Chapitre 05 : Réduction des Endomorphismes CPGE - Fiche de Révision
1. Éléments Propres Théorème (Racines et Multiplicité).
— Les racines de χu dans K sont exactement les valeurs
Dans ce chapitre, E est un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). propres de u.
Définition (Valeurs et Vecteurs Propres). — Ordre de multiplicité (mλ ) : Multiplicité de λ en tant
que racine de χu .
— Valeur propre (vp) : λ ∈ K tel que ∃x ∈ E \{0}, u(x) =
— Majoration fondamentale : 1 ≤ dim Eλ (u) ≤ mλ .
λx. L’ensemble des valeurs propres est le spectre de u,
noté SpK (u).
— Vecteur propre : x ∈ E \ {0} tel que ∃λ ∈ K, u(x) = λx. 3. Polynômes d’Endomorphismes
Le vecteur nul n’est jamais propre.
— Équivalence matricielle : λ ∈ Sp(M ) ⇐⇒ ∃X ̸= Définition (Morphismes d’algèbres). L’application φu :
0, M X = λX. Sp(u) = Sp(Me (u)). P 7→ P (u) est un morphisme d’algèbres de K[X] dans L(E).
L’image Im φu = K[u] est la plus petite sous-algèbre (tou-
Théorème (Propriétés fondamentales du Spectre). jours commutative) contenant u. Le noyau Ker φu est
— Similitude : Deux matrices semblables ont le même l’idéal annulateur de u. Ses éléments sont les polynômes
spectre. annulateurs de u.
— Extension de corps : Si K ⊂ K′ (ex : R ⊂ C),
Théorème (Polynôme minimal µu ). En dimension finie,
SpK (M ) ⊆ SpK′ (M ). (Il est possible que SpR (M ) = ∅
l’idéal annulateur n’est pas réduit à {0}. Il est engendré par
mais SpC (M ) ̸= ∅).
un unique polynôme unitaire appelé polynôme minimal et
— Caractérisation : λ ∈ Sp(u) ⇐⇒ ker(u − λid) ̸=
noté µu . Ker φu = µu K[X].
{0} ⇐⇒ u − λid non injectif.
— Pour une matrice : λ ∈ Sp(M ) ⇐⇒ M − λIn ∈ / Proposition (Dimension de K[u). ]Ennotantd = deg(µu ),
GLn (K) ⇐⇒ rg(M − λIn ) < n. la dimension de l’algèbre K[u] est d, et la famille
(id, u, u2 , . . . , ud−1 ) en est une base.
Corollaire (Inversibilité). M ∈ GLn (K) ⇐⇒ 0 ∈
/ Sp(M ).
Lemme (Action sur un vecteur propre). Si x ∈ Eλ (u), alors
Définition (Espaces propres). Le sous-espace vectoriel
pour tout P ∈ K[X], P (u)(x) = P (λ)x. Si P est un polynôme
propre de u associé à λ est :
annulateur, alors P (λ) = 0.
Eλ (u) = Ker(u − λid) Théorème (Racines de µu ). Les racines du polynôme mini-
mal µu sont exactement les valeurs propres de u.
Théorème (Stabilité et Somme Directe).
— Les sous-espaces propres de u sont stables par tout en- Théorème (Stabilité). Pour tout polynôme P , Ker P (u) et
domorphisme v commutant avec u. Im P (u) sont stables par u. De plus, si F est stable, µuF | µu .
— Les sous-espaces propres associés à des vp distinctes sont
Théorème (Cayley-Hamilton). Le polynôme caractéristique
en somme directe.
est un polynôme annulateur : χu (u) = 0. Conséquence di-
— Toute famille de vecteurs propres associés à des vp dis-
recte : µu divise χu .
tinctes est libre.
