Résumé Fonctions à plusieurs variables

Chapitre 15 : Fonctions de Plusieurs Variables Fiche de Révision (Exhaustive)


1. Dérivées Partielles — Produit bilinéaire : d(B(f, g))(a) · h = B(df (a) ·
h, g(a)) + B(f (a), dg(a) · h).
Dans ce chapitre, E et F sont des EVN de dimension
finie. U est un ouvert de E. Théorème (Composition). Si f est différentiable en a et g
en f (a), alors g ◦ f est différentiable en a et :
Définition (Dérivée selon un vecteur). Soit a ∈ U et h ∈ E.
La dérivée de f en a selon le vecteur h est :
d(g ◦ f )(a) = dg(f (a)) ◦ df (a)
f (a + th) − f (a)
Dh f (a) = lim Matriciellement : Jg◦f (a) = Jg (f (a)) × Jf (a).
t→0 t
(C’est la dérivée en 0 de la fonction d’une variable t 7→ Corollaire (Règle de la chaîne).
f (a + th)).
n
Définition (Dérivées partielles). Si E = Rp muni de sa base ∂(g ◦ f ) X ∂g ∂fk
(a) = (f (a)) (a)
canonique (e1 , . . . , ep ), la dérivée selon ej est la j-ième dérivée ∂xj ∂yk ∂xj
k=1
partielle de f en a :
Corollaire (Dérivée le long d’un arc). Si γ : R → E est une
∂f
∂j f (a) = (a) = Dej f (a) courbe et f : E → F , alors à l’instant t :
∂xj

En pratique, on dérive par rapport à xj en considérant toutes (f ◦ γ)′ (t) = df (γ(t)) · γ ′ (t)
les autres variables comme des constantes.
4. Applications de Classe C 1
2. Applications Différentiables
Définition. f est de classe C 1 sur U si elle est différentiable
Théorème (Différentielle et DL d’ordre 1). f est différen-
sur U et si son application différentielle x 7→ df (x) est conti-
tiable en a ∈ U s’il existe une application linéaire La ∈
nue sur U .
L(E, F ) telle que :
Théorème (Caractérisation pratique). f = (f1 , . . . , fn ) est
f (a + h) = f (a) + La (h) + o(∥h∥)
de classe C 1 sur U ⇐⇒ toutes ses fonctions composantes fi
La est unique et est appelée différentielle de f en a, no- admettent des dérivées partielles premières continues sur U .
tée df (a). (Toute application linéaire L est différentiable et Les polynômes et fractions rationnelles sont de classe C 1 sur
dL(a) = L). leur domaine.

Théorème (Lien avec les dérivées partielles). Si f est diffé- Proposition (Gradient en Polaires). Pour F (r, θ) =
rentiable en a, alors elle est continue en a, et elle admet des f (r cos θ, r sin θ) de classe C 1 , le gradient dans la base locale
dérivées selon tout vecteur h. De plus : (ur , uθ ) est :
p ∂F 1 ∂F
X ∂f ∇f = ⃗ur + ⃗uθ
df (a)(h) = Dh f (a) = hj (a) ∂r r ∂θ
j=1
∂xj
Théorème (Propriétés Globales).
Pp ∂f
On note df = i=1 ∂xi dxi .
R1
— Intégrale sur un arc : f (b)−f (a) = 0 df (γ(t))·γ ′ (t)dt.
Définition (Matrice Jacobienne et Jacobien). — Sur un ouvert connexe par arcs, f est constante ⇐⇒
df = 0 partout.
— Matrice Jacobienne Jf (a) : Matrice de df (a) relative
∂fi
aux bases de E et F . Son terme générique est ∂x j
(a) (ligne
i, colonne j). 5. Vecteurs Tangents
— Jacobien jf (a) : Si E = F (matrice carrée), c’est le dé-
terminant de la matrice jacobienne. Théorème (Espace tangent à un niveau). Soit f : U → R et
Z(f ) = {x ∈ U | f (x) = 0} la surface de niveau. Si a ∈ Z(f )
Définition (Gradient). Si E est un espace euclidien et f
est tel que df (a) ̸= 0 (le gradient est non nul), alors l’espace
est à valeurs dans R, on identifie la forme linéaire df (a) à un
tangent à Z(f ) en a est :
unique vecteur noté ∇a f tel que :

∀h ∈ E, df (a)(h) = (∇a f | h) Ta Z(f ) = ker df (a) = (∇a f )⊥
Pp ∂f
Dans une BON : ∇a f = i=1 ∂x (a)ei . Géométrie : le gra- Le gradient est donc un vecteur normal à la surface.
i
dient indique la direction de plus grande pente.
Corollaire (Plan tangent à un graphe z = f (x, y)). Pour le
graphe d’une fonction, le plan tangent au point (x0 , y0 , z0 ) a
3. Opérations et Composition pour équation :
Proposition (Opérations usuelles).
∂f ∂f
— Somme : d(λf + µg)(a) = λdf (a) + µdg(a). Z − z0 = (x0 , y0 )(X − x0 ) + (x0 , y0 )(Y − y0 )
∂x ∂y

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