Module 1: Wiskundig taalgebruik en
notaties
Uitgebreide leeruitlegversie
§1 Wiskundig taalgebruik
Wiskunde gebruikt symbolen om redeneringen precies en compact te formuleren. Toch is
het belangrijk dat elke formule ook in woorden begrepen kan worden. Elke wiskundige
uitspraak moet zowel leesbaar als exact zijn.
Voorbeeld van een wiskundige uitspraak
a2 = b2 ⇒ a = ±b
Deze uitspraak lees je als:
“Als het kwadraat van a gelijk is aan het kwadraat van b, dan is a gelijk aan plus of min
b.”
Het symbool ± betekent “plus of min” — dus a = +b of a = −b.
§2 Notaties uit de verzamelingenleer
Een verzameling is een goed gedefinieerde collectie van objecten, die we de elementen
noemen.
Elementen en lidmaatschap
We schrijven:
x∈A
Dit lees je als: “x behoort tot de verzameling A”.
Als iets niet tot een verzameling behoort, schrijven we:
x∈
/A
Dat lees je als: “x behoort niet tot A”.
Manieren om verzamelingen te definiëren
• Opsomming: we geven expliciet alle elementen.
Bijvoorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De volgorde maakt niet uit.
• Voorwaarde: we geven een eigenschap op die de elementen kenmerkt.
Bijvoorbeeld: [1, 5] = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},
wat gelezen wordt als: “de verzameling van alle reële getallen x waarvoor geldt dat
1 ≤ x ≤ 5”.
• Constructief: we beschrijven hoe de elementen worden opgebouwd.
Bijvoorbeeld: B = {n2 | n ∈ N},
wat betekent: “B is de verzameling van de kwadraten van natuurlijke getallen”.
, Basisbegrippen
Gelijke verzamelingen:
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Lees dit als: “A is gelijk aan B als en slechts als elk element van A ook in B zit en
omgekeerd.”
Lege verzameling: ∅ is de verzameling zonder elementen.
Bijvoorbeeld: {x ∈ R | x2 = −1} = ∅.
Aantal elementen: #A betekent “het aantal elementen in A”.
Bijvoorbeeld: als A = {5}, dan is #A = 1.
Deelverzamelingen
A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Lees dit als: “A is een deelverzameling van B als elk element van A ook in B zit.”
We schrijven A ⊂ B (strikt) als A een deelverzameling is van B, maar niet gelijk eraan.
Bijvoorbeeld: N ⊂ Z.
Bewerkingen met verzamelingen
A∩B = {x | x ∈ A en x ∈ B}
A∪B = {x | x ∈ A of x ∈ B}
A\B = {x | x ∈ A en x ∈
/ B}
Ac = U \ A = {x ∈ U | x ∈
/ A}
Leeswijzen:
• A ∩ B: “de doorsnede van A en B” – alle elementen die in beide verzamelingen
voorkomen.
• A ∪ B: “de unie van A en B” – alle elementen die in minstens één van beide zitten.
• A \ B: “het verschil A min B” – de elementen van A die niet in B zitten.
• Ac : “het complement van A” – alle elementen die niet tot A behoren.
Voorbeelden:
• Z \ N = {. . . , −3, −2, −1}: de strikt negatieve gehele getallen.
• A ∪ ∅ = A: de unie met de lege verzameling verandert niets.
Bijzondere verzamelingen
Machtsverzameling:
P(X) = {A | A ⊆ X}
Lees dit als: “de verzameling van alle deelverzamelingen van X.”
Cartesisch product:
X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
Lees dit als: “de verzameling van alle geordende paren waarvan het eerste element uit X
komt en het tweede uit Y.”
notaties
Uitgebreide leeruitlegversie
§1 Wiskundig taalgebruik
Wiskunde gebruikt symbolen om redeneringen precies en compact te formuleren. Toch is
het belangrijk dat elke formule ook in woorden begrepen kan worden. Elke wiskundige
uitspraak moet zowel leesbaar als exact zijn.
Voorbeeld van een wiskundige uitspraak
a2 = b2 ⇒ a = ±b
Deze uitspraak lees je als:
“Als het kwadraat van a gelijk is aan het kwadraat van b, dan is a gelijk aan plus of min
b.”
Het symbool ± betekent “plus of min” — dus a = +b of a = −b.
§2 Notaties uit de verzamelingenleer
Een verzameling is een goed gedefinieerde collectie van objecten, die we de elementen
noemen.
Elementen en lidmaatschap
We schrijven:
x∈A
Dit lees je als: “x behoort tot de verzameling A”.
Als iets niet tot een verzameling behoort, schrijven we:
x∈
/A
Dat lees je als: “x behoort niet tot A”.
Manieren om verzamelingen te definiëren
• Opsomming: we geven expliciet alle elementen.
Bijvoorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De volgorde maakt niet uit.
• Voorwaarde: we geven een eigenschap op die de elementen kenmerkt.
Bijvoorbeeld: [1, 5] = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},
wat gelezen wordt als: “de verzameling van alle reële getallen x waarvoor geldt dat
1 ≤ x ≤ 5”.
• Constructief: we beschrijven hoe de elementen worden opgebouwd.
Bijvoorbeeld: B = {n2 | n ∈ N},
wat betekent: “B is de verzameling van de kwadraten van natuurlijke getallen”.
, Basisbegrippen
Gelijke verzamelingen:
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Lees dit als: “A is gelijk aan B als en slechts als elk element van A ook in B zit en
omgekeerd.”
Lege verzameling: ∅ is de verzameling zonder elementen.
Bijvoorbeeld: {x ∈ R | x2 = −1} = ∅.
Aantal elementen: #A betekent “het aantal elementen in A”.
Bijvoorbeeld: als A = {5}, dan is #A = 1.
Deelverzamelingen
A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Lees dit als: “A is een deelverzameling van B als elk element van A ook in B zit.”
We schrijven A ⊂ B (strikt) als A een deelverzameling is van B, maar niet gelijk eraan.
Bijvoorbeeld: N ⊂ Z.
Bewerkingen met verzamelingen
A∩B = {x | x ∈ A en x ∈ B}
A∪B = {x | x ∈ A of x ∈ B}
A\B = {x | x ∈ A en x ∈
/ B}
Ac = U \ A = {x ∈ U | x ∈
/ A}
Leeswijzen:
• A ∩ B: “de doorsnede van A en B” – alle elementen die in beide verzamelingen
voorkomen.
• A ∪ B: “de unie van A en B” – alle elementen die in minstens één van beide zitten.
• A \ B: “het verschil A min B” – de elementen van A die niet in B zitten.
• Ac : “het complement van A” – alle elementen die niet tot A behoren.
Voorbeelden:
• Z \ N = {. . . , −3, −2, −1}: de strikt negatieve gehele getallen.
• A ∪ ∅ = A: de unie met de lege verzameling verandert niets.
Bijzondere verzamelingen
Machtsverzameling:
P(X) = {A | A ⊆ X}
Lees dit als: “de verzameling van alle deelverzamelingen van X.”
Cartesisch product:
X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
Lees dit als: “de verzameling van alle geordende paren waarvan het eerste element uit X
komt en het tweede uit Y.”
