Résumé Intégrales impropres

Chapitre 08 : Intégrales Impropres CPGE - Fiche de Révision


1. Fonctions CPM et primitives Théorème (Critères de Comparaison). Soient f, g ∈
CM ([a, b[, R+ ).
Définition (Continuité par morceaux (cpm)). R
— Inégalité (0R ≤ fR ≤ g) R: Si g converge,
R
R alors f
— Sur un segment [a, b] : Il existe une subdivision a = x0 < converge (et f ≤ g). Si f diverge, alorsR g diverge.
x1 < · · · < xn = b telle que f est continue sur chaque — Domination (f = Ob (g) ou f = ob (g)) : Si g converge,
]xk , xk+1 [ et admet des limites finies aux bornes.
R
alors f converge.
— Sur un intervalle I quelconque : f est cpm si sa restriction
R R
— Équivalence (f ∼b g) : f et g sont de même na-
à tout segment inclus dans I est cpm. ture.
L’ensemble CM (I, K) est une algèbre (stable par somme et
Théorème (Comparaison Série-Intégrale). Soit f :
produit).
[0, +∞[→ R+ continue par morceaux, positiveRn et décrois-
Proposition (Propriétés fondamentales). Rx Soit f ∈ sante. Alors la série de terme général un = n−1 f (t)dt−f (n)
CM (I, K) et a ∈ I. La fonction F (x) = a f (t)dt vérifie : converge. De plus :
P
f (n) converge ⇐⇒
R +∞
f (t)dt
0
— F est continue sur I. converge.
— F est dérivable à gauche et à droite avec Fg′ (x) =
limt→x− f (t) et Fd′ (x) = limt→x+ f (t).
— F est dérivable en tout point de continuité de f .
5. Intégrabilité (L1 )
Définition (Intégrabilité). Soit f ∈ CM (I, K). On dit que f
2. Convergence et Divergence est intégrable (ou que son Rintégrale est absolument conver-
gente) sur I si l’intégrale I |f | est convergente. On note
Définition (Convergence d’une intégrale). Soit f ∈ L1 (I, K) l’espace vectoriel de ces fonctions.
CM ([a, b[, K) avec b ∈ R ∪ {+∞}. L’intégrale impropre
Rb Rx Théorème (Convergence Absolue). Toute intégrale absolu-
a
f (t)dt est dite convergente si la fonction x 7→ a f (t)dt
ment convergente est convergente :
admet une limite finie quand x → b− . On note alors :
Z
Z b Z x
f ∈ L1 (I, K) =⇒ f (t)dt converge.
f (t)dt = lim− f (t)dt I
a x→b a R R
Sinon, l’intégrale est dite divergente. Si le problème se pose Inégalité triangulaire : I
f ≤ I
|f |.
aux deux bornes a et b, l’intégrale converge ⇐⇒ elle converge Attention : L’inverse est faux. Exemple classique : l’in-
en a ET en b (pour tout c ∈]a, b[).
R +∞ sin t
tégrale de Dirichlet 0 t dt converge mais n’est pas inté-
Proposition (Dérivation de l’intégrale fuyante). Soit f grable (la fonction n’est pas dans L1 ).
R +∞
continue sur [a, +∞[ telle que a f converge. Alors la fonc- Théorème (Caractérisation par les segments). f ∈
R +∞ Rb
tion x 7→ x f (t)dt est dérivable sur [a, +∞[ et sa dérivée L1 (I, K) ⇐⇒ ∃M ≥ 0, ∀[a, b] ⊂ I, a |f (t)|dt ≤ M .
vaut −f (x).
Théorème (Comparaison des fonctions de signe quel-
conque). Soient f ∈ CM ([a, b[, K) et g ∈ CM ([a, b[, R+ ). Si
3. Intégrales de Référence f = Ob (g), f = ob (g), ou |f | ≤ g, et si g ∈ L1 , alors f ∈ L1 .
Théorème (Intégrales de Riemann).
R +∞ dt 6. Intégration des Equivalents/O/o
— En +∞ : 1 ta converge ⇐⇒ a > 1.
1
(Dans ce cas, elle vaut a−1 ). Soient f (à valeurs dans C) et g (à valeurs dans R+ ) cpm
R 1 dt
— En 0 : 0 ta converge ⇐⇒ a < 1. sur [a, b[.
1
(Dans ce cas, elle vaut 1−a ).
Théorème (Intégration des relations de comparaison).
R +∞
Théorème (Intégrale Exponentielle). 0 e−at dt converge
Rb
— Si a g(t)dt CONVERGE (on Rintègreles restes) :
⇐⇒ a > 0. Rb b
f = Ob (g) =⇒ x f (t)dt = Ob x g(t)dt
(Dans ce cas, elle vaut a1 ).
R1 (Valable à l’identique pour ob et ∼b ).
Rb
Théorème (Logarithme). L’intégrale 0 ln(t)dt est conver- — Si a g(t)dt DIVERGE (on intègre les sommes par-
gente et vaut −1. tielles) : Rx Rx

Proposition (Intégrabilité en un point a). Soit α ∈ R. La f = Ob (g) =⇒ a f (t)dt = Ob a g(t)dt
1
fonction x 7→ |x−a| α est intégrable en a ⇐⇒ α < 1.
(Valable à l’identique pour ob et ∼b ).


4. Fonctions Positives 7. Outils de Calcul

Hypothèse : Les fonctions sont réelles et à valeurs positives Théorème (Intégration par parties (IPP) généralisée).
(f ≥ 0). Soient f, g de classe C 1 sur ]a, b[. Si le produit f g admet des
Rb
limites finies en a et en b, alors les intégrales a f ′ (t)g(t)dt et
Théorème (Majoration de la primitive). Si f ≥ 0, la Rb
Rx Rb a
f (t)g ′ (t)dt sont de même nature. En cas de convergence :
fonction F (x) = a f (t)dt est croissante. L’intégrale a f
converge si et seulement si F est majorée (bornée) sur Z b Z b
Rb
[a, b[. Si f diverge, on note a f = +∞. f (t)g ′ (t)dt = lim f (t)g(t) − lim f (t)g(t) − f ′ (t)g(t)dt
a t→b t→a a


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