bij lineaire systemen die zich voor t<0 in de statische
toestand bevinden, biedt volgende voordelen:

- de natuur van de differentiaalvergelijking wordt niet gewijzigd. Eventuele constante termen,
die slechts een invloed hebben op de statische toestand vallen weg
- de beginvoorwaarde van afwijkingsveranderlijken is altijd nul
- laplacetransformaties van de afgeleiden van afwijkingsveranderlijken is heel eenvoudig
- In procesregeling ben je enkel geïnteresseerd in de afwijking

Ingang-uitgangmodellering
De transferfunctie H(s) = een vergelijking in het laplace domein die het verband geeft tussen de
ingang XA(s) en de uitgang YA(s)
A
Y (s)
H ( s )= A
X ( s)
- A : de afwijkingsveranderlijke
- (s) : lapacedomein

Met gekende transferfunctie en gekende storing X A(s) kunnen we de uitgang voorspellen.

- XA(s) = B/s
o Met B de stapfunctie storing (bv koelwater wordt ineens 10 graden warmer  B=10)

Probleem kan wiskundig zo makkelijk ontleden worden

De statische versterking K
= is de verhouding van de uiteindelijke verandering (t=ꚙ) van de uitgangsveranderlijke en de
ingangsveranderlijke van een proces na een stapfunctie aan de ingang.

- Is een eigenschap van het proces
- Zelfs zonder een sturing

Δy
K=
[ ]
Δx t =inf
=¿ ¿

Voor een bepaalde stapfunctie:

- Als K groot is zal de verandering aan de uitgang groot zijn = het proces is zeer gevoelig voor
storingen

, 3


- Als K klein is zal de verandering aan de uitgang klein zijn = het proces is weinig gevoelig voor
storingen

Voorbeeld 1 : een buffervat met constante warmteproductie




1) We vertrekken van een energiebalans

J
¿+GEPRODUCEERD=UIT + ACCUMULATIE
[ s
=W
]
- Constante warmteproductie dus Φ G , s=cte∈de tijd
- Geen steady state systeem dus accumulatie is niet 0 (d…/dt)

kg J kg J d 1 J
ṁ
[ ]
s [ ]
.T i [ ° C ] .C p
kg . s
+ ΦG , s= ṁ
[ ]
s
.T [°C ].C p +
[ ] []
kg . s dt s
. T [ ° C ] m CSTR [ kg ] .C p
[ ]
kg . s

- CSTR reactor : T in reactor = T uitgaande stroom = T
 Kan ook massabalans [kg/s of mol/s]
2) Dan kijken of deze functie lineair is  ja

x. cte + cte = y.cte + y’.cte

3) Opstellen van de normaal vergelijking :
d
a. ṁ .T i (t).C p +Φ G , s=ṁ .T (t) .C p + .T ( t ) . mCSTR . C p
dt
b. ṁ .C p wegwerken
mCSTR d .T (t) Φ
c. . +T ( t )=T i ( t ) + G , s
ṁ dt ṁ. C p
d. We definiëren de volgende variabelen:
mCSTR
i. =τ=de gemiddelde verblijfstijd ∈de reactor [ s ]
ṁ
ii. De factor voor T i ( t )( in dit geval 1) = K, de statische versterking
d . T (t ) ΦG ,s
e. τ . +T ( t )=K .T i (t ) +
dt ṁ . C p
4) Invoeren van afwijkingsveranderlijken : TA(t)= T(t) – Ts  TAi(t)= Ti(t) – Ti,s
A
d (T ( t ) +T s ) A Φ
a. τ . +T ( t ) +T s =K . (T A i ( t ) +T i , s )+ G , s
dt ṁ .C p

, 4


dTs
b. Afgeleide van een constante is 0 : =0
dt
d T A (t ) A A ΦG , s
c. τ . +T ( t ) +T s =K . (T i ( t ) +T i , s )+
dt ṁ .C p
5) Als we deze vergelijking (3.e) schrijven in de statische toestand:
dTs Φ
a. τ . + T s=K .T i , s+ G , s
dt ṁ .C p
dTs
b. Afgeleide van een constant getal is 0 :τ . =0
dt
ΦG ,s
c. T s=K . T i , s +
ṁ. C p
6) 4.c en 5.c combineren dan krijgen we:
d T A (t ) A A
a. τ . +T ( t ) =K .T i ( t )
dt
7) Laplace nemen
A A A
a. τ . d T ( s ) . s +T ( s )=K .T i ( s )
8) transferfunctie in het Laplacedomein opstellen :
A
T (s)
a. H ( s )=
T Ai( s )
K
b. H ( s )=
τ . s +1
i. Met K = 1
1
c. H ( s )=
τ . s +1
9) We willen nu de temperatuur aan de uitgang weten in het tijdsdomein : inverse Laplace van
YA(s) = H(s) . XA(s)
ΔT i
a. XA(s)=T Ai ( s )=
s
i. Met ΔTi = de stapfunctie aan de ingang
1 ΔTi
10) YA(s) ¿ T A ( s )= H(s) . XA(s) = .
τ . s+ 1 s
A A B
a. Splitsen in partieelbreuken : T ( s )= +
s τ . s+1
i. A = ΔTi
ii. B = -τ. ΔTi
ΔTi τ. ΔTi
b. T A ( s )= −
s τ . s+1
11) Via de laplacetransformaties :
−t
1
a. T A ( t ) =ΔT i−τ . Δ T i . .e τ
τ
−t
b. T A ( t ) =ΔT −Δ T .e τ
i i
−t
c. T A ( t ) =ΔT (1−e τ )
i