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PRIMITIVES ET
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/LIm3DN63bxQ
Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8
Partie 1 : Primitive d'une fonction
1) Définition et propriétés
Exemple :
On considère les fonctions 𝑓 et 𝐹 définies par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 et 𝐹(𝑥) = 𝑥 ! + 3𝑥 − 1
Si on dérive 𝐹, on constate que : 𝐹 " (𝑥) = 2𝑥 + 3 = 𝑓(𝑥).
Lorsque 𝐹 " = 𝑓, on dit que 𝐹 est une primitive de 𝑓.
Définition : 𝑓 est une fonction continue sur un intervalle 𝐼.
On appelle primitive de 𝑓, une fonction 𝐹, telle que : 𝐹 " = 𝑓.
Remarque :
Dans ces conditions, dire que « 𝐹 est une primitive de 𝑓 »
revient à dire que « 𝑓 est la dérivée de 𝐹 ».
Méthode : Vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre fonction
Vidéo A venir
Dans chaque cas, dire si 𝐹 est une primitive de 𝑓.
𝑥2
a) 𝐹(𝑥) = 2 et 𝑓(𝑥) = 𝑥.
b) 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑒 # et 𝑓(𝑥) = 𝑒 # (𝑥 + 1).
ln(𝑥) − ln(𝑥)
c) 𝐹(𝑥) = 𝑥 et 𝑓(𝑥) = .
𝑥2
Correction
2𝑥
a) 𝐹 " (𝑥) = 2 = 𝑥 = 𝑓(𝑥)
Donc 𝐹 est une primitive de 𝑓.
b) 𝐹 " (𝑥) = 1 × 𝑒 # + 𝑥 × 𝑒 # = 𝑒 # (𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥)
Donc 𝐹 est une primitive de 𝑓.
1
c) 𝐹 " (𝑥)
= 𝑥×𝑥−ln(𝑥)×1
1−ln(𝑥)
= ≠ 𝑓(𝑥)
𝑥2 𝑥2
Donc 𝐹 n’est pas une primitive de 𝑓.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
, 2
Propriété : Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une
constante.
Démonstration :
Soit 𝐹 et 𝐺 deux primitives de la fonction 𝑓 sur 𝐼.
Alors : 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) et 𝐺’(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Donc : 𝐹’(𝑥) = 𝐺’(𝑥), soit 𝐹’(𝑥) − 𝐺’(𝑥) = 0, soit encore (𝐹 − 𝐺)’(𝑥) = 0.
La fonction 𝐹 – 𝐺 possède une dérivée nulle sur 𝐼, elle est donc constante sur 𝐼.
On nomme 𝐶 cette constante. Ainsi : 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝐶 pour tout 𝑥 de 𝐼.
On en déduit que les deux primitives de 𝑓 diffèrent d’une constante.
Propriété : 𝑓 est une fonction continue sur un intervalle 𝐼.
Si 𝐹 est une primitive de 𝑓 alors pour tout réel 𝐶, la fonction 𝑥 ⟼ 𝐹(𝑥) + 𝐶 est une
primitive de 𝑓.
Démonstration :
𝐹 est une primitive de 𝑓.
On pose 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶.
𝐺 " (𝑥) = 𝐹 " (𝑥) + 0 = 𝐹 " (𝑥) = 𝑓(𝑥).
Donc 𝐺 est une primitive de 𝑓.
Exemple :
On a vu dans la méthode précédente que 𝐹 est une primitive de 𝑓 avec :
𝑥2
𝐹(𝑥) = 2 et 𝑓(𝑥) = 𝑥.
𝑥2
Donc, la fonction 𝐺 définie par 𝐺(𝑥) = 2 + 5 est également une primitive de 𝑓.
2𝑥
En effet : 𝐺 " (𝑥) = 2 + 0 = 𝑥 = 𝑓(𝑥).
Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas
!
toujours connue. Par exemple, la fonction 𝑥 ⟼ 𝑒 &# ne possède pas de primitive sous
forme explicite.
Méthode : Recherche d’une primitive particulière
Vidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI
* $% (+,-.)
Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ* par 𝑓(𝑥) = .
,$
* $%
a) Démontrer que la fonction 𝐹 définie sur ℝ* par 𝐹(𝑥) = est une primitive de 𝑓.