P
En conséquence, en dimension n, λ∈Sp(u) dim Eλ (u) ≤ n. Théorème (Lemme des Noyaux). Si P1 , P2 , . . . , Pk sont des
Un endomorphisme a au plus n valeurs propres distinctes. polynômes premiers entre eux deux à deux, alors :
k
M
2. Polynôme Caractéristique Ker((P1 . . . Pk )(u)) = Ker(Pi (u))
i=1
Définition (Polynôme caractéristique χA ). Pour A ∈
Mn (K), χA (X) = det(XIn − A). C’est un polynôme uni- 4. Diagonalisation
taire de degré n. Pour u ∈ L(E), χu = χMe (u) (indépendant
de la base). Définition (Diagonalisabilité). u (resp. A) est diagonalisable
s’il existe une base de E (resp. une matrice inversible P ) dans
Proposition (Propriétés de base).
laquelle sa matrice est diagonale. C’est équivalent à dire
— χA = χA⊤ . qu’il existe une base de E constituée uniquement de vecteurs
— Deux matrices semblables ont le même polynôme carac- propres.
téristique. (La réciproque est fausse).
Théorème (Les 4 Caractérisations). Les assertions suivantes
Théorème (Coefficients de χu ). sont équivalentes en dimension finie n :
χu (X) = X n − Tr(u)X n−1 + · · · + (−1)n det(u) 1. u est diagonalisable.
2. E estLla somme (directe) de ses sous-espaces propres :
Théorème (Matrice compagnon). Le polynôme P = X n + E = λ∈Sp(u) Eλ (u).
Pn−1 k
P
k=0 ak X est le polynôme caractéristique de sa matrice 3. λ∈Sp(u) dim Eλ (u) = n.
compagnon (des 1 sur la sous-diagonale, et −ak sur la dernière 4. χu est scindé dans K ET pour toute valeur propre λ,
colonne). Tout polynôme unitaire est le polynôme caractéris- dim Eλ (u) = mλ .
tique d’une matrice.
Théorème (Caractérisation par les polynômes). Un endo-
Théorème (Divisibilité et Stabilité). Si F est un sous-espace morphisme est diagonalisable ⇐⇒ il annule un polynôme
stable par u, alors le polynôme caractéristique de l’endomor- scindé à racines simples ⇐⇒ son polynôme
Q minimal µu est
phisme induit divise celui de u : χuF | χu . scindé à racines simples. (µu = λ∈Sp(u) (X − λ)).
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1. Éléments Propres Théorème (Racines et Multiplicité).
— Les racines de χu dans K sont exactement les valeurs
Dans ce chapitre, E est un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). propres de u.
Définition (Valeurs et Vecteurs Propres). — Ordre de multiplicité (mλ ) : Multiplicité de λ en tant
que racine de χu .
— Valeur propre (vp) : λ ∈ K tel que ∃x ∈ E \{0}, u(x) =
— Majoration fondamentale : 1 ≤ dim Eλ (u) ≤ mλ .
λx. L’ensemble des valeurs propres est le spectre de u,
noté SpK (u).
— Vecteur propre : x ∈ E \ {0} tel que ∃λ ∈ K, u(x) = λx. 3. Polynômes d’Endomorphismes
Le vecteur nul n’est jamais propre.
— Équivalence matricielle : λ ∈ Sp(M ) ⇐⇒ ∃X ̸= Définition (Morphismes d’algèbres). L’application φu :
0, M X = λX. Sp(u) = Sp(Me (u)). P 7→ P (u) est un morphisme d’algèbres de K[X] dans L(E).
L’image Im φu = K[u] est la plus petite sous-algèbre (tou-
Théorème (Propriétés fondamentales du Spectre). jours commutative) contenant u. Le noyau Ker φu est
— Similitude : Deux matrices semblables ont le même l’idéal annulateur de u. Ses éléments sont les polynômes
spectre. annulateurs de u.
— Extension de corps : Si K ⊂ K′ (ex : R ⊂ C),
Théorème (Polynôme minimal µu ). En dimension finie,
SpK (M ) ⊆ SpK′ (M ). (Il est possible que SpR (M ) = ∅
l’idéal annulateur n’est pas réduit à {0}. Il est engendré par
mais SpC (M ) ̸= ∅).
un unique polynôme unitaire appelé polynôme minimal et
— Caractérisation : λ ∈ Sp(u) ⇐⇒ ker(u − λid) ̸=
noté µu . Ker φu = µu K[X].
