Résumé third séance

Mathématiques : 2Bac SMA-SMB
Séance 3-1-1 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 1
(Cours)
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

Sommaire
I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)
1-1/ Dérivabilité d'une fonction en un point
1-2/ Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche
1-3/ Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
1-4/ Opérations sur les fonctions dérivables
II- Compléments sur la dérivation
2-1/ Dérivabilité et continuité
2-2/ Dérivée de la fonction composée
2-3/ Dérivée de la fonction réciproque
2-4/ Dérivée de la fonction arctangente
2-5/ Dérivée de la fonction racine è



I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)
1-1/ Dérivabilité d'une fonction en un point
Définition 1
Soit une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert et un élément
de .

On dit que est dérivable en s'il existe un réel tel que :

Le nombre est appelé le nombre dérivé de la fonction en . Il est noté
.
Remarques
On trouve parfois, notamment en physique, la notation pour le nombre
dérivé de en .
On trouve également, la notation , lorsque la variable désigne le temps.

, Un simple changement d'écriture montre, en s'appuyant sur la composition des
limites, que est dérivable en si la fonction a une limite
finie en , et alors :



La notion de dérivabilité, étant définie à l'aide d'une limite, est une notion locale.
Définition 2
Soit une fonction dérivable en .
La droite d’équation est appelée la tangente à
la courbe de la fonction au point d’abscisse .
La fonction s'appelle l'approximation affine de
au voisinage de .
On écrit alors : au voisinage de ou
au voisinage de .
Proposition 1
Soit une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert et un élément
de .
La fonction est dérivable en si et seulement s'il existe et une fonction
tels que :
et

Dans ces conditions :

1-2/ Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche
Définition 3
1- Soit une fonction définie sur un intervalle du type où .
On dit que est dérivable à droite de s’il existe un réel tel que :



Le nombre est appelé le nombre dérivé de la fonction à droite en . Il est
noté .
2- Soit une fonction définie sur un intervalle du type où .
On dit que est dérivable à gauche de s’il existe un réel tel que :



Le nombre est appelé le nombre dérivé de la fonction à gauche en . Il est
noté .
Proposition 2