ESTADÍSTICA
Universidad de Barcelona. Facultad de Biología.
Grado en Ciencias Biomédicas
Alejandro J. Ferrando Torres
, Universidad de Barcelona | Estadística. Grado en Ciencias Biomédicas | Alejandro J. Ferrando Torres
Índice
0. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA.............................................................................................4
1.- ¿Qué es y por qué necesitamos la estadística?...................................................................................... 4
2.- El método estadístico................................................................................................................................5
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA............................................................................................................6
1.- Población, muestra y variables................................................................................................................ 6
2.- Visualización de datos..............................................................................................................................6
3.- Resúmenes numéricos.............................................................................................................................. 8
3. ESTADÍSTICA ANALÍTICA Y PROBABILIDAD...........................................................................12
1.- Teoría de la Probabilidad....................................................................................................................... 12
2.- Aplicaciones de la probabilidad a la biomedicina..............................................................................15
3.- Modelos probabilísticos discretos........................................................................................................ 16
4.- Principales familias de modelos probabilísticos discretos............................................................... 20
5.- Propiedades reproductivas.....................................................................................................................24
6.- Modelos probabilísticos continuos.......................................................................................................25
7.- Principales familias de modelos probabilísticos continuos..............................................................30
8.- Teorema del Límite Central...................................................................................................................34
4. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA................................................................. 37
1.- Introducción a la inferencia...................................................................................................................37
2.- Estimación de parámetros..................................................................................................................... 39
3.- Interpretación de los intervalos............................................................................................................ 42
4.- Elementos de un intervalo de confianza.............................................................................................. 43
5.- IC para la media de una distribución Normal con varianza desconocida...................................... 44
6.- IC para la diferencia de medias de dos distribuciones Normales independientes........................46
7.- IC para el cociente de varianzas de dos distribuciones Normales independientes.......................47
8.- IC de confianza para la diferencia de medias de dos distribuciones Normales emparejadas..... 48
9.- Intervalo para una proporción: aproximación asintótica.................................................................. 50
10.- Cálculo del tamaño muestral............................................................................................................... 51
5. CONTRASTE DE HIPÓTESIS........................................................................................................... 52
1.- Introducción al contraste de hipótesis.................................................................................................52
2.- Tipos de hipótesis................................................................................................................................... 53
3.- Estadísticos de contraste........................................................................................................................53
4.- Tipos de errores.......................................................................................................................................54
5.- Región crítica...........................................................................................................................................55
6.- P-valor....................................................................................................................................................... 57
7.- Relación con los intervalos de confianza............................................................................................. 58
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, Universidad de Barcelona | Estadística. Grado en Ciencias Biomédicas | Alejandro J. Ferrando Torres
6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA DATOS CONTINUOS........................................................ 59
1.- Esquema de contrastes........................................................................................................................... 59
2.- Para una distribución Normal con varianza conocida (test Z)..........................................................59
3.- Para una distribución Normal con varianza desconocida (test T)....................................................60
4.- Comparación de grupos......................................................................................................................... 61
5.- Contraste para igualdad de varianzas poblacionales (test F)............................................................ 61
6.- Contraste para igualdad de medias con varianzas iguales (test T para dos poblaciones
independientes).............................................................................................................................................62
7.- Contraste para igualdad de medias con varianzas diferentes (test de Welch)................................ 62
8.- Esquema de muestras emparejadas...................................................................................................... 63
9.- Otras observaciones................................................................................................................................64
10.- Pruebas no paramétricas robustas......................................................................................................64
7. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA DATOS CATEGÓRICOS....................................................66
1.- Contraste asintótico para una proporción (test Z)..............................................................................66
2.- Contraste asintótico para dos proporciones (test Z).......................................................................... 67
3.- Otras versiones........................................................................................................................................ 68
4.- Prueba Chi-cuadrado de la bondad del ajuste.................................................................................... 68
5.- Tablas de contingencia........................................................................................................................... 70
7.- Violación de las condiciones del contraste......................................................................................... 73
8.- Odds-ratio y riesgo relativo................................................................................................................... 74
8. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN....................................................................................................... 77
1.- Introducción............................................................................................................................................ 77
2.- Tipos de regresión...................................................................................................................................77
3.- Ajuste de una regresión lineal............................................................................................................... 77
4.- Predicciones.............................................................................................................................................78
5.- Interpretación de la pendiente de la recta...........................................................................................79
6.- Bondad del ajuste lineal......................................................................................................................... 79
7.- Inferencia sobre regresión..................................................................................................................... 81
8.- Asociación y causalidad......................................................................................................................... 82
9.- Linealización............................................................................................................................................82
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, Universidad de Barcelona | Estadística. Grado en Ciencias Biomédicas | Alejandro J. Ferrando Torres
0. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
1.- ¿Qué es y por qué necesitamos la estadística?
