samenvatting kwantitatieve biologie DEELTOETS 2

H10 ~EXPONENTIËLE GROEI~
MODEL= versimpeling van realiteit voor voorspellen en inzicht vergaren
▪ dynamiek: verandering van systeem over tijd (toe- en afname populatiegrootte, concentratie mRNA, patroon)
Hoofdletter 1. variabelen= wat veranderd (één of meerdere)
- continu variabele: kunnen elke waarde aannemen (oneindig kleine stapjes)
- discreet variabele: alleen specifieke waarde (geen tussenliggende waarden, tellingen)
Kleine letter 2. parameters= constante waarde die bepaald hoe variabele veranderd (sterfte-kans, geboortesnelheid)
- vaste parameter: groeisnelheid=2
- vrije parameter: groeisnelheid=r
→ parameter positief genomen!
3. aannames= keuzes om model eenvoudig te houden (negeren van factoren)
- discrete tijdstappen (“jaren”)
- continu tijdstappen (oneindig kleine stappen)

~VERSCHILLENDE MODELLEN~
Populatie enzymreactie Bacteriële mutant
variabele Populatiegrootte (V) concentraties Individuele cellen & positie
Parameters Groeisnelheid (r) reactieconstante Kans op mutatie
Aannames Elk individu is gelijk Goed gemengd systeem Niet gemengd
Discrete tijdstappen Oneindig kleine tijdstappen Stochastisch proces
Differentievergelijking Ordinary differential equations Ruimtelijke modellen
A) Differentievergelijking: relatie huidige waarde variabele en toekomstige waarde variabele (discrete tijdstappen)
B) Ordinary differential equations: omschrijven snelheid waarmee variabele veranderd (continu tijdstappen)
C) Ruimtelijke modellen (spatial models): ruimtelijke patronen vergelijken

“GOED” model
Realisme niet hoofddoel → omschrijft/voorspelt nooit alles!
☐ Voorspellen: model verbetert voorspellingen (realisme belangrijker)
☐ Verkennend: model verschaft nieuwe inzichten

Differentievergelijking → R(t+1)= 2*R(t)
▪ Discrete tijdstappen
▪ Relatie huidige waarde variabele R(t) met toekomstige waarde variabele R(t+1)
o Rstudio:
- R <- …
- groeifactor <- …
- for(t in 1:…){R[t+1] <-- R[t]*groeifactor}
- plot(R, log=’y’, xlab=’tijd’)

Exponentiële groei= groei waarbij toename (percentage/factor) evenredig is (en blijft!) aan de eigen omvang
➔ 𝑁(𝑡 + 1) = 𝑟 ∗ 𝑁(𝑡) = 𝑏𝑁 − 𝑑𝑁
▪ groei is altijd exponentieel als het percentage groei constant is!
▪ Controleren door logaritme over mogelijk ‘exponentieel’ verband moet lineair verband geven (log-lineaire schaal)

Initiële groei: start waarde variabelen
Logistische groei: begint exponentieel waarna evenwicht wordt bereikt (sigmoïde S-curve)
➔ draagvermogen/carrying capacity = evenwichtswaarde van systeem
𝑁(𝑡)
➔ 𝑁(𝑡 + 1) = 𝑟𝑁(𝑡)(1 − 𝐾
)
- r= intrinsieke (netto) groeiparameter bestaat uit b(birth)-d(death)
- K= parameter voor draagvlak
- 𝑁̅= N waarbij evenwicht voor N(t+1) = N(t)
o Deterministische chaos: resulteert in onvoorspelbare fluctuaties gevoelig voor begin toestand (ipv. stabiel evenwicht)
o bij te grote tijdstappen schiet je over evenwicht heen

, H11 ~ MODELEREN MET ODEs ~
Differentiaalvergelijking (ordinary differential equations/ODEs)
▪ beschrijft snelheid waarmee variabele veranderd ipv. grootte variabele zelf
▪ aannames:
I) Populatiegroottes continu (dichtheden ipv. individuen)
II) Geen variatie binnen populatie (parameters voor elk gelijk)
III) Populatie goed gemengd (geen kans verdeling)
IV) Parameters zijn constant
V) Tijd continue variabele (geen tijdstappen)

1) H(t)= H0 + m*t aantal herten uit migratie
𝑑𝐻(𝑡)
2) 𝑑𝑡
=𝑚 migratiesnelheid (in herten per uur)
𝑑𝐻(𝑡)
3) = 𝑚 − 𝑣 ∗ 𝐻(𝑡) verandering aantal herten per tijdseenheid = migratiesnelheid – vertrekkende herten
𝑑𝑡


- afgeleide van H(t) over de tijd gelijk aan m, waarbij H(t) onbekende functie
- v=1/t, parameter beschrijft vertreksnelheid per individu (per capita)
- oplossing reeks van functies van tijd (m en beginwaarde H niet vast) ipv. enkel getal
1) algemene oplossingen: formules waaraan alle specifieke oplossingen voldoen
2) specifieke oplossingen: gelden alleen voor specifieke beginwaarde van H en parameter m




EVENWICHTEN
= snelheid verandering (dN/dt) gelijk aan 0
= als vergelijking alleen constante (parameters) bevat is er geen evenwicht
dN(t)/dt = rN(t) (1 – N(t)/K)
dN/dt = rN (1- N/K)
0 = rN (1 – N/K
Geeft evenwichten/ready states bij 𝑁 ̅ =0 (triviaal evenwicht, populatie bestaat niet) of 𝑁
̅=K (carrying capacity bereikt)

Reproductiegetal R0= maximale geboorte (per capita) / minimale sterfte (per capita)
=maximale geboorte * levensverwachting
dN/dt= b(1-N/K)N-dN → voor N heel klein geeft b(1-N/K)= b(1- 0/K)= b en dN/N=d dus R0=b/d
dN/dt= bN-d(1+N/K)N → voor N heel klein geeft bN/N=b en d(1+N/K)= d(1+0/K)=d dus R0=b/d
dN/dt= bN – dN2 → voor N heel klein geeft bN=b en dN2=0 dus R0=b/0 K.N.
dN/dt= (b-d)N → voor elke N hetzelfde