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● Suites majorées, minorées, bornées
LES SUITES - La suite (𝑢𝑛) est majorée s'il existe un réel 𝑀 tel que : 𝑢𝑛 ≤ 𝑀.
- La suite (𝑢𝑛) est minorée s'il existe un réel 𝑚 tel que : 𝑢𝑛 ≥ 𝑚.
● Inégalité de Bernoulli - La suite (𝑢𝑛) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
(1 + 𝑎)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎, avec a>0, n(ℕ.
- Si une suite est croissante et admet pour limite 𝐿, alors elle est majorée par 𝐿.
● Limites à connaître
- Théorème de convergence monotone :
- lim 𝑛 = +∞, lim 𝑛2 = +∞, lim √𝑛 = +∞.
𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 1) Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente.
1 1 1 2) Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente.
- lim = 0, lim = 0, lim = 0.
𝑛→+∞ 𝑛 𝑛→+∞ 𝑛2 𝑛→+∞ √𝑛
- Théorème de divergence :
● Opérations sur les limites 1) Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞.
SOMME 2) Si une suite est décroissante et non minorée alors elle tend vers −∞.
lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝐿 𝐿 +∞ −∞ +∞
𝑛→+∞
lim 𝑣𝑛 = 𝐿′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ● Suites géométriques
𝑛→+∞
lim 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 = 𝐿 + 𝐿′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I. - (𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 et de premier terme 𝑢0.
𝑛→+∞
𝑢𝑛+1 = 𝑞 × 𝑢𝑛 et 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛
PRODUIT ∞ désigne +∞ ou −∞
- Limites :
lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝐿 ∞ 0
𝑛→+∞ 𝑞 𝑞 ≤ −1 −1 < 𝑞 < 1 𝑞=1 𝑞>1
lim 𝑣𝑛 = 𝐿′ ∞ ∞ ∞ lim 𝑞𝑛 0 1
𝑛→+∞ 𝑛→∞ Pas de limite +∞
lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = 𝐿 × 𝐿′ ∞ ∞ F.I.
𝑛→+∞
1−𝑞𝑛+1
On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou −∞. - 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛 = 1−𝑞 , avec 𝑛 ( ℕ ∖ {0} et 𝑞 ≠ 1.
QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou −∞
lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝐿≠0 𝐿 ∞ ∞ 0
𝑛→+∞
lim 𝑣𝑛 = 𝐿′ ≠ 0 0 ∞ 𝐿 ∞ 0
𝑛→+∞
𝑢𝑛
lim = 𝐿
𝑛→+∞ 𝑣𝑛
∞ 0 ∞ F.I. F.I.
𝐿′
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou −∞.
# $
Formes indéterminées : ∞ − ∞ 0×∞
# $
● Limites et comparaison
- Théorèmes de comparaison :
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛
1) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 𝑢 = +∞ alors lim 𝑣𝑛 = +∞.
𝑛 𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛
2) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 𝑢𝑛 = −∞ alors lim 𝑣𝑛 = −∞.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
- Théorème des gendarmes :
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 ≤ w𝑛
lim 𝑢 𝑛 = 𝐿
Si, à partir d'un certain rang, on a : : 𝑛→+∞ alors lim 𝑣𝑛 = 𝐿.
𝑛→+∞
lim w𝑛 = 𝐿
𝑛→+∞
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
● Suites majorées, minorées, bornées
LES SUITES - La suite (𝑢𝑛) est majorée s'il existe un réel 𝑀 tel que : 𝑢𝑛 ≤ 𝑀.
- La suite (𝑢𝑛) est minorée s'il existe un réel 𝑚 tel que : 𝑢𝑛 ≥ 𝑚.
● Inégalité de Bernoulli - La suite (𝑢𝑛) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
(1 + 𝑎)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎, avec a>0, n(ℕ.
- Si une suite est croissante et admet pour limite 𝐿, alors elle est majorée par 𝐿.
● Limites à connaître
- Théorème de convergence monotone :
- lim 𝑛 = +∞, lim 𝑛2 = +∞, lim √𝑛 = +∞.
𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 1) Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente.
1 1 1 2) Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente.
- lim = 0, lim = 0, lim = 0.
𝑛→+∞ 𝑛 𝑛→+∞ 𝑛2 𝑛→+∞ √𝑛
- Théorème de divergence :
● Opérations sur les limites 1) Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞.
SOMME 2) Si une suite est décroissante et non minorée alors elle tend vers −∞.
lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝐿 𝐿 +∞ −∞ +∞
𝑛→+∞
lim 𝑣𝑛 = 𝐿′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ● Suites géométriques
𝑛→+∞
lim 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 = 𝐿 + 𝐿′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I. - (𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 et de premier terme 𝑢0.
𝑛→+∞
𝑢𝑛+1 = 𝑞 × 𝑢𝑛 et 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛
PRODUIT ∞ désigne +∞ ou −∞
- Limites :
lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝐿 ∞ 0
𝑛→+∞ 𝑞 𝑞 ≤ −1 −1 < 𝑞 < 1 𝑞=1 𝑞>1
lim 𝑣𝑛 = 𝐿′ ∞ ∞ ∞ lim 𝑞𝑛 0 1
𝑛→+∞ 𝑛→∞ Pas de limite +∞
lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = 𝐿 × 𝐿′ ∞ ∞ F.I.
𝑛→+∞
1−𝑞𝑛+1
On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou −∞. - 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛 = 1−𝑞 , avec 𝑛 ( ℕ ∖ {0} et 𝑞 ≠ 1.
QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou −∞
lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝐿≠0 𝐿 ∞ ∞ 0
𝑛→+∞
lim 𝑣𝑛 = 𝐿′ ≠ 0 0 ∞ 𝐿 ∞ 0
𝑛→+∞
𝑢𝑛
lim = 𝐿
𝑛→+∞ 𝑣𝑛
∞ 0 ∞ F.I. F.I.
𝐿′
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou −∞.
# $
Formes indéterminées : ∞ − ∞ 0×∞
# $
● Limites et comparaison
- Théorèmes de comparaison :
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛
1) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 𝑢 = +∞ alors lim 𝑣𝑛 = +∞.
𝑛 𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛
2) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 𝑢𝑛 = −∞ alors lim 𝑣𝑛 = −∞.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
- Théorème des gendarmes :
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 ≤ w𝑛
lim 𝑢 𝑛 = 𝐿
Si, à partir d'un certain rang, on a : : 𝑛→+∞ alors lim 𝑣𝑛 = 𝐿.
𝑛→+∞
lim w𝑛 = 𝐿
𝑛→+∞
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
