Statistiek deel I
Hoofdstuk 1: Inleiding in de statistiek
Onzekerheid bij laboratoriumonderzoek
Bij een laboratorium onderzoek is het doel om informatie te verzamelen en antwoord te kunnen
geven op de gestelde vraag of om een probleem op te kunnen lossen. Bijvoorbeeld ‘’is een patiënt
ziek?’’. Om antwoord hier op te kunnen geven worden verschillende concentratie of andere
componenten gemeten die voor dat onderzoek representatief zouden zijn. Met deze uitkomsten
kunnen acties ondernomen worden, dus bijvoorbeeld of de patiënt ziek is en eventueel behandelt
kan worden. Het is wel belangrijk om te weten of resultaten betrouwbaar zijn en welke grenzen
gesteld worden met betrekking tot het nemen van acties.
De onzekerheid in de resultaten van een analyse, daar zijn twee oorzaken voor;
- De onzekerheid die veroorzaakt wordt door het monster.
- De onzekerheid die veroorzaakt wordt door het analyseproces.
Bij herhalen van monster kunnen verschillen optreden tussen de monsters, als gevolg van het niet
homogeen zijn van een partij of als gevolg van fluctuaties die op kunnen treden in het proces. Het zal
een zekere spreiding veroorzaken in de meetresultaten. Deze kunnen ook optreden door de
omstandigheden waaronder de analyse wordt uitgevoerd veranderd. Bijvoorbeeld verandering in
meetapparatuur in de tijd, of uitvoering van de analyses door verschillende
laboratoriummedewerkers.
Beschrijven en concluderende statistiek
De statiek kan onderverdeeld worden in een beschrijvende en concluderende statistiek. Bij de
beschrijvende statistiek worden statistische gegevens berekend en overzichtelijk gerepresenteerd die
behoren bij de onderzoeksresultaten. Bij de concluderende statistiek worden conclusies getrokken
uit onderzoeksresultaten uit bijbehorende statistische gegevens.
Populatie en steekproef
Een populatie wordt gevormd door alle te alle te onderzoeken objecten tezamen. Vaak wordt maar
een klein deel van de populatie onderzocht worden door monsters uit de populatie te nemen en
deze te onderzoeken. De monsters vormen slechts een deel van de populatie. Men spreekt van een
steekproef uit de populatie. De steekproef moet representatief zijn voor de populatie. De monsters
in de steekproef moeten alle kenmerken bezitten die de objecten in de populatie hebben. Dan kan
van een gehele populatie gesproken worden.
Herhaalde metingen
Metingen worden vaak herhaald. Hiervan wordt het gemiddelde en de standaarddeviatie berekend,
soms ook de variatiecoëfficiënt. Het gemiddelde wordt beschouwd als een schatting van de juiste
waarde. De standaarddeviatie is een maat voor de toevallig fouten in de metingen. De
variatiecoëfficiënt is een maat voor de relatieve fout in de metingen.
Gemiddelde:
, Standaarddeviatie of standaardafwijking (s):
Variatiecoëfficiënt of relatieve standaardafwijking:
Presentatie van meetgegevens bij grotere meetseries
De standaarddeviatie is een maat voor de spreiding van de meetgegevens. Een frequentietabel en
een histogram geeft de spreiding over het gehele meetbereik weer. Bij een groot aantal verschillende
meetresultaten worden deze gegroepeerd in klassen. Een frequentietabel is een tabel waarin
aangegeven wordt hoe vaak meetwaarden voorkomen binnen een bepaalde klassen. Een klasse
wordt gevormd door een meetwaardengebied met een bepaalde onder- en bovengrens. Voor het
maken van een histogram worden de volgende waarden uitgerekend:
• Aantal
• Gemiddelde
• Standaarddeviatie
• Variatiecoëfficiënt
• Maximum
• Minimum
• Bereik
Aan de hand van deze waarde kunnen de klassen berekend worden. Een histogram geeft grafisch de
waarnemingen weer die gespreid zijn over de verschillende klassen.
De klassenbreedte worden berekend aan de hand van de volgende tabel.
Aantal metingen Klassenbreedte
N < 40 w/6
40
De karakterisering van een verdeling
Een verdeling kan gekarakteriseerd worden door twee getallen: een centrummaat en een
spreidingsmaat. Een centrummaat is een getal dat het midden aangeeft van een set van resultaten.
De spreidingsmaat is een getal dat aangeeft hoe de getallen gespreid zijn.
Centrummaten
Er worden 3 soorten centrummaten gebruikt.
