PREMIÈRE SPÉCIALITÉ · MATHÉMATIQUES
Produit scalaire
Cours, propriétés et exercices corrigés
Dans tout le cours, u ⋅ v désigne le produit scalaire de u et v , ∥u∥ leur norme ; l’angle θ entre deux vecteurs non nuls est compris entre 0° et 180°.
Plan Travail d’une force DÉFINITION
1. Travail d’une force En physique, une force constante appliquée en un point d’un solide Deux vecteurs,
2. Définition se représente par un vecteur F . ∥F ∥ est son intensité, en newtons ; un produit scalaire
son sens indique de quel côté la force pousse.
3. Premières propriétés Soient u et v deux vecteurs du
Si le point d’application se déplace de A vers B, le travail W de la plan. S’ils sont tous les deux
4. Vecteurs colinéaires
force, en joules, vaut : non nuls et si θ est l’angle qu’ils
5. Vecteurs orthogonaux
W = ∥F ∥ × AB × cos(θ) forment, alors :
6. Projection
orthogonale θ est l’angle entre F et le déplacement AB . u ⋅ v = ∥u∥ × ∥v∥ ×
7. Repère orthonormé cos(θ).
F aide le mouvement : θ aigu cos(θ) > 0 et W > 0
8. Bilinéarité
Si u = 0 ou v = 0, on pose
9. Lien avec la norme F perpendiculaire au déplacement : cos(θ) = 0 et W = 0 u ⋅ v = 0.
10. Calcul d’un angle θ = 90∘
11. Quelle formule utiliser F s’oppose au mouvement : θ obtus cos(θ) < 0 et W < 0
12. Exercices corrigés
13. Formules Ce nombre W est le produit scalaire de F et de AB : W = F ⋅ AB .
, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ · MATHÉMATIQUES
Propriétés, colinéarité et orthogonalité
Le résultat est un nombre réel, positif, négatif ou nul. Ce n’est pas un vecteur. Pour mesurer θ, on place les deux vecteurs avec la même origine.
Premières propriétés Colinéarité et orthogonalité
Ces trois faits découlent directement de la définition et servent dans Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs colinéaires ont la même
presque tous les calculs. Symétrie : u · v = v · u ; l’ordre des deux direction. Ils ont le même sens, ou des sens contraires. Même sens : u
vecteurs ne change pas le résultat. Vecteur lui-même : u · u = ||u|| × · v = ||u|| × ||v|| ; θ = 0° et cos(0°) = 1. Sens contraires : u · v = − ||u|| ×
||u|| × cos(0°) = ||u||². Donc u · u = 0 seulement si u est le vecteur nul ; ||v|| ; θ = 180° et cos(180°) = −1. On multiplie les longueurs, puis on
on retrouve aussi la norme par ||u|| = √(u · u). met le signe.
Exemple 2. C est entre A et B, AB = 5 et AC = 3. AB et AC ont le
Attention à ne pas parler du « vecteur u · v » : le produit scalaire même sens, donc AB · AC = 15. AB et CA ont des sens contraires, donc
est un nombre, la norme aussi. AB · CA = −15.
Applications de l’orthogonalité : Si u et v sont non nuls, u · v = 0
Exemple 1. ABC est équilatéral de côté 4. L’angle en A vaut 60°. AB · veut dire cos(θ) = 0, donc θ = 90°. (AB) perpendiculaire à (AC) s’écrit
AC = 4 × 4 × cos(60°) = 16 × 1/2 = 8. AB · AC = 0. Dans un carré ou un rectangle, le produit scalaire de deux
côtés consécutifs est nul. C’est souvent le test qu’on utilise pour
Vecteurs orthogonaux montrer qu’un quadrilatère est un rectangle.
Propriété : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si Exemple 3. ABCD carré de côté 6 : AB · AD = 0. L’angle entre AB et la
u · v = 0. Cela reste vrai si l’un des deux est nul : le vecteur nul est diagonale AC vaut 45°, et AC = 6√2.
orthogonal à tout vecteur.
