UE 4TSI401U — MATHÉMATIQUES POUR L'INGÉNIEUR
FICHE 1 : Intégrales Classiques & Impropres
Université de Bordeaux • Collège Sciences et Technologies
1. INTÉGRATION CLASSIQUE (RAPPELS & MÉTHODES)
f
Définition : Pour une fonction continue par morceaux (c.p.m.) sur [a, b], l'intégrale est définie par la somme
algébrique des aires des surfaces sous la courbe.
Intégration par parties (IPP) Changement de Variable
Si u et v sont de classe C1 sur [a, b] : Soit φ : [α, β] → [a, b] une bijection de classe C1 :
∫ab u'(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]ab − ∫ab u(t)v'(t)dt ∫ab f(t)dt = ∫φ−1(a)φ−1(b) f(φ(s)) φ'(s) ds
↑
Astuce : Identifier le facteur à intégrer ( ) et celui à Pratique : Poser t = φ(s) d'où dt = φ'(s)ds et changer les
dériver ( ).↓ bornes.
2. EXTENSION AUX INTÉGRALES IMPROPRES (GÉNÉRALISÉES)
f
Condition préalable : doit être localement intégrable (l.i.) sur l'intervalle d'intégration (continue ou c.p.m. sur tout
segment inclus).
Convergence sur [a, β[ : L'intégrale ∫aβ f(t)dt converge si limb → β− ∫ab f(t)dt existe et est finie. Sinon, elle diverge.
Attention (Indépendance des bornes) : Sur un intervalle ouvert ]α, β[, l'existence de ∫αβ f(t)dt nécessite l'existence
simultanée et indépendante de ∫αc f(t)dt et ∫cβ f(t)dt pour un point c ∈ ]α, β[.
3. INTÉGRALES RÉFÉRENCES DE RIEMANN
Intervalle Intégrale de Riemann Condition de Convergence Valeur en cas de convergence
En 0 : ]0, 1] ∫01 (1 / tα) dt α<1 1 / (1 − α)
En +∞ : [1, +∞[ ∫1+∞ (1 / tα) dt α>1 1 / (α − 1)
f
Intégrales Faussement Impropres : Si est prolongeable par continuité en une borne (ex. t ↦ t ln(t) en 0), l'intégrale
est en réalité propre et converge.
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FICHE 1 : Intégrales Classiques & Impropres
Université de Bordeaux • Collège Sciences et Technologies
1. INTÉGRATION CLASSIQUE (RAPPELS & MÉTHODES)
f
Définition : Pour une fonction continue par morceaux (c.p.m.) sur [a, b], l'intégrale est définie par la somme
algébrique des aires des surfaces sous la courbe.
Intégration par parties (IPP) Changement de Variable
Si u et v sont de classe C1 sur [a, b] : Soit φ : [α, β] → [a, b] une bijection de classe C1 :
∫ab u'(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]ab − ∫ab u(t)v'(t)dt ∫ab f(t)dt = ∫φ−1(a)φ−1(b) f(φ(s)) φ'(s) ds
↑
Astuce : Identifier le facteur à intégrer ( ) et celui à Pratique : Poser t = φ(s) d'où dt = φ'(s)ds et changer les
dériver ( ).↓ bornes.
2. EXTENSION AUX INTÉGRALES IMPROPRES (GÉNÉRALISÉES)
f
Condition préalable : doit être localement intégrable (l.i.) sur l'intervalle d'intégration (continue ou c.p.m. sur tout
segment inclus).
Convergence sur [a, β[ : L'intégrale ∫aβ f(t)dt converge si limb → β− ∫ab f(t)dt existe et est finie. Sinon, elle diverge.
Attention (Indépendance des bornes) : Sur un intervalle ouvert ]α, β[, l'existence de ∫αβ f(t)dt nécessite l'existence
simultanée et indépendante de ∫αc f(t)dt et ∫cβ f(t)dt pour un point c ∈ ]α, β[.
3. INTÉGRALES RÉFÉRENCES DE RIEMANN
Intervalle Intégrale de Riemann Condition de Convergence Valeur en cas de convergence
En 0 : ]0, 1] ∫01 (1 / tα) dt α<1 1 / (1 − α)
En +∞ : [1, +∞[ ∫1+∞ (1 / tα) dt α>1 1 / (α − 1)
f
Intégrales Faussement Impropres : Si est prolongeable par continuité en une borne (ex. t ↦ t ln(t) en 0), l'intégrale
est en réalité propre et converge.
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