1. Het gemiddelde; het heeft dezelfde eenheid als de waarnemingsresultaten.
2. Mediaan; de middelste waarde of het gemiddelde van de middelste twee waarden. Als de
verdeling symmetrisch is, is de mediaan gelijk aan het gemiddelde.
3. Modus; het is de waarde die het meest voorkomt. Het is mogelijk dat er meer dan een
modus is. Het kan duiden dat de dataset niet homogeen is. Bij een symmetrische verdeling
valt de modus samen met de modus en het gemiddelde.
Uitbijters zijn meetpunten die sterk afwijkend zijn.
, Spreidingsmaten
Als spreidingsmaten worden de volgende gebruikt:
1. Bereik of de range; het is absolute verschil tussen de grootste en kleinste meetwaarden.
2. Standaardafwijking of standaarddeviatie;
o Steekproef;
o Populatie;
De standaarddeviatie s is van een representatieve steekproef en het is een schatting van
de standaarddeviatie van de populatie σ.
S2 (kwadraat van standaarddeviatie) is de variantie of steekproefvariantie. Deze is
belangrijk bij de berekening van de voortplanting van fouten.
3. De variatiecoëfficiënt of relatieve standaardafwijking; het is de standaardafwijking, geschaald
naar het gemiddelde. De variatiecoëfficiënt is gedefinieerd als;
Op het rekenmachine:
σn wordt aangeduid voor de berekening van de standaarddeviatie van een populatie.
σn-1 wordt gebruikt voor de berekening van de standaarddeviatie van een steekproef.
Scheefheid en kurtosis
De grootheden scheefheid en kurtosis worden gebruikt om de verdeling te karakteriseren.
1. Scheefheid; het is een maat voor symmetrie van de verdeling.
Als de absolute waarde van scheefheid een getabelleerde waarde van de ‘’Pearson Skewness
Test’’ overschrijdt dan is de verdeling scheef. Een negatieve scheefheid is een verdeling met
een staart naar links. Een positieve scheefheid is een verdeling met een staart naar rechts. Bij
een symmetrische verdeling is de scheefheid 0.
2. Kurtosis; het is een maat voor de scherpte van de piek.
Bij een normale verdeling zal de kurtosis 3 zijn. Bij een vlakke verdeling is de kurtosis lager
dan 3. Voor een verdeling met een scherpe piek is de kurtosis groter dan 3.
Hoofdstuk 1: Inleiding in de statistiek
Onzekerheid bij laboratoriumonderzoek
Bij een laboratorium onderzoek is het doel om informatie te verzamelen en antwoord te kunnen
geven op de gestelde vraag of om een probleem op te kunnen lossen. Bijvoorbeeld ‘’is een patiënt
ziek?’’. Om antwoord hier op te kunnen geven worden verschillende concentratie of andere
componenten gemeten die voor dat onderzoek representatief zouden zijn. Met deze uitkomsten
kunnen acties ondernomen worden, dus bijvoorbeeld of de patiënt ziek is en eventueel behandelt
kan worden. Het is wel belangrijk om te weten of resultaten betrouwbaar zijn en welke grenzen
gesteld worden met betrekking tot het nemen van acties.
De onzekerheid in de resultaten van een analyse, daar zijn twee oorzaken voor;
- De onzekerheid die veroorzaakt wordt door het monster.
- De onzekerheid die veroorzaakt wordt door het analyseproces.
Bij herhalen van monster kunnen verschillen optreden tussen de monsters, als gevolg van het niet
homogeen zijn van een partij of als gevolg van fluctuaties die op kunnen treden in het proces. Het zal
een zekere spreiding veroorzaken in de meetresultaten. Deze kunnen ook optreden door de
omstandigheden waaronder de analyse wordt uitgevoerd veranderd. Bijvoorbeeld verandering in
meetapparatuur in de tijd, of uitvoering van de analyses door verschillende
laboratoriummedewerkers.
Beschrijven en concluderende statistiek
De statiek kan onderverdeeld worden in een beschrijvende en concluderende statistiek. Bij de
beschrijvende statistiek worden statistische gegevens berekend en overzichtelijk gerepresenteerd die
behoren bij de onderzoeksresultaten. Bij de concluderende statistiek worden conclusies getrokken
uit onderzoeksresultaten uit bijbehorende statistische gegevens.
Populatie en steekproef
Een populatie wordt gevormd door alle te alle te onderzoeken objecten tezamen. Vaak wordt maar
een klein deel van de populatie onderzocht worden door monsters uit de populatie te nemen en
deze te onderzoeken. De monsters vormen slechts een deel van de populatie. Men spreekt van een
steekproef uit de populatie. De steekproef moet representatief zijn voor de populatie. De monsters
in de steekproef moeten alle kenmerken bezitten die de objecten in de populatie hebben. Dan kan
van een gehele populatie gesproken worden.
