Résumé Variables aléatoires

Chapitre 11 : Variables Aléatoires CPGE - Fiche de révision


1. Loi d’une Variable Aléatoire — Bernoulli B(p) : Modélise un succès/échec. X(Ω) =
{0, 1}. P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 − p.
Dans ce chapitre, (Ω, T , P ) est un espace probabilisé. — Binomiale B(n, p) : Nombre de succès de n épreuves de
Bernoulli indépendantes. X(Ω) = [[0, n]].
Définition (Variable Aléatoire Discrète (VAD)). Une va-
riable aléatoire discrète X est une application de (Ω, T ) dans
 
n k
un ensemble F telle que : P (X = k) = p (1 − p)n−k
k
— X(Ω) est un ensemble au plus dénombrable.
— ∀x ∈ X(Ω), X −1 ({x}) ∈ T (i.e. {X = x} est un événe- — Géométrique G(p) : Rang du 1er succès d’une suite in-
ment). finie d’épreuves de Bernoulli. X(Ω) = N∗ .

Conséquence : Pour toute partie B ⊆ F , {X ∈ B} ∈ T . ∀k ≥ 1, P (X = k) = (1 − p)k−1 p
Définition (Loi de probabilité et Répartition). C’est la seule loi discrète sans mémoire : P (X > k + n |
— Loi PX : C’est la probabilité définie sur F par PX (B) = X > n) = P (X > k).
P (X ∈ B). Elle est entièrement déterminée par la donnée — Poisson P(λ) : Modélise les événements rares (limite de
des probabilités élémentaires P (X = x). la Binomiale). X(Ω) = N.
— Équirépartition (X ∼ Y ) : X et Y ont la même loi
λk
(PX = PY ). ∀k ∈ N, P (X = k) = e−λ
— Fonction de répartition FX : Si F = R, FX (x) = k!
P (X ≤ x). Elle est croissante, continue à droite, de limite Théorème (Stabilité par somme de v.a. indépendantes).
0 en −∞ et 1 en +∞. Pn
— Somme de Bernoulli : P i=1 B(p) = B(n,P p).
Théorème (Fonction d’une variable aléatoire). Si X est une — Somme de BinomialesP : B(n i , p) =
P B( ni , p).
VAD à valeurs dans F , et f : F → G une fonction, alors f (X) — Somme de Poisson : P(λi ) = P( λi ).
est une VAD. De plus, si X ∼ Y , alors f (X) ∼ f (Y ).
4. Moments (Espérance, Variance)
2. Couples et Indépendance 1
Définition (Espérance dansP L ). X est d’espérance finie (on
Définition (Loi conjointe et Lois marginales). Soit Z = note X ∈ L1 ) si la série xn P (X =Pxn ) converge abso-
(X, Y ) un couple de VAD. lument. Son espérance estP+∞E(X) = xn P (X = xn ). Si
X(Ω) ⊆ N, on a E(X) = n=1 P (X ≥ n).
— Loi conjointe : P ((X, Y ) = (xi , yj )) = pi,j .
— Lois marginales : Lois de X et de Y seules. On les re- Théorème (ThéorèmeP du Transfert). Pour toute fonction f ,
trouve avec la formule des probabilités totales : f (X) ∈ L1 ssi la série f (xn )P (X = xn ) converge absolu-
X ment. Dans ce cas :
P (X = xi ) = P ((X, Y ) = (xi , yj )) +∞
X
j
E(f (X)) = f (xn )P (X = xn )
n=0
Définition (Loi conditionnelle). Si P (B) > 0, la loi condi-
tionnelle de X sachant B est donnée par P (X ∈ A | B) = Proposition (Propriétés de l’Espérance).
P ({X∈A}∩B)
P (B) . — Linéarité : E(aX + Y ) = aE(X) + E(Y ). (L1 est un ev).
— Croissance et Positivité : Si X ≥ 0, E(X) ≥ 0.
Définition (Variables aléatoires indépendantes).
— Si X ≥ 0 et E(X) = 0, alors X = 0 presque sûrement.
— 2 variables (X ⊥ ⊥ Y ) : ∀(A, B), P (X ∈ A, Y ∈ B) = — Si X ⊥⊥ Y , alors E(XY ) = E(X)E(Y ).
P (X ∈ A)P (Y ∈ B). La loi du couple est le produit des
lois marginales. Définition (Variance dans L2 ). L2 est l’espace vectoriel des
— Famille mutuellement indépendante : Pour toute VAD telles que E(X 2 ) < +∞. La variance p est V (X) =
sous-partie finie, la probabilité de l’intersection est le pro- E((X −E(X))2 ). L’écart-type est σ(X) = V (X). Formule
duit des probabilités. de Kœnig-Huyghens : V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 .

Théorème (Propriétés de l’indépendance). Théorème (Propriétés Variance et Covariance).
— V (aX + b) = a2 V (X).
— Fonctions : Si X ⊥ ⊥ Y , alors f (X) ⊥
⊥ g(Y ).
— Cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y ))) = E(XY ) −
— Lemme des coalitions : Des fonctions dépendant
E(X)E(Y ). P
de blocs disjoints de VAD mutuellement indépendantes P P
— V ( Xk ) = V (Xk ) + 2 i<j Cov(Xi , Xj ).
forment de nouvelles VAD mutuellement indépendantes.
— Si lesPXi sont P
2 à 2 indépendantes : Cov(Xi , Xj ) = 0
— Bernoulli : Une suite de VAD de Bernoulli est indépen-
et V ( Xk ) = V (Xk ).
dante ⇐⇒ les événements {Xn = 1} le sont.
Théorème (Formulaire Espérance / Variance).
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3. Lois Discrètes Usuelles — U([[1, n]]) : E(X) = n+1 n −1
2 ; V (X) = 12
— B(p) : E(X) = p ; V (X) = p(1 − p)
Proposition (Lois Fondamentales). — B(n, p) : E(X) = np ; V (X) = np(1 − p)
— Uniforme U([[1, n]]) : Modélise un tirage équiprobable. — G(p) : E(X) = p1 ; V (X) = 1−p
p2
X(Ω) = [[1, n]]. ∀k, P (X = k) = n1 . — P(λ) : E(X) = λ ; V (X) = λ


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