La estadística se define como: «Disciplina que estudia la variabilidad, así como el proceso aleatorio
que la genera siguiendo las leyes de la probabilidad». Nos es útil cuando se requiere hacer un estudio
sobre una población determinada. Población: «Todo el conjunto de individuos y todas las posibles
observaciones que son de interés en un estudio determinado». Es complicado estudiar a una población
en su conjunto, por lo que se suelen seleccionar candidatos para el estudio que sean representativos de
la población objetivo, lo que se conoce como muestra.
Por ejemplo; se desea estudiar la media de la presión arterial diastólica de Cataluña. Dicho parámetro
se define como un parámetro poblacional, que es una característica inherente de la propia población,
algo conjunto y común que no es realista. Para un estudio en profundidad, se seleccionan varias
muestras, donde analizaremos los parámetros muestrales o estadísticos. Para la selección de dichas
muestras, interviene el azar, por lo que habrá que intentar ajustar los resultados al máximo, siendo ahí
donde entra la estadística.
La incerteza es el estado de falta de seguridad sobre el conocimiento, caracterizada por la duda. La
estadística nos proporciona herramientas para ayudarnos a tomar decisiones en situaciones de
incerteza o aleatoriedad. Ofrece técnicas para:
❖ Describir y presentar resultados experimentales (estadística descriptiva).
❖ Analizar, interpretar y ayudar en la toma de decisiones y obtención de conclusiones cuando
los datos del experimento están influenciados por incertezas aleatorias (inferencia
estadística).
❖ Las técnicas de inferencia estadística tienen su fundamento matemático en la Teoría de la
Probabilidad.
En las ciencias biomédicas, constantemente se plantean preguntas que se deben responder en base a
datos experimentales (p. ej. ¿Qué nivel de protección nos proporciona una vacuna? ¿Una enfermedad
tiene más mortalidad entre hombres o mujeres?).
Para verificar una hipótesis, seleccionamos la muestra y recogemos los datos. Se deberá considerar
que las repeticiones del experimento dan lugar a diferentes valores muestrales (incerteza por la
elección de la muestra). Además, la medida de la muestra tiene influencia en el resultado observado.
Por ello, para un estudio correcto, se deben conocer las probabilidades de cometer errores.
Idealmente, la estadística nos debe proporcionar las reglas basadas en los datos con tal de tomar la
decisión correcta antes de un experimento. También debe emitir una medida de la probabilidad de
error cuando tomamos una decisión concreta (los datos no pueden ser «ambiguos»).
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Grado en Ciencias Biomédicas
Alejandro J. Ferrando Torres
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Índice
0. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA.............................................................................................4
1.- ¿Qué es y por qué necesitamos la estadística?...................................................................................... 4
2.- El método estadístico................................................................................................................................5
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA............................................................................................................6
1.- Población, muestra y variables................................................................................................................ 6
2.- Visualización de datos..............................................................................................................................6
3.- Resúmenes numéricos.............................................................................................................................. 8
3. ESTADÍSTICA ANALÍTICA Y PROBABILIDAD...........................................................................12
1.- Teoría de la Probabilidad....................................................................................................................... 12
2.- Aplicaciones de la probabilidad a la biomedicina..............................................................................15
3.- Modelos probabilísticos discretos........................................................................................................ 16
4.- Principales familias de modelos probabilísticos discretos............................................................... 20
5.- Propiedades reproductivas.....................................................................................................................24
6.- Modelos probabilísticos continuos.......................................................................................................25
7.- Principales familias de modelos probabilísticos continuos..............................................................30
8.- Teorema del Límite Central...................................................................................................................34
4. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA................................................................. 37
1.- Introducción a la inferencia...................................................................................................................37
2.- Estimación de parámetros..................................................................................................................... 39
3.- Interpretación de los intervalos............................................................................................................ 42
4.- Elementos de un intervalo de confianza.............................................................................................. 43
5.- IC para la media de una distribución Normal con varianza desconocida...................................... 44
6.- IC para la diferencia de medias de dos distribuciones Normales independientes........................46
7.- IC para el cociente de varianzas de dos distribuciones Normales independientes.......................47
8.- IC de confianza para la diferencia de medias de dos distribuciones Normales emparejadas..... 48
9.- Intervalo para una proporción: aproximación asintótica.................................................................. 50
10.- Cálculo del tamaño muestral............................................................................................................... 51
5. CONTRASTE DE HIPÓTESIS........................................................................................................... 52
1.- Introducción al contraste de hipótesis.................................................................................................52
2.- Tipos de hipótesis................................................................................................................................... 53
3.- Estadísticos de contraste........................................................................................................................53
4.- Tipos de errores.......................................................................................................................................54
5.- Región crítica...........................................................................................................................................55
