,Contents
1 The Postulates of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Pure States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Mixed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Time Evolution of Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Unitary Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Quantum Noisy Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Measurements on Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Projection Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Generalized Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Quantum Computation: Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Single-Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Pauli Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Hadamard Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Two-Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 CNOT, CZ, and SWAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2 Controlled-Unitary Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.3 General Unitary Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Multi-Qubit Controlled Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.1 Gray Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.2 Multi-Qubit Controlled-NOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 Universal Quantum Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5 Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Realizations of Quantum Computers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1 Quantum Bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2 Dynamical Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.1 Implementation of Single-Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.2 Implementation of CNOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
vii
,viii Contents
3.3 Geometric/Topological Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.1 A Toy Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.2 Geometric Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 Measurement-Based Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.1 Single-Qubit Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.2 CNOT Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.3 Graph States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 Quantum Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1 Quantum Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.1 Nonlocality in Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.2 Implementation of Quantum Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2 Deutsch-Jozsa Algorithm & Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.1 Quantum Oracle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.2 Deutsch-Jozsa Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.3 Bernstein-Vazirani Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.4 Simon’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3 Quantum Fourier Transform (QFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.1 Definition and Physical Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.2 Quantum Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3.3 Semiclassical Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4 Quantum Phase Estimation (QPE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.4.2 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4.3 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.4.4 Simulation of the von Neumann Measurement . . . . . . . . . . . 166
4.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.5.1 The Period-Finding Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.5.2 The Order-Finding Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5.3 Quantum Factorization Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.5.4 Quantum Search Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5 Quantum Decoherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1 How Does Decoherence Occur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.2 Quantum Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2.1 Kraus Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.2 Choi Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.2.3 Unitary Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.3 Measurements as Quantum Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4 Quantum Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.4.3 Solution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.4.4 Examples Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
, Contents ix
5.5 Distance Between Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5.1 Norms and Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5.2 Hilbert–Schmidt and Trace Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5.3 Hilbert–Schmidt and Trace Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.5.4 Fidelity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6 Quantum Error-Correction Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.1 Elementary Examples: Nine-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.1.1 Bit-Flip Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.1.2 Phase-Flip Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.1.3 Shor’s Nine-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.2 Quantum Error Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.2.1 Quantum Error-Correction Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.2.2 Discretization of Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.3 Stabilizer Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.3.1 Pauli Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.3.2 Properties of the Stabilizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.3.3 Unitary Gates in Stabilizer Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.3.4 Clifford Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.3.5 Measurements in Stabilizer Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.3.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.4 Stabilizer Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.4.1 Bit-Flip Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.4.2 Phase-Flip Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.4.3 Nine-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.4.4 Five-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.5 Surface Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.5.1 Toric Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.5.2 Planar Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.5.3 Recovery Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7 Quantum Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.1 Shannon Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.1.2 Relative Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.1.3 Mutual Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
7.1.4 Data Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.2 Von Neumann Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.2.2 Relative Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7.2.3 Quantum Mutual Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
7.3 Entanglement and Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.3.1 What is Entanglement? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.3.2 Separability Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.3.3 Entanglement Distillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.3.4 Entanglement Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
1 The Postulates of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Pure States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Mixed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Time Evolution of Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Unitary Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Quantum Noisy Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Measurements on Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Projection Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Generalized Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Quantum Computation: Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Single-Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Pauli Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Hadamard Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Two-Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 CNOT, CZ, and SWAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2 Controlled-Unitary Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.3 General Unitary Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Multi-Qubit Controlled Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.1 Gray Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.2 Multi-Qubit Controlled-NOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 Universal Quantum Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5 Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Realizations of Quantum Computers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1 Quantum Bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2 Dynamical Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.1 Implementation of Single-Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.2 Implementation of CNOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
vii
,viii Contents
3.3 Geometric/Topological Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.1 A Toy Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.2 Geometric Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 Measurement-Based Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.1 Single-Qubit Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.2 CNOT Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.3 Graph States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 Quantum Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1 Quantum Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.1 Nonlocality in Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.2 Implementation of Quantum Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2 Deutsch-Jozsa Algorithm & Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.1 Quantum Oracle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.2 Deutsch-Jozsa Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.3 Bernstein-Vazirani Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.4 Simon’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3 Quantum Fourier Transform (QFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.1 Definition and Physical Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.2 Quantum Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3.3 Semiclassical Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4 Quantum Phase Estimation (QPE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.4.2 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4.3 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.4.4 Simulation of the von Neumann Measurement . . . . . . . . . . . 166
4.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.5.1 The Period-Finding Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.5.2 The Order-Finding Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5.3 Quantum Factorization Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.5.4 Quantum Search Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5 Quantum Decoherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1 How Does Decoherence Occur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.2 Quantum Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2.1 Kraus Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.2 Choi Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.2.3 Unitary Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.3 Measurements as Quantum Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4 Quantum Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.4.3 Solution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.4.4 Examples Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
, Contents ix
5.5 Distance Between Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5.1 Norms and Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5.2 Hilbert–Schmidt and Trace Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5.3 Hilbert–Schmidt and Trace Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.5.4 Fidelity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6 Quantum Error-Correction Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.1 Elementary Examples: Nine-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.1.1 Bit-Flip Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.1.2 Phase-Flip Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.1.3 Shor’s Nine-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.2 Quantum Error Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.2.1 Quantum Error-Correction Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.2.2 Discretization of Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.3 Stabilizer Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.3.1 Pauli Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.3.2 Properties of the Stabilizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.3.3 Unitary Gates in Stabilizer Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.3.4 Clifford Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.3.5 Measurements in Stabilizer Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.3.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.4 Stabilizer Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.4.1 Bit-Flip Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.4.2 Phase-Flip Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.4.3 Nine-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.4.4 Five-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.5 Surface Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.5.1 Toric Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.5.2 Planar Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.5.3 Recovery Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7 Quantum Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.1 Shannon Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.1.2 Relative Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.1.3 Mutual Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
7.1.4 Data Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.2 Von Neumann Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.2.2 Relative Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7.2.3 Quantum Mutual Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
7.3 Entanglement and Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.3.1 What is Entanglement? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.3.2 Separability Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.3.3 Entanglement Distillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.3.4 Entanglement Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