Produit scalaire
Cours, propriétés et exercices corrigés
Dans tout le cours, u ⋅ v désigne le produit scalaire de u et v , ∥u∥ leur norme ; l’angle θ entre deux vecteurs non nuls est compris entre 0° et 180°.
Plan Travail d’une force DÉFINITION
1. Travail d’une force En physique, une force constante appliquée en un point d’un solide Deux vecteurs,
2. Définition se représente par un vecteur F . ∥F ∥ est son intensité, en newtons ; un produit scalaire
son sens indique de quel côté la force pousse.
3. Premières propriétés Soient u et v deux vecteurs du
Si le point d’application se déplace de A vers B, le travail W de la plan. S’ils sont tous les deux
4. Vecteurs colinéaires
force, en joules, vaut : non nuls et si θ est l’angle qu’ils
5. Vecteurs orthogonaux
W = ∥F ∥ × AB × cos(θ) forment, alors :
6. Projection
orthogonale θ est l’angle entre F et le déplacement AB . u ⋅ v = ∥u∥ × ∥v∥ ×
7. Repère orthonormé cos(θ).
F aide le mouvement : θ aigu cos(θ) > 0 et W > 0
8. Bilinéarité
Si u = 0 ou v = 0, on pose
9. Lien avec la norme F perpendiculaire au déplacement : cos(θ) = 0 et W = 0 u ⋅ v = 0.
10. Calcul d’un angle θ = 90∘
11. Quelle formule utiliser F s’oppose au mouvement : θ obtus cos(θ) < 0 et W < 0
12. Exercices corrigés
13. Formules Ce nombre W est le produit scalaire de F et de AB : W = F ⋅ AB .
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Propriétés, colinéarité et orthogonalité
Le résultat est un nombre réel, positif, négatif ou nul. Ce n’est pas un vecteur. Pour mesurer θ, on place les deux vecteurs avec la même origine.
Premières propriétés Colinéarité et orthogonalité
Ces trois faits découlent directement de la définition et servent dans Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs colinéaires ont la même
presque tous les calculs. Symétrie : u · v = v · u ; l’ordre des deux direction. Ils ont le même sens, ou des sens contraires. Même sens : u
vecteurs ne change pas le résultat. Vecteur lui-même : u · u = ||u|| × · v = ||u|| × ||v|| ; θ = 0° et cos(0°) = 1. Sens contraires : u · v = − ||u|| ×
||u|| × cos(0°) = ||u||². Donc u · u = 0 seulement si u est le vecteur nul ; ||v|| ; θ = 180° et cos(180°) = −1. On multiplie les longueurs, puis on
on retrouve aussi la norme par ||u|| = √(u · u). met le signe.
Exemple 2. C est entre A et B, AB = 5 et AC = 3. AB et AC ont le
Attention à ne pas parler du « vecteur u · v » : le produit scalaire même sens, donc AB · AC = 15. AB et CA ont des sens contraires, donc
est un nombre, la norme aussi. AB · CA = −15.
Applications de l’orthogonalité : Si u et v sont non nuls, u · v = 0
Exemple 1. ABC est équilatéral de côté 4. L’angle en A vaut 60°. AB · veut dire cos(θ) = 0, donc θ = 90°. (AB) perpendiculaire à (AC) s’écrit
AC = 4 × 4 × cos(60°) = 16 × 1/2 = 8. AB · AC = 0. Dans un carré ou un rectangle, le produit scalaire de deux
côtés consécutifs est nul. C’est souvent le test qu’on utilise pour
Vecteurs orthogonaux montrer qu’un quadrilatère est un rectangle.
Propriété : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si Exemple 3. ABCD carré de côté 6 : AB · AD = 0. L’angle entre AB et la
u · v = 0. Cela reste vrai si l’un des deux est nul : le vecteur nul est diagonale AC vaut 45°, et AC = 6√2.
orthogonal à tout vecteur.
