Résumé Intégrales à paramètres

Chapitre 09 : Intégrales à Paramètres CPGE - Fiche de Révision


1. Suites et Séries de Fonctions Alors ∀xR ∈ I, f (x, ·) est intégrable sur J, et la fonction
F : x 7→ J f (x, t)dt est continue sur I.
Dans tout le chapitre, I et J sont des intervalles non vides
de R. Les fonctions sont à valeurs dans K = R ou C. Corollaire (Continuité (Domination Locale)). On peut
remplacer l’hypothèse de domination globale par une domi-
Théorème (Convergence Dominée (TCD)). Soit (fn ) une
nation sur tout segment [a, b] ⊂ I : Pour tout segment
suite de fonctions continues par morceaux (cpm) de I dans
[a, b] ⊂ I, il existe φa,b ∈ L1 (J, R+ ) telle que :
K. On suppose que :
1. Convergence Simple : (fn ) converge simplement sur I ∀(x, t) ∈ [a, b] × J, |f (x, t)| ≤ φa,b (t)
vers une fonction f cpm sur I.
2. Domination : Il existe une fonction φ : I → R+ cpm et Alors F est continue sur I.
intégrable sur I, telle que :
Théorème (Intégrale sur un Segment). Si J = [c, d] est un
∀n ∈ N, ∀t ∈ I, |fn (t)| ≤ φ(t) segment, et si f est continue par rapport au couple (x, t)
Rd
sur I × [c, d], alors F (x) = c f (x, t)dt est continue sur I.
Alors : 1. Les fonctions fn et f sont intégrables sur I.
(Aucune domination n’est à vérifier sur un segment).
2. L’intégrale de la limite est la limite des intégrales :
Z Z
lim fn (t)dt = f (t)dt 3. Dérivabilité (Règle de Leibniz)
n→+∞ I I

Corollaire (TCD - Paramètre continu). Ce théorème Théorème (Dérivation sous l’intégrale). Soit f : I ×J → K.
s’étend à une famille (fλ )λ∈J avec λ → b (borne de l’intervalle On suppose que :
λ→b
J). Si ∀t ∈ I, fλ (t) −−−→ f (t) et s’il existe une domination 1. ∀x ∈ I, t 7→ f (x, t) est cpm et intégrable sur J.
indépendante de λ (|fλ (t)| ≤ φ(t)), alors : 2. ∀t ∈ J, x 7→ f (x, t) est dérivable sur I.
Z Z Z 3. ∀x ∈ I, t 7→ ∂f ∂f
∂x (x, t) est cpm sur J, et ∀t ∈ J, x 7→ ∂x (x, t)
lim fλ (t)dt = lim fλ (t)dt = f (t)dt est continue sur I.
λ→b I I λ→b I 4. Domination de la dérivée : Il existe g ∈ L1 (J, R+ ) telle
Théorème (Intégration Terme à Terme - Cas Positif). Soit que :
(un ) une suite de fonctions cpm de I dans R+ . On suppose ∂f
∀(x, t) ∈ I × J, (x, t) ≤ g(t)
que : ∂x
1. ∀n ∈ N, Pun ≥ 0 et un est intégrable sur I. Alors F (x) = J f (x, t)dt est de classe C 1 sur I et :
R
2. La série un converge simplement sur I vers une fonction
somme S cpm sur I.
Z
′ ∂f
R P+∞  F (x) = (x, t)dt
Alors dans [0, +∞] : I un (t)
P+∞ R
dt = n=0 I un (t)dt. J ∂x
n=0
(La somme S est intégrable ⇐⇒ la série numérique des Corollaire (Dérivation - Domination Locale). Comme pour
intégrales converge). la continuité, on vérifie presque toujours la domination sur
Théorème (Intégration Terme à Terme - Cas Général). tout segment [a, b] ⊂ I. Il suffit que pour tout segment
Soit (un ) une suite de fonctions cpm de I dans K. On sup- [a, b] ⊂ I, il existe ga,b ∈ L1 (J, R+ ) telle que :
pose que :
∂f
1. ∀n ∈ N, P
un est intégrable sur I. ∀(x, t) ∈ [a, b] × J, (x, t) ≤ ga,b (t)
∂x
2. La série un converge simplement sur I vers une fonction
somme S cpm sur I.
Alors F est de classe C 1 sur I.
3. Convergence
P R de la série des normes 1 : La série nu-
mérique I
|un (t)|dt converge. Corollaire (Généralisation à la classe C k ). Si les dérivées
p
Alors la fonction S est intégrable sur I et : partielles ∂∂xfp (jusqu’à l’ordre k) vérifient toutes les propriétés
k
Z X +∞
! +∞ Z
X de continuité, et si la dérivée k-ième ∂∂xfk admet une domina-
un (t) dt = un (t)dt tion locale par une fonction φk ∈ L1 (J, R+ ), alors F est de
I n=0 n=0 I classe C k sur I et :
Z k
∂ f
2. Continuité F (k) (x) = k
(x, t)dt
J ∂x
R
On étudie la fonction F (x) = J
f (x, t)dt définie sur I.
Théorème (Continuité (Domination Globale)). Soit f : 4. Fubini sur un pavé
I × J → K. On suppose que :
Théorème (Théorème de Fubini sur un segment). Soit f
1. ∀x ∈ I, t 7→ f (x, t) est cpm sur J.
une fonction continue sur le pavé [a, b] × [c, d] (à valeurs
2. ∀t ∈ J, x 7→ f (x, t) est continue sur I.
complexes). Alors on peut intervertir l’ordre d’intégration :
3. Domination : Il existe une fonction g : J → R+ cpm et
intégrable sur J telle que : Z b Z d
! Z d Z b
!
f (x, t)dt dx = f (x, t)dx dt
∀(x, t) ∈ I × J, |f (x, t)| ≤ g(t) a c c a



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