,
b) Déterminer la primitive 𝐺 de la fonction 𝑓 qui s’annule en 𝑥 = 1.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
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Partie 1 : Primitive d'une fonction
1) Définition et propriétés
Exemple :
On considère les fonctions 𝑓 et 𝐹 définies par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 et 𝐹(𝑥) = 𝑥 ! + 3𝑥 − 1
Si on dérive 𝐹, on constate que : 𝐹 " (𝑥) = 2𝑥 + 3 = 𝑓(𝑥).
Lorsque 𝐹 " = 𝑓, on dit que 𝐹 est une primitive de 𝑓.
Définition : 𝑓 est une fonction continue sur un intervalle 𝐼.
On appelle primitive de 𝑓, une fonction 𝐹, telle que : 𝐹 " = 𝑓.
Remarque :
Dans ces conditions, dire que « 𝐹 est une primitive de 𝑓 »
revient à dire que « 𝑓 est la dérivée de 𝐹 ».
Méthode : Vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre fonction
Vidéo A venir
Dans chaque cas, dire si 𝐹 est une primitive de 𝑓.
𝑥2
a) 𝐹(𝑥) = 2 et 𝑓(𝑥) = 𝑥.
b) 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑒 # et 𝑓(𝑥) = 𝑒 # (𝑥 + 1).
ln(𝑥) − ln(𝑥)
c) 𝐹(𝑥) = 𝑥 et 𝑓(𝑥) = .
𝑥2
Correction
2𝑥
a) 𝐹 " (𝑥) = 2 = 𝑥 = 𝑓(𝑥)
Donc 𝐹 est une primitive de 𝑓.
b) 𝐹 " (𝑥) = 1 × 𝑒 # + 𝑥 × 𝑒 # = 𝑒 # (𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥)
Donc 𝐹 est une primitive de 𝑓.
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c) 𝐹 " (𝑥)
= 𝑥×𝑥−ln(𝑥)×1
1−ln(𝑥)
= ≠ 𝑓(𝑥)
𝑥2 𝑥2
Donc 𝐹 n’est pas une primitive de 𝑓.
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Propriété : Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une
constante.
Démonstration :
Soit 𝐹 et 𝐺 deux primitives de la fonction 𝑓 sur 𝐼.
Alors : 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) et 𝐺’(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Donc : 𝐹’(𝑥) = 𝐺’(𝑥), soit 𝐹’(𝑥) − 𝐺’(𝑥) = 0, soit encore (𝐹 − 𝐺)’(𝑥) = 0.
La fonction 𝐹 – 𝐺 possède une dérivée nulle sur 𝐼, elle est donc constante sur 𝐼.
On nomme 𝐶 cette constante. Ainsi : 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝐶 pour tout 𝑥 de 𝐼.
On en déduit que les deux primitives de 𝑓 diffèrent d’une constante.
Propriété : 𝑓 est une fonction continue sur un intervalle 𝐼.
Si 𝐹 est une primitive de 𝑓 alors pour tout réel 𝐶, la fonction 𝑥 ⟼ 𝐹(𝑥) + 𝐶 est une
primitive de 𝑓.
Démonstration :
𝐹 est une primitive de 𝑓.
On pose 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶.
𝐺 " (𝑥) = 𝐹 " (𝑥) + 0 = 𝐹 " (𝑥) = 𝑓(𝑥).
Donc 𝐺 est une primitive de 𝑓.
Exemple :
On a vu dans la méthode précédente que 𝐹 est une primitive de 𝑓 avec :
𝑥2
𝐹(𝑥) = 2 et 𝑓(𝑥) = 𝑥.
𝑥2
Donc, la fonction 𝐺 définie par 𝐺(𝑥) = 2 + 5 est également une primitive de 𝑓.
2𝑥
En effet : 𝐺 " (𝑥) = 2 + 0 = 𝑥 = 𝑓(𝑥).
Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas
!
toujours connue. Par exemple, la fonction 𝑥 ⟼ 𝑒 &# ne possède pas de primitive sous
forme explicite.
Méthode : Recherche d’une primitive particulière
Vidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI
* $% (+,-.)
Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ* par 𝑓(𝑥) = .
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a) Démontrer que la fonction 𝐹 définie sur ℝ* par 𝐹(𝑥) = est une primitive de 𝑓.
,
b) Déterminer la primitive 𝐺 de la fonction 𝑓 qui s’annule en 𝑥 = 1.
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