6.- P-valor....................................................................................................................................................... 57
7.- Relación con los intervalos de confianza............................................................................................. 58
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6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA DATOS CONTINUOS........................................................ 59
1.- Esquema de contrastes........................................................................................................................... 59
2.- Para una distribución Normal con varianza conocida (test Z)..........................................................59
3.- Para una distribución Normal con varianza desconocida (test T)....................................................60
4.- Comparación de grupos......................................................................................................................... 61
5.- Contraste para igualdad de varianzas poblacionales (test F)............................................................ 61
6.- Contraste para igualdad de medias con varianzas iguales (test T para dos poblaciones
independientes).............................................................................................................................................62
7.- Contraste para igualdad de medias con varianzas diferentes (test de Welch)................................ 62
8.- Esquema de muestras emparejadas...................................................................................................... 63
9.- Otras observaciones................................................................................................................................64
10.- Pruebas no paramétricas robustas......................................................................................................64
7. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA DATOS CATEGÓRICOS....................................................66
1.- Contraste asintótico para una proporción (test Z)..............................................................................66
2.- Contraste asintótico para dos proporciones (test Z).......................................................................... 67
3.- Otras versiones........................................................................................................................................ 68
4.- Prueba Chi-cuadrado de la bondad del ajuste.................................................................................... 68
5.- Tablas de contingencia........................................................................................................................... 70
7.- Violación de las condiciones del contraste......................................................................................... 73
8.- Odds-ratio y riesgo relativo................................................................................................................... 74
8. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN....................................................................................................... 77
1.- Introducción............................................................................................................................................ 77
2.- Tipos de regresión...................................................................................................................................77
3.- Ajuste de una regresión lineal............................................................................................................... 77
4.- Predicciones.............................................................................................................................................78
5.- Interpretación de la pendiente de la recta...........................................................................................79
6.- Bondad del ajuste lineal......................................................................................................................... 79
7.- Inferencia sobre regresión..................................................................................................................... 81
8.- Asociación y causalidad......................................................................................................................... 82
9.- Linealización............................................................................................................................................82
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, Universidad de Barcelona | Estadística. Grado en Ciencias Biomédicas | Alejandro J. Ferrando Torres
0. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
1.- ¿Qué es y por qué necesitamos la estadística?
La estadística se define como: «Disciplina que estudia la variabilidad, así como el proceso aleatorio
que la genera siguiendo las leyes de la probabilidad». Nos es útil cuando se requiere hacer un estudio
sobre una población determinada. Población: «Todo el conjunto de individuos y todas las posibles
observaciones que son de interés en un estudio determinado». Es complicado estudiar a una población
en su conjunto, por lo que se suelen seleccionar candidatos para el estudio que sean representativos de
la población objetivo, lo que se conoce como muestra.
Por ejemplo; se desea estudiar la media de la presión arterial diastólica de Cataluña. Dicho parámetro
se define como un parámetro poblacional, que es una característica inherente de la propia población,
algo conjunto y común que no es realista. Para un estudio en profundidad, se seleccionan varias
muestras, donde analizaremos los parámetros muestrales o estadísticos. Para la selección de dichas
muestras, interviene el azar, por lo que habrá que intentar ajustar los resultados al máximo, siendo ahí
donde entra la estadística.
La incerteza es el estado de falta de seguridad sobre el conocimiento, caracterizada por la duda. La
estadística nos proporciona herramientas para ayudarnos a tomar decisiones en situaciones de
incerteza o aleatoriedad. Ofrece técnicas para:
❖ Describir y presentar resultados experimentales (estadística descriptiva).
❖ Analizar, interpretar y ayudar en la toma de decisiones y obtención de conclusiones cuando
los datos del experimento están influenciados por incertezas aleatorias (inferencia
estadística).
❖ Las técnicas de inferencia estadística tienen su fundamento matemático en la Teoría de la
Probabilidad.
En las ciencias biomédicas, constantemente se plantean preguntas que se deben responder en base a
datos experimentales (p. ej. ¿Qué nivel de protección nos proporciona una vacuna? ¿Una enfermedad
tiene más mortalidad entre hombres o mujeres?).
Para verificar una hipótesis, seleccionamos la muestra y recogemos los datos. Se deberá considerar
que las repeticiones del experimento dan lugar a diferentes valores muestrales (incerteza por la
elección de la muestra). Además, la medida de la muestra tiene influencia en el resultado observado.
Por ello, para un estudio correcto, se deben conocer las probabilidades de cometer errores.
Idealmente, la estadística nos debe proporcionar las reglas basadas en los datos con tal de tomar la
decisión correcta antes de un experimento. También debe emitir una medida de la probabilidad de
error cuando tomamos una decisión concreta (los datos no pueden ser «ambiguos»).
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