Résumé Séries entières

Chapitre 06 : Séries Entières CPGE - Fiche de Révision


1. Définition & Lemme d’Abel 4. Continuité de la Somme
an z n converge norma-
P
Définition (Série entière). Soit (an ) une suite de nombres Théorème (Continuité). La série
complexes. La série entière associée est la série de fonctions lement sur tout compact non vide inclus dans son disque
an z n (où z ∈ C ou x ∈ R). an est le n-ième coefficient. Un
P
ouvert de convergence. Sa fonction somme S est donc conti-
polynôme est un cas particulier de série entière (coefficients nue sur ] − ρ, ρ[.
nuls apcr).
Théorème (Théorème d’Abel Radial). Si la série numérique
an z n
P
Théorème (Lemme d’Abel (Fondamental)). Soit an ρn converge, alors la fonction somme S(x) est continue
P
∗
une série entière et z0 ∈ C . Si la suite numérique (an z0n ) sur [0, ρ] (en particulier continue à gauche en ρ) :
est bornée,
P alors pour tout complexe z tel que |z| < |z0 |,
+∞ +∞
la série an z n est absolument convergente. En effet, X X
an z n = O(|z/z0 |n ) qui est le terme général d’une série géo- lim− an xn = an ρn
x→ρ
métrique convergente. n=0 n=0

Définition (Rayon de convergence ρ). On définit le rayon de (Résultat analogue en −ρ).
convergence ρ ∈ R+ ∪ {+∞} par :
ρ = sup{r ∈ R+ | (an rn ) est bornée} 5. Dérivation et Intégration
Théorème (Les 3 caractérisations de ρ). On peut définir P+∞
Soit S(x) = n=0 an xn sur ] − ρ, ρ[.
ρ de trois manières équivalentes :
1. ρ = sup{r ∈ R+ | (an rn ) est bornée}. Théorème (Intégration terme à terme). Une primitive de S
2. ρ = sup{r ∈ R+ | an rn −−−−→ 0}. sur ] − ρ, ρ[ s’obtient en intégrant terme à terme :
n→∞
3. ρ = sup{r ∈ R+ | an rn converge}.
P
x +∞
xn+1
Z X
∀x ∈] − ρ, ρ[, S(t)dt = an
Théorème (Disque de convergence). Soit ρ > 0 le rayon 0 n+1
n=0
de convergence :
an z n converge absolument. Théorème (Dérivation et Régularité C ∞ ). La fonction S est
P
— Si |z| < ρ : la série
— Si |z| > ρ : la série diverge grossièrement (an z n ̸→ 0). de classe C ∞ sur ] − ρ, ρ[. On obtient ses dérivées successives
— Si |z| = ρ : Cas douteux (tout est possible). en dérivant terme à terme :
Le disque ouvert de convergence est D(0, ρ) = {z ∈ C | +∞
X n!
|z| < ρ}. L’intervalle de convergence réel est ] − ρ, ρ[. ∀k ∈ N∗ , S (k) (x) = an xn−k
(n − k)!
n=k

2. Calcul du Rayon de Convergence Corollaire (Unicité et lien avec Taylor). Les coefficients de
la série entière sont uniquement déterminés par la fonction
an z n .
P
Théorème (Recherche par comparaison). Soit somme via la formule de Taylor :
n n
P
— Si an z0 converge (ou si la suite an z0 est bornée, ou
tend vers 0), alors ρ ≥ |z0 |. S (n) (0)
∀n ∈ N, an =
an z1n diverge (ou si la suite an z1n n’est pas bornée,
P
— Si n!
ou ne tend pas vers 0), alors ρ ≤ |z1 |.
Proposition (Opérations de comparaison). Soient
P
an z n 6. Fonctions DSE
n
P
(ρa ) et bn z (ρb ).
Définition (DSE). Une fonction f est développablePen sé-
— Si an = O(bn ) ou an = o(bn ), alors ρa ≥ ρb .
rie entière (DSE) sur ] − r, r[ s’il existe une série an xn
— Si an ∼ bn , alors ρa = ρb .
convergeant vers f (x) sur cet intervalle. Si c’est le cas, c’est
Proposition (Invariants de dérivation/intégration). Les sé- P f (n) (0) n
obligatoirement sa Série de Taylor : n! x .
ries entières suivantes ont exactement le même rayon de
convergence ρ : Théorème (Caractérisation par le Reste). f ∈ C ∞ (] − ρ, ρ[)
X X X an est DSE si et seulement si le reste de Taylor-Lagrange
an z n , nan z n−1 , z n+1 converge simplement vers 0 :
n+1
Multiplier par un scalaire ou changer an en |an | ne change XN
f (n) (0) n
pas non plus le rayon. RN (x) = f (x) − x −−−−→ 0
n=0
n! N →∞


3. Opérations Contre-exemple standard : f (x) = e−1/x si x ̸= 0 et
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f (0) = 0. Elle est C ∞ , sa série de Taylor est nulle, mais
an z n (ρ) et bn z n (ρ′ ). Le
P P
Théorème (Somme).PSoient f n’est pas nulle sur un voisinage de 0.
rayon R de la somme (an + bn )z vérifie R ≥ min(ρ, ρ′ ). Si
n

ρ ̸= ρ′ , alors R = min(ρ, ρ′ ). Sur le disque commun, la somme Théorème (Condition Suffisante (Majoration)). Si f ∈
des séries est la série des sommes. C ∞ (] − a, a[) et s’il existe M > 0 et ρ > 0 tels que :
Théorème (Produit de Cauchy). Le produit P de Cauchy de n!
n n ′ n ∀x ∈] − a, a[, ∀n ∈ N, |f (n) (x)| ≤ M
P P
Pn na z (ρ) et b n z (ρ ) est la série c n z avec cn = ρn
′′ ′′ ′
a b
k=0 k n−k . Son rayon R vérifie R ≥ min(ρ, ρ ). Sur
|z| < min(ρ, ρ′ ), on a cn z n = ( an z n )( bn z n ).
P P P
Alors f est DSE sur ] − min(a, ρ), min(a, ρ)[.


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