Herhaalde metingen
Metingen worden vaak herhaald. Hiervan wordt het gemiddelde en de standaarddeviatie berekend,
soms ook de variatiecoëfficiënt. Het gemiddelde wordt beschouwd als een schatting van de juiste
waarde. De standaarddeviatie is een maat voor de toevallig fouten in de metingen. De
variatiecoëfficiënt is een maat voor de relatieve fout in de metingen.
Gemiddelde:
, Standaarddeviatie of standaardafwijking (s):
Variatiecoëfficiënt of relatieve standaardafwijking:
Presentatie van meetgegevens bij grotere meetseries
De standaarddeviatie is een maat voor de spreiding van de meetgegevens. Een frequentietabel en
een histogram geeft de spreiding over het gehele meetbereik weer. Bij een groot aantal verschillende
meetresultaten worden deze gegroepeerd in klassen. Een frequentietabel is een tabel waarin
aangegeven wordt hoe vaak meetwaarden voorkomen binnen een bepaalde klassen. Een klasse
wordt gevormd door een meetwaardengebied met een bepaalde onder- en bovengrens. Voor het
maken van een histogram worden de volgende waarden uitgerekend:
• Aantal
• Gemiddelde
• Standaarddeviatie
• Variatiecoëfficiënt
• Maximum
• Minimum
• Bereik
Aan de hand van deze waarde kunnen de klassen berekend worden. Een histogram geeft grafisch de
waarnemingen weer die gespreid zijn over de verschillende klassen.
De klassenbreedte worden berekend aan de hand van de volgende tabel.
Aantal metingen Klassenbreedte
N < 40 w/6
40
De karakterisering van een verdeling
Een verdeling kan gekarakteriseerd worden door twee getallen: een centrummaat en een
spreidingsmaat. Een centrummaat is een getal dat het midden aangeeft van een set van resultaten.
De spreidingsmaat is een getal dat aangeeft hoe de getallen gespreid zijn.
Centrummaten
Er worden 3 soorten centrummaten gebruikt.
1. Het gemiddelde; het heeft dezelfde eenheid als de waarnemingsresultaten.
2. Mediaan; de middelste waarde of het gemiddelde van de middelste twee waarden. Als de
verdeling symmetrisch is, is de mediaan gelijk aan het gemiddelde.
3. Modus; het is de waarde die het meest voorkomt. Het is mogelijk dat er meer dan een
modus is. Het kan duiden dat de dataset niet homogeen is. Bij een symmetrische verdeling
valt de modus samen met de modus en het gemiddelde.
Uitbijters zijn meetpunten die sterk afwijkend zijn.
, Spreidingsmaten
Als spreidingsmaten worden de volgende gebruikt:
1. Bereik of de range; het is absolute verschil tussen de grootste en kleinste meetwaarden.
2. Standaardafwijking of standaarddeviatie;
o Steekproef;
o Populatie;
De standaarddeviatie s is van een representatieve steekproef en het is een schatting van
de standaarddeviatie van de populatie σ.
S2 (kwadraat van standaarddeviatie) is de variantie of steekproefvariantie. Deze is
belangrijk bij de berekening van de voortplanting van fouten.
3. De variatiecoëfficiënt of relatieve standaardafwijking; het is de standaardafwijking, geschaald
naar het gemiddelde. De variatiecoëfficiënt is gedefinieerd als;
Op het rekenmachine:
σn wordt aangeduid voor de berekening van de standaarddeviatie van een populatie.
σn-1 wordt gebruikt voor de berekening van de standaarddeviatie van een steekproef.
Scheefheid en kurtosis
De grootheden scheefheid en kurtosis worden gebruikt om de verdeling te karakteriseren.
1. Scheefheid; het is een maat voor symmetrie van de verdeling.
Als de absolute waarde van scheefheid een getabelleerde waarde van de ‘’Pearson Skewness
Test’’ overschrijdt dan is de verdeling scheef. Een negatieve scheefheid is een verdeling met
een staart naar links. Een positieve scheefheid is een verdeling met een staart naar rechts. Bij
een symmetrische verdeling is de scheefheid 0.
2. Kurtosis; het is een maat voor de scherpte van de piek.
Bij een normale verdeling zal de kurtosis 3 zijn. Bij een vlakke verdeling is de kurtosis lager
dan 3. Voor een verdeling met een scherpe piek is de kurtosis groter dan 3.
