Travaux dirigés - Polynômes
Chaque feuille de TD correspond à un cours en amphi et se décompose de la façon suivante :
– les pré-requis à connaître avant de s’attaquer aux exercices (et donc avant de venir en TD),
– les objectifs d’apprentissage des exercices présents dans la feuille,
– des exercices classiques qu’il convient de savoir faire après le TD,
– des exercices complémentaires qui peuvent remplacer ou compléter les exercices classiques.
À l’issue du TD, il est primordial de vérifier que les objectifs d’apprentissage ont bien été acquis et que les
exercices classiques ont été compris. Les exercices proposés en complément permettent de s’entraîner en dehors
du TD, seul ou en groupe, de façon à consolider les compétences acquises. Ils peuvent également être vus en TD et
remplacer un exercice classique lorsque l’enseignant trouve cela pertinent.
Il est aussi possible de s’exercer en travaillant sur des livres d’exercices disponibles à la Bibliothèque Univer-
sitaire. Les références présentes dans le polycopié de cours proposent en général un grand nombre d’exercices
corrigés.
Les exercices marqués par le symbole sont des exercices pour lesquels l’aspect raisonnement l’emporte sur
l’aspect calculatoire.
Il est inutile de lire ou d’apprendre la correction d’un exercice sans avoir pris le temps d’y réfléchir. Ces
corrections sont là pour vous permettre de vérifier vos résultats et vous donner des idées de rédaction. Faites
cependant attention au fait que les exercices ne sont pas tous corrigés de façon détaillée. Merci de signaler à votre
enseignant toute erreur que vous trouverez.
1
, 2
TD n°16
Pré-requis : Objectifs :
– Maîtriser les opérations algébriques élémentaires – Maîtriser les opérations sur les degrés
– Savoir poser une division euclidienne – Connaître la notion de divisibilité pour des
polynômes
– Savoir effectuer une division euclidienne avec
des polynômes
Exercice 1
1. Donner les degrés du quotient et du reste de la division euclidienne de 1 + X + X 2 + X 3 par 2 + X . En
déduire la forme du quotient et du reste.
2. Calculer le reste et le quotient de la division euclidienne de 1 + X + X 2 + X 3 par 2 + X .
3. Poser la division euclidienne de X 4 + 25 X 3 − X 2 + 2 X + 1 par 2 X 2 − 3 X + 2.
Exercice 2
L’objectif de cet exercice est de déterminer le reste R de la division euclidienne de X n + X + 1 par ( X − 1)2 .
1. Quel est le degré de R ? En déduire la forme de R .
2. Démontrer que R satisfait le système suivant :
(
3 = R (1),
n+1 = R 0 (1).
3. Conclure en déterminant R .
Exercice 3
Déterminez tous les réels a et b tel que le polynôme X 2 − aX + 1 divise X 4 − X + b.
Compléments
Exercice 4
Effectuez la division euclidienne de X 5 + 3 X 4 + 5 X 3 + X − 1 par X 3 − 2 X + 1
Exercice 5.
Pour a 6= b, sachant que le reste de la division de P ( X ) par ( X − a) est 1 et que celui de la division de P ( X ) par
( X − b) est −1 quel est le reste de la division de P ( X ) par ( X − a)( X − b) ?
Exercice 6.
1. Soient P et Q deux polynômes. Montrez que pour tout entier k, P − Q divise P k − Q k .
2. En déduire que pour tout P ∈ K [ X ], P − X divise P (P ) − P .
Chaque feuille de TD correspond à un cours en amphi et se décompose de la façon suivante :
– les pré-requis à connaître avant de s’attaquer aux exercices (et donc avant de venir en TD),
– les objectifs d’apprentissage des exercices présents dans la feuille,
– des exercices classiques qu’il convient de savoir faire après le TD,
– des exercices complémentaires qui peuvent remplacer ou compléter les exercices classiques.
À l’issue du TD, il est primordial de vérifier que les objectifs d’apprentissage ont bien été acquis et que les
exercices classiques ont été compris. Les exercices proposés en complément permettent de s’entraîner en dehors
du TD, seul ou en groupe, de façon à consolider les compétences acquises. Ils peuvent également être vus en TD et
remplacer un exercice classique lorsque l’enseignant trouve cela pertinent.
Il est aussi possible de s’exercer en travaillant sur des livres d’exercices disponibles à la Bibliothèque Univer-
sitaire. Les références présentes dans le polycopié de cours proposent en général un grand nombre d’exercices
corrigés.
Les exercices marqués par le symbole sont des exercices pour lesquels l’aspect raisonnement l’emporte sur
l’aspect calculatoire.
Il est inutile de lire ou d’apprendre la correction d’un exercice sans avoir pris le temps d’y réfléchir. Ces
corrections sont là pour vous permettre de vérifier vos résultats et vous donner des idées de rédaction. Faites
cependant attention au fait que les exercices ne sont pas tous corrigés de façon détaillée. Merci de signaler à votre
enseignant toute erreur que vous trouverez.
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TD n°16
Pré-requis : Objectifs :
– Maîtriser les opérations algébriques élémentaires – Maîtriser les opérations sur les degrés
– Savoir poser une division euclidienne – Connaître la notion de divisibilité pour des
polynômes
– Savoir effectuer une division euclidienne avec
des polynômes
Exercice 1
1. Donner les degrés du quotient et du reste de la division euclidienne de 1 + X + X 2 + X 3 par 2 + X . En
déduire la forme du quotient et du reste.
2. Calculer le reste et le quotient de la division euclidienne de 1 + X + X 2 + X 3 par 2 + X .
3. Poser la division euclidienne de X 4 + 25 X 3 − X 2 + 2 X + 1 par 2 X 2 − 3 X + 2.
Exercice 2
L’objectif de cet exercice est de déterminer le reste R de la division euclidienne de X n + X + 1 par ( X − 1)2 .
1. Quel est le degré de R ? En déduire la forme de R .
2. Démontrer que R satisfait le système suivant :
(
3 = R (1),
n+1 = R 0 (1).
3. Conclure en déterminant R .
Exercice 3
Déterminez tous les réels a et b tel que le polynôme X 2 − aX + 1 divise X 4 − X + b.
Compléments
Exercice 4
Effectuez la division euclidienne de X 5 + 3 X 4 + 5 X 3 + X − 1 par X 3 − 2 X + 1
Exercice 5.
Pour a 6= b, sachant que le reste de la division de P ( X ) par ( X − a) est 1 et que celui de la division de P ( X ) par
( X − b) est −1 quel est le reste de la division de P ( X ) par ( X − a)( X − b) ?
Exercice 6.
1. Soient P et Q deux polynômes. Montrez que pour tout entier k, P − Q divise P k − Q k .
2. En déduire que pour tout P ∈ K [ X ], P − X divise P (P ) − P .
