Résumé Suites et séries de fonctions

Chapitre 02 : Suites et Séries de Fonctions CPGE - Fiche de Révision


1. Suites : Modes de convergence 1. La suite des dérivées (fn′ ) converge uniformément sur
tout segment de I vers une fonction g.
Dans tout le chapitre, I ou A désigne un ensemble (sou- 2. Il existe un point x0 ∈ I tel que la suite numérique
vent un intervalle de R) et K = R ou C. (fn ) est une suite (fn (x0 )) converge.
de fonctions de A dans K. Alors (fn ) converge uniformément sur tout segment de I vers
Définition (Convergence Simple (CS)). La suite (fn ) une fonction f . De plus, f est de classe C 1 sur I et f ′ = g.
converge simplement vers f sur A si, pour tout x ∈ A, la
suite numérique (fn (x)) converge vers f (x). 3. Séries : Modes de convergence
∀x ∈ A, ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, |fn (x) − f (x)| ≤ ε P
OnPétudie la série de fonctionsP fn , de sommes partielles
n +∞
Sn = k=0 fk et de reste Rn = k=n+1 fk .
Remarque : Le rang N dépend de ε ET de x.
Définition (CS, AC, CU).
Définition (Convergence Uniforme (CU)). La suite (fn )
converge uniformément vers f sur A si : — Convergence Simple : La suite (Sn ) converge simple-
ment sur A.
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀x ∈ A, |fn (x) − f (x)| ≤ ε — ConvergenceP Absolue : Pour tout x ∈ A, la série nu-
mérique |fn (x)| converge.
Remarque : Le rang N ne dépend QUE de ε. L’écart entre fn — Convergence Uniforme : La suite (Sn ) converge uni-
et f est contrôlé globalement sur tout A. formément sur A. (Équivalent à : la suite des restes (Rn )
converge uniformément vers la fonction nulle).
Proposition (Lien CS / CU). La convergence uniforme im-
plique la convergence simple. La réciproque est fausse en gé-
P
Définition (Convergence Normale (CN)). La série fn
néral. converge normalement sur A si :
Théorème (Caractérisation par la norme infinie). On pose 1. Pour tout n, fn est Pbornée sur A.
∥g∥∞ = supx∈A |g(x)|. La suite (fn ) converge uniformément 2. La série numérique ∥fn ∥∞ converge.
vers f sur A si et seulement si : Condition pratique (Critère de Weierstrass) : Il existe une
1. Pour n assez grand, fn − f est bornée sur A. P numérique positive (an ) telle que ∀x ∈ A, |fn (x)| ≤ an
suite
2. limn→+∞ ∥fn − f ∥∞ = 0. et an converge.

Théorème (Théorèmes de Dini (HP, à redémontrer)). Soit Théorème (Hiérarchie des convergences). La convergence
(fn ) une suite de fonctions continues sur un segment [a, b], normale implique la convergence uniforme ET la convergence
convergeant simplement vers une fonction f continue sur absolue. CN =⇒ CU =⇒ CS. CN =⇒ CA =⇒
[a, b]. CS. (La réciproque est fausse : on peut avoir CU sans CN,
particulièrement pour les séries alternées).
— Dini 1 : Si la suite (fn ) est monotone (ie. ∀x, (fn (x))
est croissante ou décroissante), alors la convergence est
uniforme. 4. Séries : Théorèmes de transfert
— Dini 2 : Si toutes les fonctions fn sont croissantes sur P+∞
[a, b], alors la convergence est uniforme. Soit S(x) = n=0 fn (x) la fonction somme.
Théorème (Continuité de la P somme). Si pour tout n, fn est
2. Suites : Théorèmes de transfert continue sur A, et si la série fn converge uniformément
(ou normalement) sur A (ou sur tout segment de A), alors la
Théorème (Théorème de la double limite). Soit a un point fonction somme S est continue sur A.
adhérent à A. Si :
1. (fn ) converge uniformément vers f sur A.
Théorème (Intégration P sur un segment). Si les fn sont conti-
nues sur [a, b], et si fn converge uniformément (ou nor-
2. ∀n, limx→a fn (x) = ℓn ∈ K. malement) sur [a, b], alors :
Alors la suite (ℓn ) converge vers un réel ℓ, f admet une limite ! !
Z b X +∞ +∞ Z b
en a, et ces limites sont égales : X
fn (t) dt = fn (t)dt
a a
   
n=0 n=0
lim lim fn (x) = lim lim fn (x)
x→a n→∞ n→∞ x→a
L’intégrale de la somme est la somme des intégrales.
Théorème (Continuité). Si les fonctions fn sont continues
Théorème (Dérivation terme à terme). Si les fonctions fn
sur A, et si (fn ) converge uniformément (ou uniformément
sont de classe C 1 sur un intervalle I et si :
sur tout segment) vers f sur A, alors f est continue sur A. P
1. La série fn converge simplement en au moins un
Théorème (Intégration sur un segment). Soit (fn ) une suite point x0 ∈ I.
de fonctions continues sur un segment [a, b]. Si (fn ) converge
P ′
2. La série des dérivées fn converge uniformément (ou
uniformément vers f sur [a, b], alors f est continue et : normalement) sur tout segment de I.
P
Z b Z b Alors fn converge uniformément sur tout segment de I, sa
lim fn (t)dt = f (t)dt somme S est de classe C 1 sur I, et on peut dériver terme à
n→+∞ a a terme :
+∞
Théorème (Dérivation). Soit (fn ) une suite de fonctions de
X
∀x ∈ I, S ′ (x) = fn′ (x)
classe C 1 sur un intervalle I. On suppose que : n=0


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