Electromagnétisme II
PSI
Hassan ADOCH
Professeur agrégé au Lycée Ibn Timiya
Classes préparatoires aux grandes écoles, Marrakech
, TABLE DES MATIÈRES
1.1
O C H
1 Transport de charge
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
D
1.2 Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Conservation de charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Équation unidimensionnel de conservation de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A
2.2 Équation générale de la conservation de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Modèle de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Position de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Loi d'Ohm généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Cas d'un conducteur cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Condensateur 11
1 Phénomène d'in
uence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Dé
nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Champ et potentiel dans un condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Énergie électrostatique d'un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Équations de Maxwell 15
1 Équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Potentiels électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Conservation d'énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Approximation du régime quasi-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Propriétés topographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Application à un conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Eet de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Étude énergétique d'un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
, TABLE DES MATIÈRES
4 Forces de Laplace 27
1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Puissance de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Rails de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Spire rectangulaire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Champ magnétique tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Induction électromagnétique 33
H
1 Phénomène d'induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
C
2 Coe
cient d'induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1 Induction propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Induction mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
O
3 Étude de quelques applications classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Rails de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Spire rectangulaire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
D
3.3 Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Milieux ferromagnétiques 46
A
1 Moment magnétique et aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.1 Rappel sur les dipôles magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2 Magnétisme électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3 Aimantation d'un milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Étude d'un milieu aimanté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Vecteur excitation magnétique - Théorème d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Milieu linéaire homogène isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Ferromagnétisme et cycle d'hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Applications pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1 Bobine à noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Pertes d'une bobine réelle à noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Perte par hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Électro-aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
H.ADOCH ii / 59
, CHAPTER 1
TRANSPORT DE CHARGE
1 Généralités
O C
1.1 Charge électrique
H
D
La charge électrique est une grandeur physique scalaire, algébrique, conservée et quanti
ée. Les corps qui
→
− → −
possède cette propriété peut crée et interagir avec un champ électromagnétique ( E , B ). La charge électrique
peut être trouvée sous deux formes ou distributions à savoir :
A
~ Distribution discrète : Un ensemble de charges séparées par une distance très grande devant leurs tailles.
La charge totale de la distribution est donnée par :
N
X
Q= qi
i=1
~ Continue : Un ensemble de charges séparées par une distance très proche de la taille des charges. La
charge totale Q est donnée par :
ˆ
Q= dq
On trouve trois types de distribution continue :
m Distribution volumique : C'est un volume chargé, on le caractérise par une grandeur appelée
densité volumique de charge notée ρ. Exemples : sphère, cylindre, parallélépipède...etc. La charge totale
est donnée par :
ˆ ˚
Q= dq = ρ dτ
dτ est un élément de volume. Alors que dq est la charge de ce petit volume. D'où :
dq
(C.m−3 ) ρ =
dτ
1
PSI
Hassan ADOCH
Professeur agrégé au Lycée Ibn Timiya
Classes préparatoires aux grandes écoles, Marrakech
, TABLE DES MATIÈRES
1.1
O C H
1 Transport de charge
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Conservation de charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Équation unidimensionnel de conservation de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A
2.2 Équation générale de la conservation de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Modèle de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Position de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Loi d'Ohm généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Cas d'un conducteur cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Condensateur 11
1 Phénomène d'in
uence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Dé
nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Champ et potentiel dans un condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Énergie électrostatique d'un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Équations de Maxwell 15
1 Équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Potentiels électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Conservation d'énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Approximation du régime quasi-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Propriétés topographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Application à un conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Eet de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Étude énergétique d'un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
, TABLE DES MATIÈRES
4 Forces de Laplace 27
1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Puissance de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Rails de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Spire rectangulaire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Champ magnétique tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Induction électromagnétique 33
H
1 Phénomène d'induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
C
2 Coe
cient d'induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1 Induction propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Induction mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
O
3 Étude de quelques applications classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Rails de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Spire rectangulaire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
D
3.3 Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Milieux ferromagnétiques 46
A
1 Moment magnétique et aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.1 Rappel sur les dipôles magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2 Magnétisme électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3 Aimantation d'un milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Étude d'un milieu aimanté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Vecteur excitation magnétique - Théorème d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Milieu linéaire homogène isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Ferromagnétisme et cycle d'hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Applications pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1 Bobine à noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Pertes d'une bobine réelle à noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Perte par hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Électro-aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
H.ADOCH ii / 59
, CHAPTER 1
TRANSPORT DE CHARGE
1 Généralités
O C
1.1 Charge électrique
H
D
La charge électrique est une grandeur physique scalaire, algébrique, conservée et quanti
ée. Les corps qui
→
− → −
possède cette propriété peut crée et interagir avec un champ électromagnétique ( E , B ). La charge électrique
peut être trouvée sous deux formes ou distributions à savoir :
A
~ Distribution discrète : Un ensemble de charges séparées par une distance très grande devant leurs tailles.
La charge totale de la distribution est donnée par :
N
X
Q= qi
i=1
~ Continue : Un ensemble de charges séparées par une distance très proche de la taille des charges. La
charge totale Q est donnée par :
ˆ
Q= dq
On trouve trois types de distribution continue :
m Distribution volumique : C'est un volume chargé, on le caractérise par une grandeur appelée
densité volumique de charge notée ρ. Exemples : sphère, cylindre, parallélépipède...etc. La charge totale
est donnée par :
ˆ ˚
Q= dq = ρ dτ
dτ est un élément de volume. Alors que dq est la charge de ce petit volume. D'où :
dq
(C.m−3 ) ρ =
dτ
1
