Math exercises about differential equations.

LLG-Term 2020-21 Chapitre 7 Primitives. Équations différentielles. 1 PRIMITIVES




PRIMITIVES. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

1 P RIMITIVES .

1.1 Définition.

Définition : Soit f une fonction définie sur I .
On appelle primitive de f sur I toute fonction F , dérivable sur I , dont la dérivée F ′ est égale à f ,
c’est-à-dire telle que, pour tout x ∈ I ,

F ′ (x) = f (x) .

Exemples :
a. Déterminer une primitive sur R des fonctions suivantes :
f 1 : x 7→ 1 , f 2 : x 7→ x , f 3 : x 7→ 5x 2 , f 4 : x 7→ 3x 4 + 2 , f 5 : x 7→ cos x , f 6 : x 7→ ex .

F1 : x 7→ F2 : x 7→ F3 : x 7→

F4 : x 7→ F1 : x 7→ F1 : x 7→

b. Déterminer une primitive sur ]0 ; +∞[ des fonctions suivantes :
1 1
f 7 : x 7→ x2
, f 8 : x 7→ x

F7 : x 7→ F8 : x 7→
p p
c. Montrer que F : x 7→ 32 x x − 5 est une primitive de f : x 7→ x sur ]0 ; +∞[ .

F est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme produit et somme de fonctions dérivables, et
F ′ (x) =


1.2 Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle.

Propriété : Soit f une fonction admettant une primitive F sur I .
L’ensemble des primitives de f sur I est l’ensemble des fonctions G de la forme

G : x 7→ F (x) + k où k décrit R .


On dit que « deux primitives de f diffèrent d’une constante ».

démonstration :
— Si G = F + k , alors G est dérivable sur I (comme F ), et G ′ = F ′ . Donc G ′ = f et G est une primitive de
f sur I .
— Réciproquement, si G est une primitive de f sut I , alors G ′ = f = F ′ , d’où :
G ′ − F ′ = 0 , (G − F ) ′ = 0 , donc G − F est une fonction constante.

Interprétation graphique.




Les courbes représentatives des primitives
de f se déduisent de l’une d’entre elles, C F , CF #»
kj
par les translations de vecteurs colinéaires à
#»
j.
O a b



1

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1.3 Primitive prenant une valeur donnée en un point donné.

Propriété : Soit f une fonction admettant des primitives sur I . Soit x 0 un réel de I et y 0 un réel quelconque.
Parmi les primitives de f sur I , il en existe une et une seule, G , telle que G(x 0 ) = y 0 .

démonstration : Soit F une primitive de f sur I . Soit G une primitive de f telle que G(x 0 ) = y 0 , s’il en existe.
D’après le paragraphe précédent, il existe k ∈ R tel que, pour tout x ∈ I , G(x) = F (x) + k . Pour que G(x 0 ) = y 0 ,
il faut et il suffit que F (x 0 ) + k = y 0 , soit k = y 0 − F (x 0 ) et donc G(x) = F (x) − F (x 0 ) + y 0 . Réciproquement, la
fonction G ainsi définie vérifie bien G ′ = f et G(x 0 ) = y 0 .

Interprétation graphique : Par un point quelconque du plan, d’abscisse appartenant à I , il passe une et une
seule courbe représentative d’une primitive de f .

Exemple : Déterminer la primitive de f : x 7→ x 2 − x23 qui prend la valeur 2 en 3.




1.4 Primitives des fonctions usuelles.




Fonction f Primitives F Intervalle I

1 x 7→ a x 7→ a x + k R
(fonction constante)

2 x 7→ x n n ∈ N∗ x n+1 R
x 7→ +k
n +1
1 1
3 x 7→ n ∈ N∗ , n Ê 2 x 7→ − +k ] − ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
xn (n − 1)x n−1
1 1
en particulier : n = 2, x 7→ x 7→ − + k
x2 x

4 x 7→ x α α ∈ R, α 6= −1 x α+1 ]0 ; +∞[
x 7→ +k
α+1
en particulier :
1 p
α = − 12 x 7→ p x 7→ 2 x + k
x
p
α = 21 x 7→ x x 7→ 23 x
p
x +k

1
5 x 7→ x 7→ ln x + k ]0 ; +∞[
x

6 x 7→ ex x 7→ ex + k R


7 x 7→ sin x x 7→ − cos x + k R


8 x 7→ cos x x 7→ sin x + k R

1
9 x 7→ cos2 x
= 1 + tan2 x x 7→ tan x + k ] − π2 + nπ ; π
2 + nπ[ , n ∈ Z




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