Résumé Suites et séries numériques

Chapitre 01 : Suites et Séries Numériques Fiche de Révision (Exhaustive)


1. Suites Numériques (Rappels) 3. Séries à Termes Positifs (STP)
Définition (Vocabulaire des suites). Théorème (Critère de majoration). La suite (Sn ) des
sommes partielles d’une STP est croissante. PUne STP
— Majorée : ∃M ∈ R, ∀n ∈ J, un ≤ M . +∞
converge ⇐⇒ (Sn ) est majorée. Dans ce cas, n=0 un =
— Bornée : À la fois majorée et minorée.
supn∈N Sn .
— Convergente : ∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀n ≥ nε , |un − ℓ| ≤ ε. P
Proposition (Critères de Comparaison). Soient un et
Toute suite convergente est bornée. Si |u| converge, on ne P
vn avec vn > 0.
peut rien dire de u en général (sauf si limite nulle). P
— Domination (O P ou ≤) : Si un = O(vn ) et vn
Théorème (Théorème de la Limite Monotone). Toute suite converge, alors un converge.
P
croissante et majorée est convergente. — Divergence
P : Si un ≥ 0, un diverge et un = O(vn ),
alors vn diverge.
Théorème (Suites Adjacentes). Deux suites réelles (un ) et — Équivalence : Si un ∼ vn , les deux séries sont de même
(vn ) sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre est décrois- nature.
sante, et lim(vn − un ) = 0. Conséquence : Elles convergent P 1
Théorème (Séries de Riemann). La série nα converge
vers une limite commune.
⇐⇒ α > 1.
Définition (Relations de comparaison). Soit (vn ) une suite Théorème (Comparaison Série-Intégrale). Soit f :
ne s’annulant pas à partir d’un certain rang. [0, +∞[→ R continue par morceaux, positive et décrois-
— Domination (O) : u = O(v) ⇐⇒ ∃M > 0, |un | ≤ sante.
Rn
M |vn | apcr ⇐⇒ (un /vn ) est bornée. 1. La série wn = n−1 f (t)dt − f (n) converge.
— Négligeabilité (o) : u = o(v) ⇐⇒ ∀ε > 0, |un | ≤ ε|vn | 2.
P R +∞
f (n) converge ⇐⇒ l’intégrale 0 f (t)dt converge.
apcr ⇐⇒ un /vn → 0.
— Équivalence (∼) : u ∼ v ⇐⇒ u = v + o(v) ⇐⇒ Théorème (Règle de d’Alembert). Soit un > 0. Si
un /vn → 1. lim uun+1
n
=ℓ:
— ℓ < 1 =⇒ Convergence.
Proposition (Opérations sur les O, o, ∼). Pour vn > 0 : — ℓ > 1 =⇒ Divergence (grossière).
— u = o(v) =⇒ u = O(v). — ℓ = 1 =⇒ Cas douteux (ne rien conclure).
— Si v → 0 et u = O(v), alors u → 0.
— Si u → +∞ et u = O(v), alors v → +∞. 4. Sommation des Relations
— Si u ∼ v, alors u et v sont de même nature (même limite).
Hypothèse : an ≥ 0 et bn ≥ 0.
Théorème (Lemme de Césaro). Si une suite (un ) converge P
Théorème (Cas Divergent (Sommes partielles)). Soit an
vers ℓ (finie
Pn ou infinie), alors la suite des moyennes de Césaro divergente.
vn = n1 k=1 uk converge également vers ℓ. Pn
— Si P un = O(an ) (resp. o(an )), alors k=0 uk =
n
O( k=0 ak ) (resp.Po).
n Pn
2. Séries Numériques — Si un ∼ an , alors k=0 uk ∼ k=0 ak .
P
Définition (Série, Somme et Reste). Théorème (Cas Convergent (Restes)). Soit an conver-
gente.
— Série
Pn : La suite (SP n ) des sommes partielles Sn = — Si un = O(an ) (resp. o(an )), la série
P
un converge et
k=0 u k . On la note
P un . Rn (u) = O(Rn (a)) (resp. o).
— Convergence : un converge ⇐⇒
P+∞ limn→∞ Sn existe — Si un ∼ an , alors Rn (u) ∼ Rn (a).
et est finie. On note la somme S = n=0 un .
P+∞
— Reste : Si la série converge, Rn = k=n+1 uk .
5. Séries Alternées Absolue CV
Lemme (Propriétés de base). P
P Définition (Convergence absolue). un converge absolu-
— SiP un P converge, alors limn→∞ Rn = 0. P
ment si la série |un | converge.
— un et n≥n0 un sont de même nature.
— L’ensemble des séries convergentes est un K-espace vecto- Théorème (Lien CV / CV Absolue). Toute série absolument
riel. L’application somme est linéaire. convergente est convergente.
P +∞
X +∞
X
Théorème (Condition Nécessaire de CV). Si un converge, un ≤ |un |
alors lim un = 0. Corollaire (Divergence Grossière) : Si n=0 n=0
un ̸→ 0, la série diverge.
Théorème (Critère Spécial des Séries Alternées). Soit une
Lemme (Série Géométrique). Soit q ∈ K. La P série
P n
q série un = (−1)n an avec an ≥ 0. Si la suite (an ) est décrois-
+∞ n
converge ⇐⇒ |q| < 1. Si |q| < 1, la somme vaut n=0 q = sante et tend vers 0 :
1
P
1−q .
1. La série un converge (souvent semi-convergente).
2. La somme est comprise entre deux sommes partielles
Définition
P (Série Télescopique). Pour toute suite (un ), consécutives.
(un − un+1 P) converge ⇐⇒ (un ) converge. En cas de 3. Le reste Rn est du signe de un+1 et vérifie |Rn | ≤
+∞
convergence : n=0 (un − un+1 ) = u0 − limn→∞ un . |un+1 | = an+1 .


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