{0} ⇐⇒ u − λid non injectif.
— Pour une matrice : λ ∈ Sp(M ) ⇐⇒ M − λIn ∈ / Proposition (Dimension de K[u). ]Ennotantd = deg(µu ),
GLn (K) ⇐⇒ rg(M − λIn ) < n. la dimension de l’algèbre K[u] est d, et la famille
(id, u, u2 , . . . , ud−1 ) en est une base.
Corollaire (Inversibilité). M ∈ GLn (K) ⇐⇒ 0 ∈
/ Sp(M ).
Lemme (Action sur un vecteur propre). Si x ∈ Eλ (u), alors
Définition (Espaces propres). Le sous-espace vectoriel
pour tout P ∈ K[X], P (u)(x) = P (λ)x. Si P est un polynôme
propre de u associé à λ est :
annulateur, alors P (λ) = 0.
Eλ (u) = Ker(u − λid) Théorème (Racines de µu ). Les racines du polynôme mini-
mal µu sont exactement les valeurs propres de u.
Théorème (Stabilité et Somme Directe).
— Les sous-espaces propres de u sont stables par tout en- Théorème (Stabilité). Pour tout polynôme P , Ker P (u) et
domorphisme v commutant avec u. Im P (u) sont stables par u. De plus, si F est stable, µuF | µu .
— Les sous-espaces propres associés à des vp distinctes sont
Théorème (Cayley-Hamilton). Le polynôme caractéristique
en somme directe.
est un polynôme annulateur : χu (u) = 0. Conséquence di-
— Toute famille de vecteurs propres associés à des vp dis-
recte : µu divise χu .
tinctes est libre.
P
En conséquence, en dimension n, λ∈Sp(u) dim Eλ (u) ≤ n. Théorème (Lemme des Noyaux). Si P1 , P2 , . . . , Pk sont des
Un endomorphisme a au plus n valeurs propres distinctes. polynômes premiers entre eux deux à deux, alors :
k
M
2. Polynôme Caractéristique Ker((P1 . . . Pk )(u)) = Ker(Pi (u))
i=1
Définition (Polynôme caractéristique χA ). Pour A ∈
Mn (K), χA (X) = det(XIn − A). C’est un polynôme uni- 4. Diagonalisation
taire de degré n. Pour u ∈ L(E), χu = χMe (u) (indépendant
de la base). Définition (Diagonalisabilité). u (resp. A) est diagonalisable
s’il existe une base de E (resp. une matrice inversible P ) dans
Proposition (Propriétés de base).
laquelle sa matrice est diagonale. C’est équivalent à dire
— χA = χA⊤ . qu’il existe une base de E constituée uniquement de vecteurs
— Deux matrices semblables ont le même polynôme carac- propres.
téristique. (La réciproque est fausse).
Théorème (Les 4 Caractérisations). Les assertions suivantes
Théorème (Coefficients de χu ). sont équivalentes en dimension finie n :
χu (X) = X n − Tr(u)X n−1 + · · · + (−1)n det(u) 1. u est diagonalisable.
2. E estLla somme (directe) de ses sous-espaces propres :
Théorème (Matrice compagnon). Le polynôme P = X n + E = λ∈Sp(u) Eλ (u).
Pn−1 k
P
k=0 ak X est le polynôme caractéristique de sa matrice 3. λ∈Sp(u) dim Eλ (u) = n.
compagnon (des 1 sur la sous-diagonale, et −ak sur la dernière 4. χu est scindé dans K ET pour toute valeur propre λ,
colonne). Tout polynôme unitaire est le polynôme caractéris- dim Eλ (u) = mλ .
tique d’une matrice.
Théorème (Caractérisation par les polynômes). Un endo-
Théorème (Divisibilité et Stabilité). Si F est un sous-espace morphisme est diagonalisable ⇐⇒ il annule un polynôme
stable par u, alors le polynôme caractéristique de l’endomor- scindé à racines simples ⇐⇒ son polynôme
Q minimal µu est
phisme induit divise celui de u : χuF | χu . scindé à racines simples. (µu = λ∈Sp(u) (X − λ)).
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