Chapitre 10 : Probabilités CPGE - Fiche de révision
1. Dénombrement et Cardinaux Le triplet (Ω, T , P ) est un espace probabilisé.
Définition (Fini et Dénombrable). Théorème (Propriétés fondamentales).
— Ensemble fini : En bijection avec [[1, n]]. n est son car- — P (A) = 1 − P (A) (donc P (∅) = 0).
dinal. (Rappel : Card(P(E)) = 2n ). L’ensemble vide a — Croissance : A ⊆ B =⇒ P (A) ≤ P (B).
pour cardinal 0. — P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
— Ensemble dénombrable : En bijection avec N (on peut — Sous-additivité
S
(Inégalité de Boole) : P ( An ) ≤
"numéroter" ses éléments). Noté ℵ0 . P
P (An ).
— Au plus dénombrable : Fini ou dénombrable.
— Équipotence : Deux ensembles sont équipotents s’il Théorème (Formule de Poincaré (ou Formule du Crible)).
existe une bijection entre eux. !
n n
Théorème (Opérations sur le dénombrable).
[ X X
P Ai = (−1)k−1 P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )
— Toute partie d’un ensemble dénombrable est au plus dé- i=1 k=1 1≤i1 <···<ik ≤n
nombrable.
— Le produit cartésien E × F de deux ensembles dénom- Théorème (Continuité croissante et décroissante).
brables est dénombrable (Ex : N2 , Q).
— Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles (au S∞ croissante : Si An ⊆ An+1 , alors limn→∞ P (An ) =
— Suite
P ( n=0 An ).
plus) dénombrables est (au plus) dénombrable.
— Suite décroissante T∞ : Si An+1 ⊆ An , alors
Théorème (Ensembles non dénombrables). Les ensembles limn→∞ P (An ) = P ( n=0 An ).
suivants ne sont pas dénombrables (puissance du continu
c) : R, l’ensemble des parties P(N), et l’ensemble des suites Définition (Vocabulaire d’une issue).
binaires {0, 1}N . — Négligeable : P (A) = 0. (L’union dénombrable d’événe-
ments négligeables est négligeable).
2. Espaces Probabilisables (Tribus) — Presque sûr (ou certain) : P (A) = 1. (L’intersection
dénombrable d’événements presque sûrs est presque sûre).
Définition (Traduction Ensembliste ↔ Probabiliste). Soit
Ω l’univers (toutes les issues possibles). Théorème (Probabilité sur un espace dénombrable). Toute
— ω ∈ Ω : Événement atomique (une issue). probabilité sur un ensemble dénombrable est entièrement ca-
— A ⊆ Ω : Événement. ractérisée par sa valeur sur les singletons :
— A ∪ B : Réalisation de A ou B. X
— A ∩ B : Réalisation simultanée de A et B. ∀A ⊆ Ω, P (A) = P ({ω})
ω∈A
— A = Ω \ A : Événement contraire (non-A).
— A ∩ B = ∅ : Événements incompatibles (disjoints).
— A ⊆ B : A implique B. 4. Conditionnement et Indépendance
Définition (Limites d’événements). Pour une suite d’évé-
nements (An )n∈N : Définition (Probabilité Conditionnelle). Si P (B) > 0, la
T∞ S∞ probabilité de A sachant B est :
— lim sup An = n=0 k=n Ak : Réalisation d’une infinité
d’événementsSparmi les An . P (A ∩ B)
∞ T∞
— lim inf An = n=0 k=n Ak : Réalisation de tous les évé- PB (A) = P (A | B) =
P (B)
nements An à partir d’un certain rang.
Définition (Tribu). Une tribu T sur Ω est une partie de PB est une vraie probabilité sur Ω.
P(Ω) vérifiant :
Théorème (Formule des probabilités composées). Si P (A1 ∩
1. Ω ∈ T .
· · · ∩ An−1 ) > 0, alors :
2. Stabilité par complémentaire : A ∈ T =⇒ A ∈ T .
Stabilité par union dénombrable : ∀(An ) ∈ T N ,
3. S
∞ P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) . . . P (An |A1 . . . An−1 )
n=0 An ∈ T .
Le couple (Ω, T ) est un espace probabilisable. Consé- Définition (Indépendance de 2 événements). A et B sont
quences : ∅ ∈ T , et T est stable par intersection dénom- indépendants ⇐⇒ P (A ∩ B) = P (A)P (B). Si P (B) > 0,
brable. c’est équivalent à PB (A) = P (A). Propriété : A, B indép.
⇐⇒ A, B indép. ⇐⇒ A, B indép.
3. Espaces Probabilisés
Définition (Indépendance Mutuelle d’une famille). La fa-
Définition (Probabilité). Une probabilité P sur (Ω, T ) est mille (Ai )i∈I est mutuellement indépendante si pour toute
une application de T → [0, 1] vérifiant : sous-partie finie J ⊆ I :
1. P (Ω) = 1. !
2. σ-additivité : Pour toute suite (An ) d’événements deux
\ Y
P Ak = P (Ak )
à deux incompatibles (i ̸= j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅) : k∈J k∈J
+∞
! +∞
Attention : L’indépendance 2 à 2 n’implique absolument pas
[ X
P An = P (An )
n=0 n=0
l’indépendance mutuelle !
1
1. Dénombrement et Cardinaux Le triplet (Ω, T , P ) est un espace probabilisé.
Définition (Fini et Dénombrable). Théorème (Propriétés fondamentales).
— Ensemble fini : En bijection avec [[1, n]]. n est son car- — P (A) = 1 − P (A) (donc P (∅) = 0).
dinal. (Rappel : Card(P(E)) = 2n ). L’ensemble vide a — Croissance : A ⊆ B =⇒ P (A) ≤ P (B).
pour cardinal 0. — P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
— Ensemble dénombrable : En bijection avec N (on peut — Sous-additivité
S
(Inégalité de Boole) : P ( An ) ≤
"numéroter" ses éléments). Noté ℵ0 . P
P (An ).
— Au plus dénombrable : Fini ou dénombrable.
— Équipotence : Deux ensembles sont équipotents s’il Théorème (Formule de Poincaré (ou Formule du Crible)).
existe une bijection entre eux. !
n n
Théorème (Opérations sur le dénombrable).
[ X X
P Ai = (−1)k−1 P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )
— Toute partie d’un ensemble dénombrable est au plus dé- i=1 k=1 1≤i1 <···<ik ≤n
nombrable.
— Le produit cartésien E × F de deux ensembles dénom- Théorème (Continuité croissante et décroissante).
brables est dénombrable (Ex : N2 , Q).
— Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles (au S∞ croissante : Si An ⊆ An+1 , alors limn→∞ P (An ) =
— Suite
P ( n=0 An ).
plus) dénombrables est (au plus) dénombrable.
— Suite décroissante T∞ : Si An+1 ⊆ An , alors
Théorème (Ensembles non dénombrables). Les ensembles limn→∞ P (An ) = P ( n=0 An ).
suivants ne sont pas dénombrables (puissance du continu
c) : R, l’ensemble des parties P(N), et l’ensemble des suites Définition (Vocabulaire d’une issue).
binaires {0, 1}N . — Négligeable : P (A) = 0. (L’union dénombrable d’événe-
ments négligeables est négligeable).
2. Espaces Probabilisables (Tribus) — Presque sûr (ou certain) : P (A) = 1. (L’intersection
dénombrable d’événements presque sûrs est presque sûre).
Définition (Traduction Ensembliste ↔ Probabiliste). Soit
Ω l’univers (toutes les issues possibles). Théorème (Probabilité sur un espace dénombrable). Toute
— ω ∈ Ω : Événement atomique (une issue). probabilité sur un ensemble dénombrable est entièrement ca-
— A ⊆ Ω : Événement. ractérisée par sa valeur sur les singletons :
— A ∪ B : Réalisation de A ou B. X
— A ∩ B : Réalisation simultanée de A et B. ∀A ⊆ Ω, P (A) = P ({ω})
ω∈A
— A = Ω \ A : Événement contraire (non-A).
— A ∩ B = ∅ : Événements incompatibles (disjoints).
— A ⊆ B : A implique B. 4. Conditionnement et Indépendance
Définition (Limites d’événements). Pour une suite d’évé-
nements (An )n∈N : Définition (Probabilité Conditionnelle). Si P (B) > 0, la
T∞ S∞ probabilité de A sachant B est :
— lim sup An = n=0 k=n Ak : Réalisation d’une infinité
d’événementsSparmi les An . P (A ∩ B)
∞ T∞
— lim inf An = n=0 k=n Ak : Réalisation de tous les évé- PB (A) = P (A | B) =
P (B)
nements An à partir d’un certain rang.
Définition (Tribu). Une tribu T sur Ω est une partie de PB est une vraie probabilité sur Ω.
P(Ω) vérifiant :
Théorème (Formule des probabilités composées). Si P (A1 ∩
1. Ω ∈ T .
· · · ∩ An−1 ) > 0, alors :
2. Stabilité par complémentaire : A ∈ T =⇒ A ∈ T .
Stabilité par union dénombrable : ∀(An ) ∈ T N ,
3. S
∞ P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) . . . P (An |A1 . . . An−1 )
n=0 An ∈ T .
Le couple (Ω, T ) est un espace probabilisable. Consé- Définition (Indépendance de 2 événements). A et B sont
quences : ∅ ∈ T , et T est stable par intersection dénom- indépendants ⇐⇒ P (A ∩ B) = P (A)P (B). Si P (B) > 0,
brable. c’est équivalent à PB (A) = P (A). Propriété : A, B indép.
⇐⇒ A, B indép. ⇐⇒ A, B indép.
3. Espaces Probabilisés
Définition (Indépendance Mutuelle d’une famille). La fa-
Définition (Probabilité). Une probabilité P sur (Ω, T ) est mille (Ai )i∈I est mutuellement indépendante si pour toute
une application de T → [0, 1] vérifiant : sous-partie finie J ⊆ I :
1. P (Ω) = 1. !
2. σ-additivité : Pour toute suite (An ) d’événements deux
\ Y
P Ak = P (Ak )
à deux incompatibles (i ̸= j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅) : k∈J k∈J
+∞
! +∞
Attention : L’indépendance 2 à 2 n’implique absolument pas
[ X
P An = P (An )
n=0 n=0
l’indépendance mutuelle !
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